中考數(shù)學一輪復習知識梳理+考點精講專題20 銳角三角函數(shù)（解析版）

專題20銳角三角函數(shù)中考命題解讀中考命題解讀1.理解銳角三角函數(shù)的定義、性質(zhì)及應用，特殊角三角函數(shù)值的求法，運用銳角三角函數(shù)解決與直角三角形有關(guān)的實際問題.題型有選擇題、填空題、解答題，多以中、低檔題出現(xiàn)；2.命題的熱點為根據(jù)題中給出的信息構(gòu)建圖形，建立數(shù)學模型，然后用解直角三角形的知識解決問題.考標要求考標要求1、理解銳角三角函數(shù)的定義，并熟練記憶特殊角的三角函數(shù)值.

2、會用銳角三角函數(shù)值解決實際問題?？键c精講考點精講考點1：銳角三角函數(shù)的概念如圖所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A所對的邊BC記為a，叫做∠A的對邊，也叫做∠B的鄰邊，∠B所對的邊AC記為b，叫做∠B的對邊，也是∠A的鄰邊，直角C所對的邊AB記為c，叫做斜邊．

銳角A的對邊與斜邊的比叫做∠A的正弦，記作sinA，即；銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦，記作cosA，即；銳角A的對邊與鄰邊的比叫做∠A的正切，記作tanA，即.同理；；．考點2：特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義，可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值，歸納如下：銳角30°45°160°考點3：解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的過程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5個元素，即三條邊和兩個銳角.設(shè)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所對的邊分別為a、b、c，則有：①三邊之間的關(guān)系：a2+b2=c2(勾股定理).②銳角之間的關(guān)系：∠A+∠B=90°.③邊角之間的關(guān)系：，，，，，.④，h為斜邊上的高.注意：(1)直角三角形中有一個元素為定值(直角為90°)，是已知值.(2)這里講的直角三角形的邊角關(guān)系指的是等式，沒有包括其他關(guān)系(如不等關(guān)系).(3)對這些式子的理解和記憶要結(jié)合圖形，可以更加清楚、直觀地理解.考點4：解直角三角形的常見類型及解法已知條件解法步驟Rt△ABC兩邊兩直角邊(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜邊，一直角邊(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一邊一角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，銳角、對邊(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜邊、銳角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，注意：1．在遇到解直角三角形的實際問題時，最好是先畫出一個直角三角形的草圖，按題意標明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先確定銳角、再確定它的對邊和鄰邊的順序進行計算.2．若題中無特殊說明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知條件中至少有一個條件為邊.考點5：解直角三角形的應用（1）坡度坡角在用直角三角形知識解決實際問題時，經(jīng)常會用到以下概念：

(1)坡角：坡面與水平面的夾角叫做坡角，用字母表示.

坡度(坡比)：坡面的鉛直高度h和水平距離的比叫做坡度，用字母表示，則，如圖，坡度通常寫成=∶的形式.（2）仰角俯角問題仰角、俯角：視線與水平線所成的角中，視線中水平線上方的叫做仰角，在水平線下方的叫做俯角，如圖.

（3）方位角問題方位角：從某點的指北方向線按順時針轉(zhuǎn)到目標方向的水平角叫做方位角，如圖①中，目標方向PA，PB，PC的方位角分別為是40°，135°，245°.

(2)方向角：指北或指南方向線與目標方向線所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如圖②中的目標方向線OA，OB，OC，OD的方向角分別表示北偏東30°，南偏東45°，南偏西80°，北偏西60°.特別如：東南方向指的是南偏東45°，東北方向指的是北偏東45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.

注意：

1．解直角三角形實際是用三角知識，通過數(shù)值計算，去求出圖形中的某些邊的長或角的大小，最好畫出它的示意圖.

2．非直接解直角三角形的問題，要觀察圖形特點，恰當引輔助線，使其轉(zhuǎn)化為直角三角形或矩形來解.

3．解直角三角形的應用題時，首先弄清題意(關(guān)鍵弄清其中名詞術(shù)語的意義)，然后正確畫出示意圖，進而根據(jù)條件選擇合適的方法求解.母題精講母題精講【典例1】（2022?柳州）如圖，某水庫堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα＝，堤壩高BC＝30m，則迎水坡面AB的長度為m．【答案】50【解答】解：∵sinα＝，堤壩高BC＝30m，∴sinα＝＝＝，解得：AB＝50．故答案為：50．【典例2】（2022?連云港）如圖，在6×6正方形網(wǎng)格中，△ABC的頂點A、B、C都在網(wǎng)格線上，且都是小正方形邊的中點，則sinA＝．【答案】【解答】解：設(shè)每個小正方形的邊長為a，作CD⊥AB于點D，由圖可得：CD＝4a，AD＝3a，∴AC＝＝＝5a，∴sin∠CAB＝＝＝，故答案為：．【典例3】（2022?貴港）如圖，某數(shù)學興趣小組測量一棵樹CD的高度，在點A處測得樹頂C的仰角為45°，在點B處測得樹頂C的仰角為60°，且A，B，D三點在同一直線上，若AB＝16m，則這棵樹CD的高度是（）A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m【答案】A【解答】解：設(shè)AD＝x米，∵AB＝16米，∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米，在Rt△ADC中，∠A＝45°，∴CD＝AD?tan45°＝x（米），在Rt△CDB中，∠B＝60°，∴tan60°＝＝＝，∴x＝24﹣8，經(jīng)檢驗：x＝24﹣8是原方程的根，∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米，∴這棵樹CD的高度是8（3﹣）米，故選：A．【典例4】（2022?河池）如圖，小敏在數(shù)學實踐活動中，利用所學知識對他所在小區(qū)居民樓AB的高度進行測量，從小敏家陽臺C測得點A的仰角為33°，測得點B的俯角為45°，已知觀測點到地面的高度CD＝36m，求居民樓AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.55，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）．【解答】解：如圖，過點C作CE⊥AB，垂足為E，由題意得，CD＝36m，∠BCE＝45°，∠ACE＝33°，在Rt△BCE中，∠BCE＝45°，∴BE＝CE＝CD＝36m，在Rt△ACE中，∠ACE＝33°，CE＝36m，∴AE＝CE?tan33°≈36×0.65≈23.4（m），∴AB＝AE+BE＝36+23.4＝59.4≈59（m），答：居民樓AB的高度約為59m．【典例5】（2022?郴州）如圖是某水庫大壩的橫截面，壩高CD＝20m，背水坡BC的坡度為i1＝1：1．為了對水庫大壩進行升級加固，降低背水坡的傾斜程度，設(shè)計人員準備把背水坡的坡度改為i2＝1：，求背水坡新起點A與原起點B之間的距離．（參考數(shù)據(jù)：≈1.41，≈1.73．結(jié)果精確到0.1m）【解答】解：在Rt△BCD中，∵BC的坡度為i1＝1：1，∴＝1，∴CD＝BD＝20米，在Rt△ACD中，∵AC的坡度為i2＝1：，∴＝，∴AD＝CD＝20（米），∴AB＝AD﹣BD＝20﹣20≈14.6（米），∴背水坡新起點A與原起點B之間的距離約為14.6米．【典例6】（2022?朝陽）某數(shù)學興趣小組準備測量校園內(nèi)旗桿頂端到地面的高度（旗桿底端有臺階）．該小組在C處安置測角儀CD，測得旗桿頂端A的仰角為30°，前進8m到達E處，安置測角儀EF，測得旗桿頂端A的仰角為45°（點B，E，C在同一直線上），測角儀支架高CD＝EF＝1.2m，求旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：≈1.7）【解答】解：延長DF交AB于點G，由題意得：DF＝CE＝8m，DC＝EF＝BG＝1.2m，∠AGF＝90°，設(shè)AG＝xm，在Rt△AFG中，∠AFG＝45°，∴FG＝＝x（m），∴DG＝DF+FG＝（x+8）m，在Rt△ADG中，∠ADG＝30°，∴tan30°＝＝＝，∴x＝4+4，經(jīng)檢驗：x＝4+4是原方程的根，∴AB＝AG+BG≈12（m），∴旗桿頂端A到地面的距離即AB的長度約為12m．真題精選真題精選命題點1銳角三角函數(shù)命題點1銳角三角函數(shù)1．（2021?天津）tan30°的值等于（）A． B． C．1 D．2【答案】A【解答】解：tan30°＝．故選：A．2．（2019?懷化）已知∠α為銳角，且sinα＝，則∠α＝（）A．30° B．45° C．60° D．90°【答案】A【解答】解：∵∠α為銳角，且sinα＝，∴∠α＝30°．故選：A．3．（2021?云南）在△ABC中，∠ABC＝90°．若AC＝100，sinA＝，則AB的長是（）A． B． C．60 D．80【答案】D【解答】解：∵AC＝100，sinA＝，∴BC＝60，∴AB＝＝80，故選：D．4．（2021?宜昌）如圖，△ABC的頂點是正方形網(wǎng)格的格點，則cos∠ABC的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：法一、如圖，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴AB＝＝＝3，∴cos∠ABC＝＝＝．故選：B．法二、在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，AD＝BD＝3，∴∠ABD＝∠BAD＝45°，∴cos∠ABC＝cos45°＝．故選：B．5．（2021?玉林）如圖，△ABC底邊BC上的高為h1，△PQR底邊QR上的高為h2，則有（）A．h1＝h2 B．h1＜h2 C．h1＞h2 D．以上都有可能【答案】A【解答】解：如圖，分別作出△ABC底邊BC上的高為AD即h1，△PQR底邊QR上的高為PE即h2，在Rt△ADC中，h1＝AD＝5×sin55°，在Rt△PER中，h2＝PE＝5×sin55°，∴h1＝h2，故選：A．命題點2銳角三角函數(shù)的實際應用命題點2銳角三角函數(shù)的實際應用模型一：單個直角三角形8．（2021?福建）如圖，某研究性學習小組為測量學校A與河對岸工廠B之間的距離，在學校附近選一點C，利用測量儀器測得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km．據(jù)此，可求得學校與工廠之間的距離AB等于（）A．2km B．3km C．km D．4km【答案】D【解答】解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝2km，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4（km）．故選：D．9．（2021?金華）如圖是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC與地面BC的夾角為α，則兩梯腳之間的距離BC為（）A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D．米【答案】A【解答】解：過點A作AD⊥BC于點D，∵AB＝AC＝2米，AD⊥BC，∴BD＝DC，∴cosα＝＝，∴DC＝2cosα（米），∴BC＝2DC＝2×2cosα＝4cosα（米）．故選：A．模型二：背靠背型10.（2022?甘南州）如圖，從熱氣球C上測得兩建筑物A、B底部的俯角分別為30°和60度．如果這時氣球的高度CD為90米．且點A、D、B在同一直線上，求建筑物A、B間的距離．【解答】解：由已知，得∠ECA＝30°，∠FCB＝60°，CD＝90米，EF∥AB，CD⊥AB于點D．∴∠A＝∠ECA＝30°，∠B＝∠FCB＝60°．在Rt△ACD中，∠CDA＝90°，tanA＝，∴AD＝＝90×＝90（米）．在Rt△BCD中，∠CDB＝90°，tanB＝，∴DB＝＝30（米）．∴AB＝AD+BD＝90+30＝120（米）．答：建筑物A、B間的距離為120米．11.（2021?鎮(zhèn)江）某海域有A，B兩個港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船從A港口出發(fā)，沿東北方向行駛一段距離后，到達位于B港口南偏東75°方向的C處，求該船與B港口之間的距離即CB的長（結(jié)果保留根號）．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠EAB＝30°，AE∥BF，∴∠FBA＝30°，又∠FBC＝75°，∴∠ABD＝45°，又AB＝60（海里），∴AD＝BD＝30（海里），∵∠BAC＝∠BAE+∠CAE＝75°，∠ABC＝45°，∴∠C＝60°，在Rt△ACD中，∠C＝60°，AD＝30（海里），則tanC＝，∴CD＝＝10（海里），∴BC＝（30+10）海里，故該船與B港口之間的距離CB的長為（30+10）海里．12.（2021?柳州）在一次海上救援中，兩艘專業(yè)救助船A、B同時收到某事故漁船P的求救訊息，已知此時救助船B在A的正北方向，事故漁船P在救助船A的北偏西30°方向上，在救助船B的西南方向上，且事故漁船P與救助船A相距120海里．（1）求收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離（結(jié)果保留根號）；（2）求救助船A、B分別以40海里/小時，30海里/小時的速度同時出發(fā)，勻速直線前往事故漁船P處搜救，試通過計算判斷哪艘船先到達．【解答】解：（1）作PC⊥AB于C，如圖所示：則∠PCA＝∠PCB＝90°，由題意得：PA＝120海里，∠A＝30°，∠CBP＝45°，在Rt△ACP中，∵∠CAP＝30°，∠PCA＝90°，∴PC＝PA＝60海里，在Rt△BCP中，∵∠PCB＝90°，∠CBP＝45°，sin∠CBP＝，∴PB＝＝＝60（海里），答：收到求救訊息時事故漁船P與救助船B之間的距離為60海里；（2）∵PA＝120海里，PB＝60海里，救助船A，B分別以40海里/小時、30海里/小時的速度同時出發(fā)，∴救助船A所用的時間為＝3（小時），救助船B所用的時間為＝2（小時），∵3＞2，∴救助船B先到達．模型三：母子型13．（2022?濟南）數(shù)學活動小組到某廣場測量標志性建筑AB的高度．如圖，他們在地面上C點測得最高點A的仰角為22°，再向前70m至D點，又測得最高點A的仰角為58°，點C，D，B在同一直線上，則該建筑物AB的高度約為（）（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，tan22°≈0.40，sin58°≈0.85，tan58°≈1.60）A．28m B．34m C．37m D．46m【答案】C【解答】解：由題意可知：AB⊥BC，在Rt△ADB中，∠B＝90°，∠ADB＝58°，∵tan∠ADB＝tan58°＝，∴BD＝≈（m），在Rt△ACB中，∠B＝90°，∠C＝22°，∵CD＝70m，∴BC＝CD+BD＝（70+）m，∴AB＝BC×tanC≈（70+）×0.40（m），解得：AB≈37m，答：該建筑物AB的高度約為37m．故選：C．14．（2022?平定縣模擬）2022年2月20日，舉世矚目的北京冬奧會圓滿落下帷幕．北京冬奧會為綠色辦奧、科技辦奧貢獻了中國樣本和中國智慧，讓奧運精神點亮更多人的冰雪夢想，并以冰雪運動和奧林匹克精神為紐帶，凝聚更團結(jié)的力量．圖1，圖2分別是一名滑雪運動員在滑雪過程中某一時刻的實物圖與示意圖，已知運動員的小腿ED與斜坡AB垂直，大腿EF與斜坡AB平行，G為頭部，假設(shè)G，E，D三點共線，若大腿彎曲處與滑雪板后端的距離EM長為0.9m，該運動員大腿EF長為0.4m，且其上半身GF長為0.8m，∠EMD＝35°．（1）求此刻滑雪運動員的身體與大腿所成的夾角∠GFE的度數(shù)；（2）求此刻運動員頭部G到斜坡AB的高度．（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，）【解答】解：（1）連接GE，∵EF∥AB，ED⊥AB，G，E，D三點共線，∴∠GEF＝∠EDM＝90°，∵EF＝0.4m，GF＝0.8m，∴cos∠GFE＝＝，∴∠GFE＝60°；（2）由（1）得∠GFE＝60°，在Rt△GFE中，GE＝GF?sin∠GFE＝×＝≈0.69（m），在Rt△EDM中，∠EMD＝35°，EM＝0.9m，∴ED＝EM?sin∠EMD＝0.9×sin35°≈0.51（m），∴GD＝GE+ED≈0.69+0.51＝1.2（m），答：此刻運動員頭部G到斜坡AB的高度約為1.2m．15．（2022?宜賓）宜賓東樓始建于唐代，重建于宜賓建城2200周年之際的2018年，新建成的東樓（如圖1）成為長江首城會客廳、旅游休閑目的地、文化地標打卡地．某數(shù)學小組為測量東樓的高度，在梯步A處（如圖2）測得樓頂D的仰角為45°，沿坡比為7：24的斜坡AB前行25米到達平臺B處，測得樓頂D的仰角為60°，求東樓的高度DE．（結(jié)果精確到1米．參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4）【解答】解：由已知可得，tan∠BAF＝＝，AB＝25米，∠DBE＝60°，∠DAC＝45°，∠C＝90°，設(shè)BF＝7a米，AF＝24a米，∴（7a）2+（24a）2＝252，解得a＝1，∴AF＝24米，BF＝7米，∵∠DAC＝45°，∠C＝90°，∴∠DAC＝∠ADC＝45°，∴AC＝DC，設(shè)DE＝x米，則DC＝（x+7）米，BE＝CF＝x+7﹣24＝（x﹣17）米，∵tan∠DBE＝＝，∴tan60°＝，解得x≈41，答：東樓的高度DE約為41米．模型三：母子型16．（2022?澄邁縣模擬）如圖，某教學樓AB的后面有一建筑物CD，當光線與地面的夾角是22°時，教學樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當光線與地面夾角是45°時，教學樓頂部A在地面上的影子F與墻角C的距離為18m（B、F、C在同一直線上）．求教學樓AB的高；（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）【解答】解：過點E作EG⊥AB于G，則四邊形BCEG是矩形，∴BC＝EG，BG＝CE＝2m設(shè)教學樓AB的高為xm，∵∠AFB＝45°，∴∠FAB＝45°，∴BF＝AB＝xm，∴EG＝BC＝（x+1