中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識梳理+考點(diǎn)精講專題17 等腰三角形與直角三角形（解析版）

專題17等腰三角形與直角三角形中考命題解讀中考命題解讀縱觀近幾年全國各地的中考試題，三角形常出現(xiàn)的知識點(diǎn)有三角形的性質(zhì)和概念，以及三角形的性質(zhì)與斷定．今后的命題趨勢仍以考察以上知識點(diǎn)為主，以填空題和選擇題為主要考察形式，結(jié)合勾股定理等?？紭?biāo)要求考標(biāo)要求1.了解等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的有關(guān)概念，2.掌握等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的性質(zhì)，掌握一個(gè)三角形是等腰三角形、等邊三角形、直角三角形的條件.3.掌握勾股定理，會運(yùn)用勾股定理解決簡單問題；會用勾股定理的逆定理判定直角三角形.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講考點(diǎn)1：等腰三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)等腰三角形的兩個(gè)底角度數(shù)相等等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高相互重合（簡寫成“等腰三角形三線合一”）等腰三角形是軸對稱圖形，有2條對稱軸判定有兩條邊相等的三角形的等腰三角形有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形面積公式，其中a是底邊常，hs是底邊上的高考點(diǎn)2：等邊三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)三條邊相等三個(gè)內(nèi)角相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于60°等邊三角形是軸對稱圖形，有3條對稱軸判定三條邊都相等的三角形是等邊三角形三個(gè)角相等的三角形是等邊三角形有一個(gè)角的是60°的等腰三角形是等邊三角形面積公式是等邊三角形的邊長，h是任意邊上的高考點(diǎn)3：直角三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)兩銳角之和等于90°斜邊上的中線等于斜邊的一半30°角所對的直角邊等于斜邊的一半若有一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的銳角等于30°（應(yīng)用時(shí)需先證明）勾股定理：若直角三角形的兩直角邊分別為a，b,斜邊為c,則判定有一個(gè)角為90°的三角形時(shí)直角三角形有兩個(gè)角的和時(shí)90°的三角形是直角三角形一邊上的中線等于這條邊的一半的三角形是直角三角形勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長分別為a,b,c若滿足，那么這個(gè)三角形為直角三角形。面積公式，其中a是底邊常，hs是底邊上的高母題精講母題精講【典例1】（2022?桂林）如圖，在△ABC中，∠B＝22.5°，∠C＝45°，若AC＝2，則△ABC的面積是（）A． B．1+ C．2 D．2+【答案】D【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AD⊥AC于A，交BC于D，過點(diǎn)A作AE⊥BC于E，∵∠C＝45°，∴△ADC是等腰直角三角形，∴AD＝AC＝2，∠ADC＝45°，CD＝AC＝2，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝22.5°，∴∠DAB＝22.5°，∴∠B＝∠DAB，∴AD＝BD＝2，∵AD＝AC，AE⊥CD，∴DE＝CE，∴AE＝CD＝，∴△ABC的面積＝?BC?AE＝××（2+2）＝2+．故選：D．【典例2】（2021?長沙）如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，BD＝CD，延長BC至E，使得CE＝CA，連接AE．（1）求證：∠B＝∠ACB；（2）若AB＝5，AD＝4，求△ABE的周長和面積．【解答】解：（1）證明：∵AD⊥BC，BD＝CD，∴AD是BC的中垂線，∴AB＝AC，∴∠B＝∠ACB；（2）在Rt△ADB中，BD＝＝＝3，∴BD＝CD＝3，AC＝AB＝CE＝5，∴BE＝2BD+CE＝2×3+5＝11，在Rt△ADE中，AE＝＝＝4，∴C△ABE＝AB+BE+AE＝5+11+4＝16+4，S△ABE＝＝＝22．【典例3】（2022春?丹江口市期末）《九章算術(shù)》是古代東方數(shù)學(xué)代表作，書中記載：今有開門去閫（讀kǔn，門的意思）一尺，不合二，問門廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），推開雙門，雙門間CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），求門檻AB的長．【解答】解：取AB的中點(diǎn)O，過D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，即門檻AB的長為101寸．真題精選真題精選命題1命題1等腰三角形的性質(zhì)1．（2022?梧州）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別是點(diǎn)E，F(xiàn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．∠ADC＝90° B．DE＝DF C．AD＝BC D．BD＝CD【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分線，∴AD⊥BC，BD＝CD，∠B＝∠C，∴∠ADC＝90°，在△BDE和△CDF中，，∴△BDE≌△CDF（AAS），∴DE＝DF，故選：C．2．（2022?淮安）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC的中點(diǎn)，若AB＝10，則DE的長是（）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【解答】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴DE＝AC＝5，故選：C．3．（2022?鞍山）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝24°，延長BC到點(diǎn)D，使CD＝AC，連接AD，則∠D的度數(shù)為（）A．39° B．40° C．49° D．51°【答案】A【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝24°，∴∠B＝∠ACB＝78°．∵CD＝AC，∠ACB＝78°，∠ACB＝∠D+∠CAD，∴∠D＝∠CAD＝∠ACB＝39°．故選：A．命題2命題2直角三角形的性質(zhì)4．（2022?賀州）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝56°，則∠A的度數(shù)為（）A．34° B．44° C．124° D．134°【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，則∠B+∠A＝90°，∵∠B＝56°，∴∠A＝90°﹣56°＝34°，故選：A．5．（2022?遵義）如圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME）會徽，在其主體圖案中選擇兩個(gè)相鄰的直角三角形，恰好能組合得到如圖2所示的四邊形OABC．若AB＝BC＝1，∠AOB＝30°，則點(diǎn)B到OC的距離為（）A． B． C．1 D．2【答案】B【解答】解：作BH⊥OC于H，∵∠AOB＝30°，∠A＝90°，∴OB＝2AB＝2，在Rt△OBC中，由勾股定理得，OC＝＝，∵∠CBO＝∠BHC＝90°，∴∠CBH＝∠BOC，∴cos∠BOC＝cos∠CBH，∴，∴，∴BH＝，故選：B．6．（2022?荊門）如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無存，但底部未曾受損．已知該金字塔的下底面是一個(gè)邊長為120m的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來高度為（）A．120m B．60m C．60m D．120m【答案】B【解答】解：如圖，∵底部是邊長為120m的正方形，∴BC＝×120＝60m，∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，∴∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝120m，∴AC＝＝m．故選：B7．（2022?資陽）如圖，在△ABC中（AB＜BC），過點(diǎn)C作CD∥AB，在CD上截取CD＝CB，CB上截取CE＝AB，連接DE、DB．（1）求證：△ABC≌△ECD；（2）若∠A＝90°，AB＝3，BD＝2，求△BCD的面積．【解答】（1）證明：∵CD∥AB，CD＝CB，CE＝AB，∴∠ABC＝∠ECD，在△ABC和△ECD中，，∴△ABC≌△ECD（SAS）．（2）解：∵∠A＝90°，∴∠CED＝∠A＝90°，∴∠BED＝180°﹣∠CED＝90°，