中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)梳理+考點(diǎn)精講專題06 一元二次方程及其應(yīng)用（解析版）

專題06一元二次方程及其應(yīng)用中考命題解讀中考命題解讀一元二次方程是歷年中考的必考內(nèi)容，在中考中一般為2-3道題，分值為10-16分，常見(jiàn)直接單獨(dú)考查其解法，也會(huì)與不等式、函數(shù)等知識(shí)結(jié)合在一起考查根的判別式及簡(jiǎn)單的根與系數(shù)關(guān)系運(yùn)用等，這部分內(nèi)容常與直角三角形、菱形、垂徑定理等融會(huì)，利用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題是歷年中考的高頻考點(diǎn)?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1．經(jīng)歷由具體問(wèn)題抽象出一元二次方程的過(guò)程，進(jìn)一步體會(huì)方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中數(shù)量關(guān)系的一個(gè)有效數(shù)學(xué)模型．2．能夠利用一元二次方程解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題，能根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的意識(shí)和能力．3．了解一元二次方程及其相關(guān)概念，會(huì)用配方法、公式法、分解因式法解簡(jiǎn)單的一元二次方程（數(shù)字系數(shù)人并在解一元二次方程的過(guò)程中體會(huì)轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想．4．經(jīng)歷在具體情境中估計(jì)一元二次方程解的過(guò)程，發(fā)展估算意識(shí)和能力．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：一元二次方程（1）概念：等號(hào)兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。（2）一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2叫作二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx叫作一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c叫作常數(shù)項(xiàng)?？键c(diǎn)2：一元二次方程的解法（1）直接開(kāi)平方法：①當(dāng)方程的一次項(xiàng)位0時(shí)，即方程ax2+c=0(a≠0，ac＜0）②形如（x+m)2=n,(n≥0）的方根（2）配方法用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步驟是：①化為一般形式；②移項(xiàng)，將常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；③化二次項(xiàng)系數(shù)為1，即方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)；④配方，即方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方；化原方程為(x+a）2=b的形式；⑤如果b≥0就可以用兩邊開(kāi)平方來(lái)求出方程的解；如果b≤0，則原方程無(wú)解．（3）公式法：用公式法求一元二次方程的一般步驟：（1）把方程化成一般形式，（2）求出判別式（4）因式分解法：因式分解法解一元二次方程的一般步驟如下：（1）移項(xiàng)，使方程的右邊化為零；（2）將方程的左邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次多項(xiàng)式的乘積；（3）令每個(gè)因式分別為零；（4）兩個(gè)因式分別為零的解就都是原方程的解?？键c(diǎn)3：一元二次方程的判別式：①時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；②時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；③時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根，反之亦成立考點(diǎn)4：一元二次方程的根與系數(shù)：根與系數(shù)的關(guān)系：即的兩根為，則，。利用韋達(dá)定理可以求一些代數(shù)式的值（式子變形），如考點(diǎn)5：一元二次方程的應(yīng)用（1）變化率問(wèn)題：設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a，兩次增長(zhǎng)（或下降）后為b；增長(zhǎng)率（下降率）為x，第一次增長(zhǎng)（或下降）后為；第二次增長(zhǎng)（或下降）后為2．可列方程為2=b。（2）傳染、分裂問(wèn)題有一人患了流感,經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有121人患了流感,每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人?設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人：（3）握手、比賽問(wèn)題握手問(wèn)題：n個(gè)人見(jiàn)面，任意兩個(gè)人都要握一次手，問(wèn)總共握次手。贈(zèng)卡問(wèn)題：n個(gè)人相互之間送卡片，總共要送張卡片。（4）銷售利潤(rùn)問(wèn)題：①常用公式：利潤(rùn)=售價(jià)-成本；總利潤(rùn)=每件利潤(rùn)×銷售量；②每每問(wèn)題中，單價(jià)每漲a元，少買y件。若漲價(jià)y元，則少買的數(shù)量為（5）幾何面積問(wèn)題（1）如圖①，設(shè)空白部分的寬為x,則；（2）如圖②，設(shè)陰影道路的寬為x,則（3）如圖③，欄桿總長(zhǎng)為a，BC的長(zhǎng)為b,則（6）動(dòng)點(diǎn)與幾何問(wèn)題關(guān)鍵是將點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)關(guān)系表示出來(lái)，找出未知量與已知量的內(nèi)在聯(lián)系，根據(jù)面積或體積公式列出方程.母題精講母題精講【典例1】（2022?西藏）已知關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是（）A．m≥ B．m＜ C．m＞且m≠1 D．m≥且m≠1【答案】D【解答】解：∵關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x﹣3＝0有實(shí)數(shù)根，∴，解得：m≥且m≠1．故選：D．【典例2】（2020?黔西南州）有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，共有121人患了流感，每輪傳染中平均每人傳染了個(gè)人．【答案】10【解答】解：設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人．依題意，得1+x+x（1+x）＝121，即（1+x）2＝121，解方程，得x1＝10，x2＝﹣12（舍去）．答：每輪傳染中平均每人傳染了10人．【典例3】（2022?青海）如圖，小明同學(xué)用一張長(zhǎng)11cm，寬7cm的矩形紙板制作一個(gè)底面積為21cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒，他將紙板的四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣大小的正方形，將四周向上折疊即可（損耗不計(jì)）．設(shè)剪去的正方形邊長(zhǎng)為xcm，則可列出關(guān)于x的方程為．【答案】（11﹣2x）（7﹣2x）＝21【解答】解：由題意可得：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21，故答案為：（11﹣2x）（7﹣2x）＝21 【典例4】（2022?涼山州）解方程：x2﹣2x﹣3＝0．【解答】解：原方程可以變形為（x﹣3）（x+1）＝0x﹣3＝0或x+1＝0∴x1＝3，x2＝﹣1．【典例5】（2021?日照）某藥店新進(jìn)一批桶裝消毒液，每桶進(jìn)價(jià)35元，原計(jì)劃以每桶55元的價(jià)格銷售，為更好地助力疫情防控，現(xiàn)決定降價(jià)銷售．已知這種消毒液銷售量y（桶）與每桶降價(jià)x（元）（0＜x＜20）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示：（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）在這次助力疫情防控活動(dòng)中，該藥店僅獲利1760元．這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)多少元？【解答】解：（1）設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y＝kx+b，將點(diǎn)（1，110）、（3，130）代入一次函數(shù)關(guān)系式得：，解得：，故函數(shù)的關(guān)系式為：y＝10x+100（0＜x＜20）；（2）由題意得：（10x+100）×（55﹣x﹣35）＝1760，整理，得x2﹣10x﹣24＝0．解得x1＝12，x2＝﹣2（舍去）．所以55﹣x＝43．答：這種消毒液每桶實(shí)際售價(jià)43元．【典例6】（2022?德州）如圖，某小區(qū)矩形綠地的長(zhǎng)寬分別為35m，15m．現(xiàn)計(jì)劃對(duì)其進(jìn)行擴(kuò)充，將綠地的長(zhǎng)、寬增加相同的長(zhǎng)度后，得到一個(gè)新的矩形綠地．（1）若擴(kuò)充后的矩形綠地面積為800m，求新的矩形綠地的長(zhǎng)與寬；（2）擴(kuò)充后，實(shí)地測(cè)量發(fā)現(xiàn)新的矩形綠地的長(zhǎng)寬之比為5：3．求新的矩形綠地面積．【解答】解：（1）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加xm，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+x）m，寬為（15+x）m，根據(jù)題意得：（35+x）（15+x）＝800，整理得：x2+50x﹣275＝0解得：x1＝5，x2＝﹣55（不符合題意，舍去），∴35+x＝35+5＝40，15+x＝15+5＝20．答：新的矩形綠地的長(zhǎng)為40m，寬為20m．（2）設(shè)將綠地的長(zhǎng)、寬增加ym，則新的矩形綠地的長(zhǎng)為（35+y）m，寬為（15+y）m，根據(jù)題意得：（35+y）：（15+y）＝5：3，即3（35+y）＝5（15+y），解得：y＝15，∴（35+y）（15+y）＝（35+15）×（15+15）＝1500．答：新的矩形綠地面積為1500m2．【典例7】（2022?南岸區(qū)自主招生）北京冬奧會(huì)期間，某商店購(gòu)進(jìn)600個(gè)紀(jì)念品，每個(gè)紀(jì)念品的進(jìn)價(jià)為6元，第一周以每個(gè)10元的價(jià)格售出200個(gè)．第二周商店為了適當(dāng)增加銷售量，決定降價(jià)銷售．根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，單價(jià)每降低1元，可多售出50個(gè)（售價(jià)不得低于進(jìn)價(jià)）．第三周商店把每個(gè)紀(jì)念品的售價(jià)再在第二周售價(jià)的基礎(chǔ)上降低20%，剩余紀(jì)念品全部售完．注：銷售利潤(rùn)＝銷售量×（售價(jià)﹣進(jìn)價(jià)）（1）若第二周每個(gè)紀(jì)念品降價(jià)m元，用含m的代數(shù)式表示這批紀(jì)念品第二周的銷售利潤(rùn)；（2）若前兩周商店銷售這批紀(jì)念品的利潤(rùn)為1400元，求第二周每個(gè)紀(jì)念品的售價(jià)；（3）若這批紀(jì)念品共獲得銷售利潤(rùn)1730元，求這批紀(jì)念品第三周的銷售數(shù)量．【解答】解：（1）依題意得：第二周每個(gè)紀(jì)念品的銷售利潤(rùn)為（10﹣m﹣6）＝（4﹣m）元，銷售量為（200+50m）個(gè)，∴這批紀(jì)念品第二周的銷售利潤(rùn)為（4﹣m）（200+50m）元．（2）依題意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）＝1400，整理得：m2﹣4＝0，解得：m1＝2，m2＝﹣2（不符合題意，舍去），∴10﹣m＝10﹣2＝8．答：第二周每個(gè)紀(jì)念品的售價(jià)為8元．（3）依題意得：（10﹣6）×200+（4﹣m）（200+50m）+[（10﹣m）×（1﹣20%）﹣6][600﹣200﹣（200+50m）]＝1730，整理得：m2+26m﹣27＝0，解得：m1＝1，m2＝﹣27（不符合題意，舍去），∴600﹣200﹣（200+50m）＝600﹣200﹣（200+50×1）＝150．答：這批紀(jì)念品第三周的銷售數(shù)量為150個(gè)．真題精選真題精選命題1命題1一元二次方程的解法1．（2022?臨沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（）A．x1＝6，x2＝4 B．x1＝6，x2＝﹣4 C．x1＝﹣6，x2＝4 D．x1＝﹣6，x2＝﹣4【答案】B【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，（x﹣6）（x+4）＝0，x﹣6＝0或x+4＝0，解得x1＝6，x2＝﹣4，故選：B．2．（2022?梧州）一元二次方程（x﹣2）（x+7）＝0的根是．【答案】x1＝2，x2＝﹣7【解答】解：（x﹣2）（x+7）＝0，x﹣2＝0或x+7＝0，x1＝2，x2＝﹣7，故答案為：x1＝2，x2＝﹣7．3．（2021?蘭州）解方程：x2+4x﹣1＝0．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0∴x2+4x＝1∴x2+4x+4＝1+4∴（x+2）2＝5∴x＝﹣2±∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．命題2命題2一元二次方程根的判別式4．（2022?郴州）一元二次方程2x2+x﹣1＝0的根的情況是（）A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．只有一個(gè)實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】A【解答】解：∵Δ＝12﹣4×2×（﹣1）＝1+8＝9＞0，∴一元二次方程2x2+x﹣1＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故選：A．5．（2022?蘭州）關(guān)于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k＝（）A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得k≠0且Δ＝22﹣4k×（﹣1）＝0，解得k＝﹣1．故選：B．6．（2022?安順）定義新運(yùn)算a*b：對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b滿足a*b＝（a+b）（a﹣b）﹣1，其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運(yùn)算，例如3*2＝（3+2）（3﹣2）﹣1＝5﹣1＝4．若x*k＝2x（k為實(shí)數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況是（）A．有一個(gè)實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根【答案】B【解答】解：根據(jù)題中的新定義化簡(jiǎn)得：（x+k）（x﹣k）﹣1＝2x，整理得：x2﹣2x﹣1﹣k2＝0，∵Δ＝4﹣4（﹣1﹣k2）＝4k2+8＞0，∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選：B．命題3命題3一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用7．（2022?河池）某廠家今年一月份的口罩產(chǎn)量是30萬(wàn)個(gè)，三月份的口罩產(chǎn)量是50萬(wàn)個(gè)，若設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x．則所列方程為（）A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50【答案】A【解答】解：設(shè)該廠家一月份到三月份的口罩產(chǎn)量的月平均增長(zhǎng)率為x，由題意得，30（1+x）2＝50．故選：A．8．（2022?黑龍江）2022年北京冬奧會(huì)女子冰壺比賽有若干支隊(duì)伍參加了單循環(huán)比賽，單循環(huán)比賽共進(jìn)行了45場(chǎng)，共有多少支隊(duì)伍參加比賽？（）A．8 B．10 C．7 D．9【答案】B【解答】解：設(shè)共有x支隊(duì)伍參加比賽，根據(jù)題意，可得，解得x＝10或x＝﹣9（舍），∴共有10支隊(duì)伍參加比賽．故選：B．9．（2022?寧夏）受國(guó)際油價(jià)影響，今年我國(guó)汽油價(jià)格總體呈上升趨勢(shì)．某地92號(hào)汽油價(jià)格三月底是6.2元/升，五月底是8.9元/升．設(shè)該地92號(hào)汽油價(jià)格這兩個(gè)月平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出方程，正確的是（）A．6.2（1+x）2＝8.9 B．8.9（1+x）2＝6.2 C．6.2（1+x2）＝8.9 D．6.2（1+x）+6.2（1+x）2＝8.9【答案】A【解答】解：依題意得6.2（1+x）2＝8.9，故選：A．10．（2019?廣西）揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長(zhǎng)30m，寬20m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度．設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【答案】D【解答】解：設(shè)花帶的寬度為xm，則可列方程為（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30，故選：D．11．（2021?沈陽(yáng)）某校團(tuán)體操表演隊(duì)伍有6行8列，后又增加了51人，使得團(tuán)體操表演隊(duì)伍增加的行、列數(shù)相同，求增加了多少行或多少列？【解答】解：設(shè)增加了x行，則增加的列數(shù)為x列，根據(jù)題意，得：（6+x）（8+x）﹣6×8＝51，整理，得：x2+14x﹣51＝0，解得x1＝3，x2＝﹣17（舍），答：增加了3行3列．12．（2022?眉山）建設(shè)美麗城市，改造老舊小區(qū)．某市2019年投入資金1000萬(wàn)元，2021年投入資金1440萬(wàn)元，現(xiàn)假定每年投入資金的增長(zhǎng)率相同．（1）求該市改造老舊小區(qū)投入資金的年平均增長(zhǎng)率；（2）2021年老舊