中考數(shù)學一輪復習知識梳理+考點精講專題19 相似三角形（解析版）

專題19相似三角形中考命題解讀中考命題解讀相似三角形的應用在中考中主要考察熱點有：8字圖、A字圖等簡單相似模型。出題類型可以是選擇填空這類小題，也可以是18~19這類解答題，難度通常不大，問題背景多以現(xiàn)實中的實物如樹高、樓高、物體尺寸等為背景，提煉出數(shù)學模型，進而利用（或構造）簡單相似模型求解長度等問題。考標要求考標要求1.比例的基本性質，線段的比。成比例線段2.認識圖形的相似，探索相似圖形的性質3.相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例，面積的比等于對應邊比的平方4.兩個三角形相似的概念，圖形的位似5.探索兩個三角形相似的條件6.利用位似將一個圖形放大或縮小考點精講考點精講考點1：平行線分線段成比例定理1、比例線段的有關概念：在比例式（）中，、叫外項，、叫內項，、叫前項，、叫后項，叫第四比例項，如果，那么叫做、的比例中項．2、把線段AB分成兩條線段AC和BC，使，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點。比例性質：；；；4、平行線分線段成比例定理（1）平行線分線段成比例定理：三條平行線截兩條直線，所得的對應線段成比例．如圖，已知∥∥，可得等．（2）推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例．由DE∥BC可得：．此推論較原定理應用更加廣泛．（3）推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例．那么這條直線平行于三角形的第三邊．此定理給出了一種證明兩直線平行方法，即：利用比例式證平行線．定理：平行于三角形的一邊，并且和其它兩邊相交的直線，所截的三角形的三邊與原三角形三邊對應成比例．考點2：相似三角形的性質性質1：相似三角形的對應角相等，對應邊對應成比例.性質2：相似三角形中的重要線段的比等于相似比.相似三角形對應高，對應中線，對應角平分線的比都等于相似比.注意：要特別注意“對應”兩個字，在應用時，要注意找準對應線段.性質3：相似三角形周長的比等于相似比如圖一：∽，則由比例性質可得：圖一性質4：相似三角形面積的比等于相似比的平方如圖二，∽，則分別作出與的高和，則圖二考點3：相似三角形的判定1．判定方法（1）平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形和原三角形相似.2．判定方法（2）：如果兩個三角形的三組對應邊的比相等，那么這兩個三角形相似.3．判定方法（3）：如果兩個三角形的兩組對應邊的比相等，并且相應的夾角相等，那么這兩個三角形相似.4.判定方法（4）：如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相等，那么這兩個三角形相似.

相似三角形的基本圖形：

1、“A”字型DE∥BC2、“X”字型AB∥CD3、斜交型∠1=∠24、蝴蝶型∠A=∠D或∠B=∠C5、雙垂型，6、雙垂型拓展圖∠ABD=∠C母題精講母題精講【典例1】（2022?杭州）如圖，在△ABC中，點D，E，F(xiàn)分別在邊AB，AC，BC上，連接DE，EF．已知四邊形BFED是平行四邊形，＝．（1）若AB＝8，求線段AD的長．（2）若△ADE的面積為1，求平行四邊形BFED的面積．【解答】解：（1）∵四邊形BFED是平行四邊形，∴DE∥BF，∴DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AB＝8，∴AD＝2；（2）∵△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝，∵△ADE的面積為1，∴△ABC的面積是16，∵四邊形BFED是平行四邊形，∴EF∥AB，∴△EFC∽△ABC，∴＝（）2＝，∴△EFC的面積＝9，∴平行四邊形BFED的面積＝16﹣9﹣1＝6．真題精選真題精選命題點1相似三角形的有關計算命題點1相似三角形的有關計算1．（2022?蘭州）已知△ABC∽△DEF，＝，若BC＝2，則EF＝（）A．4 B．6 C．8 D．16【答案】A【解答】解：∵△ABC∽△DEF，∴，∵＝，BC＝2，∴，∴EF＝4，故選：A．2．（2022?貴陽）如圖，在△ABC中，D是AB邊上的點，∠B＝∠ACD，AC：AB＝1：2，則△ADC與△ACB的周長比是（）A．1： B．1：2 C．1：3 D．1：4【答案】B【解答】解：∵∠B＝∠ACD，∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC，∴＝＝，故選：B．3．（2022?百色）已知△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，則△ABC與△A'B'C'的面積比是（）A．1：3 B．1：6 C．1：9 D．3：1【答案】C【解答】解：∵△ABC與△A'B'C'是位似圖形，位似比是1：3，∴△ABC與△A'B'C'相似比是1：3，∴△ABC與△A'B'C'的面積比是1：9．故選：C．4．（2022?臨沂）如圖，在△ABC中，DE∥BC，＝，若AC＝6，則EC＝（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵DE∥BC，∴＝，∴，∴，∴EC＝．故選：C．5．（2022?賀州）如圖，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝5，則S△ADE：S△ABC的值是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵DE∥BC，∴S△ADE∽S△ABC，∵DE＝2，BC＝5，∴S△ADE：S△ABC的值為，故選：B．6．（2022?達州）如圖，點E在矩形ABCD的AB邊上，將△ADE沿DE翻折，點A恰好落在BC邊上的點F處，若CD＝3BF，BE＝4，則AD的長為（）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠EBF＝∠BCD＝90°，∵將矩形ABCD沿直線DE折疊，∴AD＝DF＝BC，∠A＝∠DFE＝90°，∴∠BFE+∠DFC＝∠BFE+∠BEF＝90°，∴∠BEF＝∠CFD，∴△BEF∽△CFD，∴，∵CD＝3BF，∴CF＝3BE＝12，設BF＝x，則CD＝3x，DF＝BC＝x+12，∵∠C＝90°，∴Rt△CDF中，CD2+CF2＝DF2，∴（3x）2+122＝（x+12）2，解得x＝3（舍去0根），∴AD＝DF＝3+12＝15，故選：C．7．（2022?東營）如圖，在△ABC中，點F、G在BC上，點E、H分別在AB、AC上，四邊形EFGH是矩形，EH＝2EF，AD是△ABC的高，BC＝8，AD＝6，那么EH的長為．【答案】【解答】解：設AD交EH于點R，∵矩形EFGH的邊FG在BC上，∴EH∥BC，∠EFC＝90°，∴△AEH∽△ABC，∵AD⊥BC于點D，∴∠ARE＝∠ADB＝90°，∴AR⊥EH，∴＝，∵EF⊥BC，RD⊥BC，EH＝2EF，∴RD＝EF＝EH，∵BC＝8，AD＝6，AR＝6﹣EH，∴＝，解得EH＝，∴EH的長為，故答案為：．命題點相似三角形的實際應用命題點相似三角形的實際應用8．（2022?百色）數(shù)學興趣小組通過測量旗桿的影長來求旗桿的高度，他們在某一時刻測得高為2米的標桿影長為1.2米，此時旗桿影長為7.2米，則旗桿的高度為米．【答案】12【解答】解：設旗桿的高度為x米，根據(jù)題意得：＝，解得x＝12，∴旗桿的高度為12米，故答案為：12．9．（2022?廣西）古希臘數(shù)學家泰勒斯曾利用立桿測影的方法，在金字塔影子的頂部直立一根木桿，借助太陽光測金字塔的高度．如圖，木桿EF長2米，它的影長FD是4米，同一時刻測得OA是268米，則金字塔的高度BO是米．【答案】134【解答】解：據(jù)相同時刻的物高與影長成比例，設金字塔的高度BO為x米，則可列比例為，，解得：x＝134，經檢驗，x＝134是原方程的解，∴BO＝134．故答案為：134．10．（2022?陜西）在20世紀70年代，我國著名數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，取得了很大成果．如圖，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，其中E為邊AB的黃金分割點，即BE2＝AE?AB．已知AB為2米，則線段BE的長為米．【答案】（﹣1+）【解答】解：∵BE2＝AE?AB，設BE＝x，則AE＝（2﹣x），∵AB＝2，∴x2＝2（2﹣x），即x2+2x﹣4＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣1﹣（舍去），∴線段BE的長為（﹣1+）米．故答案為：（﹣1+）．11．（2022?菏澤）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，E是邊AC上一點，且BE＝BC，過點A作BE的垂線，交BE的延長線于點D，求證：△ADE∽△ABC．【解答】證明：∵BE＝BC，∴∠C＝∠CEB，∵∠CEB＝∠AED，∴∠C＝∠AED，∵AD⊥BE，∴∠D＝∠ABC＝90°，∴△ADE∽△ABC．12．（2022?陜西）小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.