四川省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第1頁(yè)
四川省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第2頁(yè)
四川省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第3頁(yè)
四川省部分學(xué)校2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析_第4頁(yè)
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高二數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí),將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無(wú)效.3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容:人教A版必修第二冊(cè)第八章,選擇性必修第一冊(cè)第一章至第三章第一節(jié).一、選擇題:本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知直線與直線平行,則()A.1 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】?jī)芍本€平行,的系數(shù)的比值相等,且與的系數(shù)的比值與常數(shù)項(xiàng)的比值不相等,由此能求出.【詳解】根據(jù)直線與直線平行,則,故.故選:A2.已知是空間的一個(gè)基底,則可以與向量,構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間基底、空間向量共面等知識(shí)確定正確答案.【詳解】對(duì)于A,根據(jù)題意,故A錯(cuò)誤.對(duì)于B,設(shè),則不存在,故B正確.對(duì)于C,,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由,則,所以,所以,故D錯(cuò)誤;故選:B.3.已知,是兩個(gè)互相平行的平面,,,是不重合的三條直線,且,,,則()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系有關(guān)判定、性質(zhì)定理,可得正確結(jié)論.【詳解】因?yàn)?,,所?又,,所以,,,平行或異面.故選:A4.直線與圓交于A,B兩點(diǎn),則()A.2 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用垂徑定理,將弦長(zhǎng)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在弦心距與半徑,半弦長(zhǎng)構(gòu)成的直角三角形中求解即可.【詳解】圓M的半徑,圓心,則圓心M到直線l的距離,故.故選:D.5.如圖,二面角的大小為,點(diǎn)A,B分別在半平面,內(nèi),于點(diǎn)C,于點(diǎn)D.若,,.則()A. B.6 C. D.【答案】C【解析】【分析】解法一:作輔助線構(gòu)造三角形,根據(jù)余弦定理以及勾股定理可求得結(jié)果;解法二:根據(jù)向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算可求得結(jié)果.【詳解】解法一:作于點(diǎn)C,且,連接,,,;解法二:由,,得,,.因?yàn)?,所以,則,解得,.故選:C.6.如圖,正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體,其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在,并且三球球心重合.已知某正二十面體的棱長(zhǎng)為1,體積為,則該正二十面體的內(nèi)切球的半徑為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積,正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑,再由棱錐的體積公式計(jì)算即可;【詳解】由題意正二十面體是由20個(gè)等邊三角形所組成的正多面體,其外接球、內(nèi)切球、內(nèi)棱切球都存在,并且三球球心重合,所以正二十面體體積等于以球心為頂點(diǎn)的二十個(gè)正三棱錐的體積,正三棱錐的高即為正二十面體內(nèi)切求半徑,設(shè)為所以,解得,故選:C.7.已知A,B分別為橢圓的左、右頂點(diǎn),D為C的上頂點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),E為C上一點(diǎn),且位于第二象限,直線AE,BE分別與y軸交于點(diǎn)H,G.若D為線段OH的中點(diǎn),G為線段OD的中點(diǎn).則點(diǎn)E到x軸的距離為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先過(guò)點(diǎn)E作軸,垂足為F,利用線段比例關(guān)系,列式求解.【詳解】過(guò)點(diǎn)E作軸,垂足為F.由題意可得,,所以,,兩式相乘可得所以,則.故選:D8.如圖,正方形的棱長(zhǎng)為4,G,E分別是,的中點(diǎn),是四邊形內(nèi)一動(dòng)點(diǎn),,若直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn),則線段的最小值為()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】建系,設(shè),通過(guò)平面EFG,得到,再結(jié)合距離公式及二次函數(shù)求最值即可.【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,.設(shè)平面EFG的法向量為,則,即令,可得.設(shè),則.因?yàn)橹本€AP與平面EFG沒(méi)有公共點(diǎn),所以平面EFG,則,所以,即.,當(dāng)時(shí),AP取得最小值,最小值.故選:D二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分,在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分,部分選對(duì)的得部分分,有選錯(cuò)的得0分.9.已知空間內(nèi)三點(diǎn),,,則()A. B.C. D.的面積為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn),,,得到,,,再逐項(xiàng)判斷.【詳解】因?yàn)榭臻g內(nèi)三點(diǎn),,,所以,,,則,,,A正確.因?yàn)?,所以,B正確.,C錯(cuò)誤.的面積為,D正確.故選:ABD.10.已知正四面體的棱長(zhǎng)為6,下列結(jié)論正確的是()A.該正四面體的高為B.該正四面體的高為C.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為D.該正四面體兩條高的夾角的余弦值為【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)頂點(diǎn)在底面的射影為底面三角形的重心計(jì)算出正四面體的高;通過(guò)余弦定理計(jì)算出,結(jié)合的關(guān)系即可求解出兩條高夾角的余弦值.【詳解】取中點(diǎn),連接,過(guò)作垂直于交于點(diǎn)M,過(guò)作垂直于交于點(diǎn)N,如圖所示,由正四面體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知,為正四面體的高,記,因?yàn)樵诘酌娴纳溆盀榈闹匦?,所以,所以,故A正確,B錯(cuò)誤;因?yàn)?,,所以,因?yàn)?,所以,又因?yàn)榈膴A角為,且,所以,所以?shī)A角的余弦值為,故C錯(cuò)誤,D正確;故選:AD.11.笛卡爾葉形線是一個(gè)代數(shù)曲線,首先由笛卡兒在1638年提出.如圖,葉形線經(jīng)過(guò)點(diǎn),點(diǎn)在C上,則下列結(jié)論正確的是()A.直線與C有3個(gè)公共點(diǎn) B.若點(diǎn)P在第二象限,則C. D.【答案】BCD【解析】【分析】對(duì)于A,聯(lián)立方程求解的個(gè)數(shù)即可判斷,對(duì)于B,由.結(jié)合可判斷,對(duì)于C,通過(guò)點(diǎn)在第一、第二、第四象限逐個(gè)判斷即可,對(duì)于D,結(jié)合C中得到的,再結(jié)合基本不等式得到求解即可.【詳解】因?yàn)槿~形線經(jīng)過(guò)點(diǎn),所以.聯(lián)立,解得,所以直線與C只有1個(gè)公共點(diǎn),A錯(cuò)誤..因?yàn)辄c(diǎn)P在第二象限,所以,,所以,B正確.若點(diǎn)P在第四象限,則,可推出.因?yàn)?,所以.?dāng)點(diǎn)P在第二、四象限時(shí),,所以.當(dāng)點(diǎn)P是原點(diǎn)或在第一象限時(shí),易得,所以,C正確.由,可得,解得,所以,D正確.故選:BCD三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分.12.與圓,都相切的直線有______條.【答案】3【解析】【分析】根據(jù)兩圓心距離與兩個(gè)圓的半徑和差關(guān)系判斷兩圓位置關(guān)系,即可判斷公切線條數(shù).【詳解】圓的圓心為,半徑為,的圓心為,半徑為,因?yàn)?,所以圓與圓外切,與圓,都相切的直線有3條.故答案為:313.已知地球運(yùn)行的軌道是橢圓,且太陽(yáng)在這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上,若地球到太陽(yáng)的最大和最小距離分別為,,則這個(gè)橢圓的離心率為______.【答案】0.02##【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)求橢圓參數(shù),應(yīng)用離心率公式求離心率.【詳解】設(shè)該橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,焦距為2c,由題意,得,,解得,,所以這個(gè)橢圓的離心率.故答案為:0.0214.在正六棱柱中,,M,N分別為,的中點(diǎn),平面CMN與直線交于點(diǎn)G,則______;點(diǎn)A到平面CMN的距離為______.【答案】①.4②.【解析】【分析】連接AD,BF,設(shè)其交點(diǎn)為O.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.求得平面CMN的一個(gè)法向量為,設(shè),則由求得a,再利用空間兩點(diǎn)間的距離和點(diǎn)到平面的距離公式求解.【詳解】解:連接AD,BF,設(shè)其交點(diǎn)為O.由正六棱柱的性質(zhì)知,,且,取的中點(diǎn)P,連接OP,則平面ABCDEF.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),OB,OD,OP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?,M,N分別為,的中點(diǎn),所以,,,,則,,.設(shè)平面CMN的一個(gè)法向量為,則令,則.設(shè),則.由,解得,又,所以.點(diǎn)A到平面CMN的距離.故答案為:4,四、解答題:本題共5小題,共77分,解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知點(diǎn),,點(diǎn)C在x軸上,且是直角三角形,.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求的面積;(3)求斜邊上中線所在直線的方程.【答案】(1)(2)10(3).【解析】【分析】(1)設(shè)出C點(diǎn)坐標(biāo),利用垂直,轉(zhuǎn)化為斜率之積為即可求出的值;(2)求出兩直角邊長(zhǎng),代入三角形面積公式即可;(3)寫出AC中點(diǎn)E的坐標(biāo),利用直線的點(diǎn)斜式方程即可求出斜邊中線所在直線方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè).因?yàn)?,所以,顯然,則.因?yàn)?,,所以,解得,則.【小問(wèn)2詳解】,,的面積為.【小問(wèn)3詳解】記AC的中點(diǎn)為E,則.直線BE的斜率為,直線BE的方程為,即,所以斜邊上的中線所在直線的方程為.16.已知直線l:恒過(guò)點(diǎn)C,且以C為圓心的圓與直線相切.(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(3)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與圓C交于A,B兩點(diǎn),求的最小值.【答案】(1)(2)(3)【解析】【分析】(1)由直線的點(diǎn)斜式方程求定點(diǎn);(2)根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑,求圓的方程;(3)根據(jù)圓的弦長(zhǎng)公式求解.【小問(wèn)1詳解】直線l:,即,所以直線l恒過(guò)點(diǎn).【小問(wèn)2詳解】圓C的圓心為.圓C的半徑,所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)3詳解】由于點(diǎn)D在圓內(nèi)部,所以當(dāng)直線AB與直線CD垂直時(shí),取最小值..,,即的最小值為.17.如圖,在四棱錐中,底面ABCD為矩形,平面ABCD,,E為線段PC上一點(diǎn),,且該四棱錐的體積為.(1)求AE的長(zhǎng)度;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1)(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)錐體體積求得,建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),利用及向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算求得,利用直角三角形性質(zhì)即可求解;(2)求出兩個(gè)平面的法向量,利用向量法求解二面角平面角的余弦值,然后利用同角三角函數(shù)關(guān)系求解正弦值.【小問(wèn)1詳解】設(shè),則,該四棱錐的體積為,解得,即,.以A為坐標(biāo)原點(diǎn),建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,,,設(shè),則,.若,則,解得,即E為PC的中點(diǎn).連接AC,在中,;【小問(wèn)2詳解】由(1)得,,.設(shè)平面ABE的法向量為,則即取,得.設(shè)平面PBE的法向量為,則即取,得.設(shè)二面角的大小為,則,所以,所以二面角正弦值為.18.已知,分別為橢圓的上、下焦點(diǎn),是橢圓的一個(gè)頂點(diǎn),是橢圓C上的動(dòng)點(diǎn),,,三點(diǎn)不共線,當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),其為等邊三角形.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若為的中點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作交直線于點(diǎn),證明:.【答案】(1)(2)證明見解析【解析】【分析】(1)通過(guò)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí),的面積最大,即可求解;(2)設(shè)直線的方程為,延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于.通過(guò)向量數(shù)量積說(shuō)明,,再通過(guò),,及,即可求證;【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭菣E圓C的一個(gè)頂點(diǎn),所以.當(dāng)點(diǎn)與的左頂點(diǎn)或右頂點(diǎn)重合時(shí),的面積最大,其為等邊三角形,滿足,又因?yàn)?,所以,.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】證明:設(shè)直線的方程為,,.由得,,,所以,,即點(diǎn),所以直線方程為.令,得.又,所以直線的方程為.令,得.延長(zhǎng)交于,延長(zhǎng)交于.由,得,則.同理由,得,則.因?yàn)?,,顯然,所以.19.空間直角坐標(biāo)系中,任意直線l由直線上一點(diǎn)及直線的一個(gè)方向向量唯一確定,其標(biāo)準(zhǔn)式方程可表示為.若平面以為法向量且經(jīng)過(guò)點(diǎn),則平面的點(diǎn)法式方程可表示為,整理成一般式方程為.特殊地,平面xOy的一般式方程為,其法向量為.若兩個(gè)平面相交,則交線的一般式方程可以表示為(1)若集合,記集合M中所有點(diǎn)構(gòu)成的幾何體為S,求S的體積;(2)已知點(diǎn),直線.若平面,,求的一般式方程;(3)已知三棱柱的頂點(diǎn),平面ABC的方程為,直線的方程為,平面的方程為.求直線與直線BC所成角的余弦值.【答案】(1)20(2)(3).【解析】【分析】(1)由條件知,S是一個(gè)長(zhǎng)為2,寬為5,高為2的長(zhǎng)方體,根據(jù)體積公式求解.(2)求出平面的法向量,根據(jù)新定義即可求解平面的點(diǎn)法式方程.(3)先求出,再結(jié)合已

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