【名師一號(hào)】2020-2021學(xué)年人教A版高中數(shù)學(xué)選修2-2雙基限時(shí)練15

雙基限時(shí)練(十五)1．下列說法中正確的是()A．合情推理就是正確的推理B．合情推理就是歸納推理C．歸納推理是從一般到特殊的推理過程D．類比推理是從特殊到特殊的推理過程答案D2．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推出正四周體的下列性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長(zhǎng)相等，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等；②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等；③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任意兩條棱的夾角都相等．A．① B．③C．①② D．①②③答案D3．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r，a，b，c為三角形的邊長(zhǎng)，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理可以得出四周體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)·r(S1，S2，S3，S4分別為四周體的四個(gè)面的面積，r為四周體內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)·h(h為四周體的高)解析面積與體積，邊長(zhǎng)與面積，圓與球進(jìn)行類比，應(yīng)選C.答案C4．觀看(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cosx)′＝－sinx，又歸納推理可得：若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，記g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x)C．g(x) D．－g(x)解析歸納所給出的導(dǎo)函數(shù)知，原函數(shù)為偶函數(shù)，則其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù)，依據(jù)這一規(guī)律可知，f(x)為偶函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)g(x)必為奇函數(shù)，故g(－x)＝－g(x)．答案D5．已知對(duì)正數(shù)a和b，有下列命題：①若a＋b＝1，則eq\r(ab)≤eq\f(1,2)；②若a＋b＝3，則eq\r(ab)≤eq\f(3,2)；③若a＋b＝6，則eq\r(ab)≤3.依據(jù)以上三個(gè)命題供應(yīng)的規(guī)律猜想：若a＋b＝9，則eq\r(ab)≤()A．2 B.eq\f(9,2)C．4 D．5答案B6．在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示在x軸，y軸上的截距分別為a和b的直線，拓展到空間，在x，y，z軸上的截距分別為a，b，c(abc≠0)的直線方程為()A.eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＋eq\f(z,c)＝1 B.eq\f(x,ab)＋eq\f(y,bc)＋eq\f(z,ca)＝1C.eq\f(xy,ab)＋eq\f(yz,bc)＋eq\f(zx,ca)＝1 D．a(chǎn)x＋by＋cz＝1答案A7．順次計(jì)算數(shù)列：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…的前4項(xiàng)的值，由此猜想：an＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＋n＋(n－1)＋…＋3＋2＋1的結(jié)果為________．解析1＝12，1＋2＋1＝4＝22，1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，……由此可以猜想an＝n2.答案n28．圓的面積S＝πr2，周長(zhǎng)c＝2πr，兩者滿足c＝S′(r)，類比此關(guān)系寫出球的公式的一個(gè)結(jié)論是：________.解析球的面積S＝4πr2，球的體積V＝eq\f(4,3)πr3，則有S＝V′(r)＝4πr2.答案V球＝eq\f(4,3)πr3，S球＝4πr2，滿足S＝V′(r)9．觀看以下各等式：sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°＝eq\f(3,4)，sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°＝eq\f(3,4)，sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°＝eq\f(3,4).分析上述各式的共同特點(diǎn)，猜想出反映一般規(guī)律的等式，為____________________．答案sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)＝eq\f(3,4)10．下圖的倒三角形數(shù)陣滿足：(1)第1行的n個(gè)數(shù)分別是1,3,5，…，2n－1；(2)從第2行起，各行中的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)之和；(3)數(shù)陣共有n行．則第5行的第7個(gè)數(shù)是________．解析觀看倒三角形數(shù)陣知，每一行均為等差數(shù)列，且第1行的公差為2，第2行的公差為4，第3行的公差為8，第4行的公差為16，第5行的公差為32.又推得第5行第一個(gè)數(shù)字為80，故第5行第7個(gè)數(shù)字是80＋32×(7－1)＝272.答案27211．兩條直線最多有一個(gè)交點(diǎn)，3條直線最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線最多有6個(gè)交點(diǎn)，5條直線最多有10個(gè)交點(diǎn)，……，試歸納出n條直線最多有多少個(gè)交點(diǎn)．解設(shè)直線條數(shù)為n，最多交點(diǎn)個(gè)數(shù)為f(n)，則f(2)＝1，f(3)＝3＝1＋2，f(4)＝6＝1＋2＋3，f(5)＝10＝1＋2＋3＋4，f(6)＝15＝1＋2＋3＋4＋5，……由此可以歸納出，n條直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多為f(n)＝1＋2＋3＋…＋(n－1)＝eq\f(nn－1,2).12．設(shè)an是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且(n＋1)aeq\o\al(2,n＋1)－naeq\o\al(2,n)＋an＋1·an＝0(n≥1，n∈N)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式．解當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，且2a22－a21＋a2·a即2a22＋a2－1＝0，解得a2＝eq\f(1,2)，當(dāng)n＝2時(shí)，由3a23－2(eq\f(1,2))2＋eq\f(1,2)a3＝0，即6a23＋a3－1＝0，解得a3＝eq\f(1,3)，……由此猜想：an＝eq\f(1,n).13．某同學(xué)在一次爭(zhēng)辯性學(xué)習(xí)中發(fā)覺，以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù)．①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218°＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè)，求出這個(gè)常數(shù)；(2)依據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果，將該同學(xué)的發(fā)覺推廣為三角恒等式，并證明你的結(jié)論．解(1)選擇②式計(jì)算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－eq\f(1,2)sin30°＝1－eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).(2)推廣到一般狀況有三角恒等式：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝eq\f(3,4).證明：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋eq\f(3,4)co