湖南省新高考2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

湖南省新高考2024屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四總分評分一、選擇題1．某10人的射擊小組，在一次射擊訓(xùn)練中射擊成績數(shù)據(jù)如下表，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為()成績（單位：環(huán)）678910人數(shù)12241A．2 B．8 C．8.2 D．8.52．若橢圓x2A．55 B．33 C．55或12 3．張揚(yáng)的父親經(jīng)營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列.有一天，張揚(yáng)幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進(jìn)貨，張揚(yáng)在進(jìn)貨單上標(biāo)記了兩個(gè)缺貨尺寸.幾天后，張揚(yáng)的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚(yáng)無法找到標(biāo)記缺貨尺寸的進(jìn)貨單，他只記得其中一個(gè)尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時(shí)將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼.現(xiàn)在問題是，另外一個(gè)缺貨尺寸是()A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼4．如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，E，F(xiàn)，G，H分別為BBA．E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面 B．EF//GHC．EG，F(xiàn)H，AA1三線共點(diǎn) 5．設(shè)OA=(1,0)，OB=(0,2)，對滿足條件A．(?∞,?7) C．(13,+∞) 6．已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1A．2 B．3 C．4 D．57．2024年春節(jié)期間，某單位需要安排甲、乙、丙等五人值班，每天安排1人值班，其中正月初一、二值班的人員只安排一天，正月初三到初八值班人員安排兩天，其中甲因有其他事務(wù)，若安排兩天則兩天不能連排，其他人員可以任意安排，則不同排法一共有()A．792種 B．1440種 C．1728種 D．1800種8．在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且a2?b2+c2+2A．1 B．2 C．4 D．2或4二、多項(xiàng)選擇題9．已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是()A．若復(fù)數(shù)z=1+i1?iB．若|z1C．若z2≠0D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為Z，若|z+i|+|z?i|=2，則點(diǎn)Z的軌跡是一個(gè)橢圓10．已知f(x)=3sinωxA．若f(x)的最小正周期為π，則ω=2B．若f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱，則C．若f(x)在[0,2π)上恰有4個(gè)極值點(diǎn)，則ωD．存在ω，使得f(x)在[?π11．已知函數(shù)f(x)，g(x)的定義域均為R，g(x+1)+f(1?x)=1，f(x+1)?g(x+2)=1，且y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，則以下說法正確的是()A．f(x)和g(x)均為奇函數(shù) B．?x∈R，f(x)=f(x+4)C．?x∈R，g(x)=g(x+2) D．g(?三、填空題12．已知集合M={x|x2?2x?3<0}，N={x|x213．已知表面積為100π的球面上有四點(diǎn)S，A，B，C，△ABC是邊長為43的等邊三角形，若平面SAB⊥平面ABC，則三棱錐S?ABC的體積的最大值為14．已知f(x)=|2x+x?m|,x∈[a,a+2]四、解答題15．已知{an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足：（1）求數(shù)列{an}（2）若對任意的n∈N*都有2λa16．在直角梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AB=2AD=4，AB⊥BC點(diǎn)E為AD中點(diǎn)，沿BD將△ABD折起，使BE⊥CD，（1）求證：AB⊥平面ACD；（2）求二面角E?BC?D的余弦值，17．現(xiàn)有甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)某種相同的產(chǎn)品進(jìn)入市場，已知甲、乙、丙三個(gè)工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品能達(dá)到優(yōu)秀等級的概率分別為23，56，（1）若該質(zhì)檢部門的一次抽檢中，測得的結(jié)果是該件產(chǎn)品為優(yōu)秀等級，求該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率；（2）因?yàn)槿齻€(gè)工廠的規(guī)模大小不同，假設(shè)三個(gè)工廠進(jìn)入市場的產(chǎn)品的比例為2:1:18．已知拋物線Γ:y2=4x，焦點(diǎn)為F，過P(4,（1）判斷直線AB的斜率是否為定值？若是，求出定值；若不是，請說明理由.（2）若C(x1,y1)，D(x2,19．羅爾定理是高等代數(shù)中微積分的三大定理之一，它與導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的零點(diǎn)有關(guān)，是由法國數(shù)學(xué)家米歇爾·羅爾于1691年提出的.它的表達(dá)如下：如果函數(shù)f(x)滿足在閉區(qū)間[a,b]連續(xù)，在開區(qū)間(（1）運(yùn)用羅爾定理證明：若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]連續(xù)，在區(qū)間(（2）已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)（3）證明：當(dāng)p>1，n≥2時(shí)，有1n

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：從小到大排序?yàn)?，7，7，8，8，9，9，9，9，10，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為8+92=8.5，

故答案為：D.2．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)闄E圓x2a2+y24=1(a>0)的焦距為2，若橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸時(shí)，

所以b=2,c=1，所以a=4+1=3．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)樵摰晏峁?5碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列，

共有24個(gè)尺碼，所以所有尺碼的和為25+36.52×24=738，

又所有有貨尺寸加起來的總和是677碼，故另一個(gè)缺貨尺寸為738-677-28.5=32.5

故答案為：C.4．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)镋，F(xiàn)，G，H分別為BB1,CC1,A1B1,A1C1的中點(diǎn)，

連接EF，GH在三棱柱ABC?A1B1C1中，可得EF∥B1C1,GH∥B1C2且EF=B1C1,GH=12B1C2，

可得EFIIGH，所以A，B正確；

因?yàn)樗倪呅蜤FHG為梯形，所以EG與FH相交于一點(diǎn)，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈EG，

而EG∈平面ABB1A1，所以P∈5．【答案】B【解析】【解答】解：因?yàn)镺A=(1,0)，OB=(0,2)，對滿足條件|OC?OA?OB|=2|OA?OB|的點(diǎn)C(x,y)，

所以(x-1)2+(y-2)2=20,又C到直線x-2y+m=0的距離d1=|x?2y+m|5，6．【答案】D【解析】【解答】解：因?yàn)镺P在OF1上的投影向量為35OF1，所以cos∠POF1=35，

又OP=OF2,∠OF2P=∠OPF2=12∠POF1，7．【答案】B【解析】【解答】解：先分兩類，第一類，當(dāng)甲安排在初一或初二時(shí)，有C21C41C62C428．【答案】C【解析】【解答】解：因?yàn)閍2?b2+c2=-2ac，所以由余弦定理得，

cosB=a2?b2+c22ac=-22，又B∈0,π2，所以B=3π4，

因?yàn)閏os(α+A)cos(α+C)cos2α=25，則cosαcosA-sinαsinA(cosαcosC-sinαsin9．【答案】A,C【解析】【解答】解：對于A，因?yàn)閦=1+i1-i=1+i2(1-i)(1+i)=2i2=i，

所以z30=i30=i2=-1，故A正確；

對于B，取z1=2i,z2=1，滿足z1>z210．【答案】A,B,C【解析】【解答】解：f(x)=3sinωx2cosωx2+cos2ωx2?12=32sinωx+12cosωx=sinωx+π6，

對于A，2πw=π，又w>0，所以w=2，故A正確；

對于B，將f(x)的圖象向左平移π3個(gè)單位長度后得到y(tǒng)=sinwx+π3+11．【答案】B,C,D【解析】【解答】解：由f(x+1)?g(x+2)=1，得f(x)?g(x+1)=1，又g(x+1)+f(1?x)=1，

得f(x)+f(1-x)=2，由于y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，所以f(-x)=f(2+x),f(x)=f(-x)，

所以f(x)是偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤.

f(1-x)=f(1+x),f(x)+f(1+x)=2,f(x+2)+f(1+x)=2,f(x)=f(x+2)，所以T=2,f(x)=f(x+4)，故B正確；

又g(x)+f(2-x)=1,g(x)+f(x)=1,g(-x)+f(-x)=1，又f(x)是偶函數(shù)，

所以g(-x)=g(x)，g(x)是偶函數(shù)，

因?yàn)閒(x+1)-g(x+2)=1,g(x+1)+f(1-x)=1，y=f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對稱，

所以f(1-x)=f(1+x),g(x+1)+g(x+2)=0,g(x)+g(x+1)=0,g(x+2)=g(x),

所以2為g(x)的周期，故C正確；

由f(x)+f(1-x)=2,f(12)=1,又f(x)=f(x+2),f(-32)=1，由g(x)+f(x)=1,g-3212．【答案】[3【解析】【解答】解：因?yàn)榧螹={x|x2-2x-3<0}={x|-1<x<3},

所以①當(dāng)a=0時(shí)，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|x2<0}=?,此時(shí)M∩N=?，不符合題意，

②當(dāng)a>0時(shí)，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|0<x<a,x∈Z}，若集合M∩N恰有兩個(gè)元素，則a≥3，

③當(dāng)a<0時(shí)，

N={x|x2-ax<0,x∈Z}={x|a<x<0,x∈Z}，若a≤-1，則M∩N={x|-1<x<0,x∈Z}=?,

不符合題意，若-1<a<0，則M∩N={x|a<x<0,x∈Z}=?13．【答案】12【解析】【解答】解：

取AB中點(diǎn)D，連結(jié)SD，設(shè)球O半徑為r，則4πr2=100π，解得r=5，

因?yàn)椤鰽BC是邊長為43的等邊三角形，

所以AD=23,CD=6，過S作ABC的垂線，垂足是AB的中點(diǎn)時(shí)，所求三棱錐的體積最大，

令球心為O，過O作OO1⊥DC于O1，則O1為△ABC的外心，

過O作OM⊥SD，可得SO=5，0M=O1D=13CD=2,SM=14．【答案】[【解析】【解答】解：設(shè)t=2x+x,因?yàn)閤∈[a,a+2]，所以t∈[2a+a,2a+2+a+2],

所以f(x)=|t-m|t∈[2a+a,2a+2+a+2],

f(x)max=g(m)|2a+a-m|,-15．【答案】（1）解：因?yàn)閎n=2log2a所以b1=1=2lob4=7=2lo因?yàn)閧an}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以q所以an=2（2）解：因?yàn)?λan≥設(shè)f(n)當(dāng)n≤2時(shí)，f(n+1)當(dāng)n≥3時(shí)，f(n+1)所以f(n)【解析】【分析】(1)先由bn=2log2an+1，且b1=1，b4=7，利用對數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算，求得數(shù)列an的首項(xiàng)和公比，然后根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得數(shù)列an的通項(xiàng)公式，再由b16．【答案】（1）證明：在梯形ABCD中，AB=2，AD=2，AB⊥AD，所以BD=22，CD=2又BC=4，所以BD2+C又∵BE⊥CD，BD∩BE=B，BD，BE?平面ABD，故CD⊥平面ABD，∵AB?平面ABD，∴AB⊥CD，又AB⊥AD，CD∩AD=D，CD，AD?平面ACD，∴AB⊥平面ACD.（2）解：取BD中點(diǎn)O，連接AO，由于AB=AD，則AO⊥BD，AO=2因?yàn)镃D⊥平面ABD，AO?平面ABD，所以AO⊥CD，又BD∩CD=D，BD，CD?平面BCD，所以AO⊥平面BCD，以O(shè)B，OA分別為x軸、z軸建立如圖空間直角坐標(biāo)坐標(biāo)系，則B(2,0,0)，設(shè)平面EBC的法向量為m=又BE=(?32∴n→·BE→=?32易知平面BCD的一個(gè)法向量為n=設(shè)二面角E?BC?D為θ，0<θ<π所以cosθ=|故二面角E?BC?D的余弦值為311【解析】【分析】(1)利用勾股定理可證BD⊥CD，結(jié)合BE⊥CD，根據(jù)線面垂直判定定理，

可得CD⊥平面ABD，從而根據(jù)線面垂直性質(zhì)得AB⊥CD，再利用AB⊥AD，由線面垂直的判定定理，即可得證；

(2)取BD的中點(diǎn)O，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)以O(shè)B，OA分別為x軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出所需點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得面EBC、平面BCD的法向量，利用向量夾角公式，兩法向量夾角余弦即為二面角E?BC?D的余弦值.17．【答案】（1）解：設(shè)A=“抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級”，B1B2=“產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，則P(B1)=P(B2)=P(則P(則P(所以該件產(chǎn)品是從乙工廠抽取的概率為512（2）解：依題意，設(shè)從市場中任抽一件產(chǎn)品達(dá)到優(yōu)秀等級的概率為p，則p=2由題意可知ξ～B(10,則P(則ξ的分布列為：ξ012345678910P22222222222故E(【解析】【分析】(1)根據(jù)題意，設(shè)A=“抽的產(chǎn)品是優(yōu)秀等級”，B1=“產(chǎn)品是從甲工廠生產(chǎn)”，B2=“產(chǎn)品是從乙工廠生產(chǎn)”，18．【答案】（1）解：由題意不妨設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A(x4聯(lián)立y=kx+ty2=4x，消去y得k所以x4+x因?yàn)橹本€PA與PB關(guān)于直線x=4對稱，所以y4?4x4?4所以y4?4y即k(x4+x解得k=?12，所以直線AB的斜率為定值（2）解：由已知F(1,因?yàn)镕C→+FD→+FE所以(x1+設(shè)直線CD的方程為x=my+n，聯(lián)立x=my+ny2=4x，消去x得y所以n>?m2，y1+y2=4m所以x3=3?4m又點(diǎn)E在拋物線y2=4x上所以16m又n>?m2，所以32所以點(diǎn)E的橫坐標(biāo)x3同理可得C，D兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)也小于2，所以△CDE三個(gè)頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)均小于2.【解析】【分析】(1)設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，與拋物線