【2022屆走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪(北師大版)基礎(chǔ)鞏固：第11章-第5節(jié)-古典概型

第十一章第五節(jié)一、選擇題1．從甲、乙、丙三人中任選兩名代表，甲被選中的概率為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(2,3) D．1[答案]C[解析]由于三個(gè)人被選中的可能性相等，且基本大事是有限的，故是古典概型，基本大事為甲乙，甲丙，乙丙，故甲被選中有甲乙，甲丙，故P＝eq\f(2,3).2．從集合A＝{2,3，－4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為k，從集合B＝{－2，－3,4}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)記為b，則直線y＝kx＋b不經(jīng)過其次象限的概率為()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(4,9) D．eq\f(5,9)[答案]C[解析]依題意k和b的全部可能的取法一共有3×3＝9種，其中當(dāng)直線y＝kx＋b不經(jīng)過其次象限時(shí)應(yīng)有k>0，b<0，一共有2×2＝4種，所以所求概率為eq\f(4,9).3．(2022·新課標(biāo)Ⅰ)4位同學(xué)各拘束周六、周日兩天中任選一天參與公益活動，則周六、周日都有同學(xué)參與公益活動的概率為A．eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C．eq\f(5,8) D．eq\f(7,8)[答案]D[解析]四位同學(xué)各拘束周六、周日兩天選擇一天參與公益活動的狀況有24＝16種方式，其中僅在周六(周日)參與的各有一種，故所求概率P＝1－eq\f(1＋1,16)＝eq\f(7,8).4．某班預(yù)備到郊外野營，為此向商店定了帳篷，假如下雨與不下雨是等可能的，能否準(zhǔn)時(shí)收到帳篷也是等可能的，只要帳篷如期運(yùn)到，他們就不會淋雨，則下列說法正確的是()A．確定不會淋雨 B．淋雨的可能性為eq\f(3,4)C．淋雨的可能性為eq\f(1,2) D．淋雨的可能性為eq\f(1,4)[答案]D[解析]此次野營共4種結(jié)果：下雨，收到帳篷；不下雨，收到帳篷；下雨，未收到帳篷；不下雨，未收到帳篷．只有“下雨，未收到帳篷”會淋雨，所以P＝eq\f(1,4).5．有3個(gè)愛好小組，甲、乙兩位同學(xué)各自參與其中一個(gè)小組，每位同學(xué)參與各個(gè)小組的可能性相同，則這兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛好小組的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,2)C．eq\f(2,3) D．eq\f(3,4)[答案]A[解析]甲乙兩位同學(xué)參與3個(gè)小組的全部可能性共3×3＝9(種)，其中甲、乙兩人參與同一個(gè)小組的狀況有3種，故甲、乙兩位同學(xué)參與同一個(gè)愛好小組的概率為P＝eq\f(3,9)＝eq\f(1,3).6．(文)甲、乙兩人各拋擲一次正方體骰子(六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)．設(shè)甲、乙所拋擲骰子朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，則滿足復(fù)數(shù)x＋yi的實(shí)部大于虛部的概率是()A．eq\f(1,6) B．eq\f(5,12)C．eq\f(7,12) D．eq\f(1,3)[答案]B[解析]總共有36種狀況．當(dāng)x＝6時(shí)，y有5種狀況；當(dāng)x＝5時(shí)，y有4種狀況；當(dāng)x＝4時(shí)，y有3種狀況；當(dāng)x＝3時(shí)，y有2種狀況；當(dāng)x＝2時(shí)，y有1種狀況．所以P＝eq\f(5＋4＋3＋2＋1,36)＝eq\f(5,12).(理)投擲兩顆骰子，其向上的點(diǎn)數(shù)分別為m和n，則復(fù)數(shù)(m＋ni)2為純虛數(shù)的概率為()A．eq\f(1,3) B．eq\f(1,4)C．eq\f(1,6) D．eq\f(1,12)[答案]C[解析]∵(m＋ni)2＝m2－n2＋2mni為純虛數(shù)，∴m2－n2＝0，∴m＝n，(m，n)的全部可能取法有6×6＝36種，其中滿足m＝n的取法有6種，∴所求概率P＝eq\f(6,36)＝eq\f(1,6).二、填空題7．(文)(2022·浙江高考)在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎．甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是________．[答案]eq\f(1,3)[解析]該題考查古典概型，用列舉法求解．給3張獎券編號一等獎為a，二等獎為b，無獎為C．甲、乙兩人各抽取一張，共有(a，b)，(b，a)，(a，c)(c，a)(b，c)(c，b)6種，兩人都中獎為(a，b)，(b，a)2種，∴所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).(理)(2022·江西高考)10件產(chǎn)品中有7件正品，3件次品，從中任取4件，則恰好取到1件次品的概率是________．[答案]eq\f(1,2)[解析]本題考查隨機(jī)變量的概率的求法．P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(3,7),C\o\al(4,10))＝eq\f(1,2).8．(文)現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，－3為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是________．[答案]eq\f(3,5)[解析]本題考查等比數(shù)列及古典概型的學(xué)問．等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－3)n－1.所以此數(shù)列中偶數(shù)項(xiàng)都為負(fù)值，奇數(shù)項(xiàng)全為正值．若an≥8，則n為奇數(shù)且(－3)n－1＝3n－1≥8，則n－1≥2，∴n≥3，∴n＝3,5,7,9共四項(xiàng)滿足要求．∴p＝1－eq\f(4,10)＝eq\f(3,5).(理)從甲、乙等10位同學(xué)中任選3位去參與某項(xiàng)活動，則所選3位中有甲但沒有乙的概率為________．[答案]eq\f(7,30)[解析]若所選的3位中有甲但沒有乙，只需從剩下的8位同學(xué)中選2位即可，故所求概率為P＝eq\f(C\o\al(2,8),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,30).9．(文)一次擲兩粒骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有實(shí)數(shù)根的概率是________．[答案]eq\f(11,12)[解析]基本大事共36個(gè)，∵方程有實(shí)根，∴Δ＝(m＋n)2－16≥0，∴m＋n≥4，其對立大事是m＋n<4，其中有(1,1)，(1,2)，(2,1)共3個(gè)基本大事，∴所求概率為P＝1－eq\f(3,36)＝eq\f(11,12).(理)(2021·黑龍江哈爾濱六校聯(lián)考)第十五屆全運(yùn)會將在哈爾濱市進(jìn)行，若將6名志愿者每2人一組，分派到3個(gè)不同場館，則甲、乙兩人必需在同組的概率是________．[答案]eq\f(1,5)[解析]6個(gè)人平均分3組共有eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),A\o\al(3,3))＝15種，甲、乙同組的概率為P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).三、解答題10．(文)(2022·福建高考)依據(jù)世行2021年新標(biāo)準(zhǔn)，人均GDP低于1035美元為低收入國家；人均GDP為1035～4085美元為中等偏下收入國家；人均GDP為4085～12616美元為中等偏上收入國家；人均GDP不低于12616美元為高收入國家．某城市有5個(gè)行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均GDP如下表：行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均GDP(單位：美元)A25%8000B30%4000C15%6000D10%3000E20%10000(1)推斷該城市人均GDP是否達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)；(2)現(xiàn)從該城市5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)，求抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)的概率．[解析]思路分析：(1)題目給出的表格數(shù)據(jù)為百分比形式，可設(shè)出該市總?cè)丝跀?shù)n，代入求人均GDP.(2)列出10個(gè)基本大事，滿足條件的有{A，E}，{A，C}，{C，E}3個(gè)，代入古典概型公式求之．解：(1)設(shè)該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均GDP為eq\f(8000×0.25a＋4000×0.30a＋6000×0.1a＋3000×0.10a＋10000×0.20a,a)＝6400.由于6400∈[4085,12616]．所以該城市人均GDP達(dá)到了中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)．(2)“從5個(gè)行政區(qū)中隨機(jī)抽取2個(gè)”的全部的基本大事是：{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10個(gè)．設(shè)大事“抽到的2個(gè)行政區(qū)人均GDP都達(dá)到中等偏上收入國家標(biāo)準(zhǔn)”為M，則大事M包含的基本大事是：{A，C}，{A，E}，{C，E}，共3個(gè)，所以所求概率為P(M)＝eq\f(3,10).(理)已知10件產(chǎn)品中有3件是次品．(1)任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，求其中至少有1件是次品的概率；(2)為了保證使3件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取幾件產(chǎn)品作檢驗(yàn)？[解析](1)任意取出3件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，全部是正品的概率為eq\f(C\o\al(3,7),C\o\al(3,10))＝eq\f(7,24).∴至少有一件是次品的概率為1－eq\f(7,24)＝eq\f(17,24).(2)設(shè)抽取n件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則3件次品全部檢驗(yàn)出的概率為eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(n－3,7),C\o\al(n,10))＝eq\f(C\o\al(n－3,7),C\o\al(n,10)).由eq\f(C\o\al(n－3,7),C\o\al(n,10))>0.6，即eq\f(7！,n－3！10－n！)>eq\f(6,10)·eq\f(10！,n！10－n！)，整理得n(n－1)(n－2)>9×8×6，∵n∈N，n≤10，∴當(dāng)n＝9或n＝10時(shí)上式成立．∴為了保證使3件次品全部檢驗(yàn)出的概率超過0.6，最少應(yīng)抽取9件產(chǎn)品作檢驗(yàn).一、選擇題1．已知A＝{1,2,3}，B＝{x∈R|x2－ax＋b＝0，a∈A，b∈A}，則A∩B＝B的概率是()A．eq\f(2,9) B．eq\f(1,3)C．eq\f(8,9) D．1[答案]C[解析]∵A∩B＝B，∴B的可能為?，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}，{1,3}．當(dāng)B＝?時(shí)，a2－4b<0，滿足條件的a，b為a＝1，b＝1,2,3；a＝2，b＝2,3；a＝3，b＝3.當(dāng)B＝{1}時(shí)，滿足條件的a，b為a＝2，b＝1.當(dāng)B＝{2}，{3}時(shí)，沒有滿足條件的a，B．當(dāng)B＝{1,2}時(shí)，滿足條件的a，b為a＝3，b＝2.當(dāng)B＝{2,3}，{1,3}時(shí)，沒有滿足條件的a，B．∴A∩B＝B的概率為eq\f(8,3×3)＝eq\f(8,9).2．甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從該正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，則所得的兩條直線相互垂直的概率是()A．eq\f(3,18) B．eq\f(4,18)C．eq\f(5,18) D．eq\f(6,18)[答案]C[解析]甲從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，乙也從正方形四個(gè)頂點(diǎn)中任意選擇兩個(gè)頂點(diǎn)連成直線，所得的直線共有6×6＝36(對)，而相互垂直的有10對，故依據(jù)古典概型概率公式得P＝eq\f(10,36)＝eq\f(5,18).二、填空題3．(文)(2022·廣東高考)從字母a，b，c，d，e中任取兩個(gè)不同字母，則取到字母a的概率為________．[答案]eq\f(2,5)[解析]本題考查古典概型．基本大事有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(c，d)(c，e)，(d，e)共10個(gè)，含a的有4個(gè)，故概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).寫全基本大事個(gè)數(shù)是解決問題的關(guān)鍵．(理)(2022·廣東高考)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________．[答案]eq\f(1,6)[解析]由題意從10個(gè)數(shù)中取7個(gè)數(shù)有Ceq\o\al(7,10)種方法，而中位數(shù)為6，則從0,1,2,3,4,5中取3個(gè)有Ceq\o\al(3,6)種，后面三個(gè)只能是7,8,9，∴概率＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(\f(6×5×4,3×2×1),\f(10×9×8,3×2×1))＝eq\f(1,6).4．(文)(2022·銀川模擬)將一顆骰子投擲兩次分別得到點(diǎn)數(shù)a，b，則直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為________．[答案]eq\f(5,12)[解析]圓心(2,0)到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))，當(dāng)d<eq\r(2)時(shí)，直線與圓相交，則有d＝eq\f(|2a|,\r(a2＋b2))<eq\r(2)，得b>a，滿足題意的b>a共有15種狀況，因此直線ax－by＝0與圓(x－2)2＋y2＝2相交的概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).(理)某藝校在一天的6節(jié)課中隨機(jī)支配語文、數(shù)學(xué)、外語三門文化課和其他三門藝術(shù)課各1節(jié)，則在課程表上的相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔1節(jié)藝術(shù)課的概率為________(用數(shù)字作答)．[答案]eq\f(1,5)[解析]本題考查古典概型、排列組合學(xué)問．解法1：基本大事總數(shù)Aeq\o\al(6,6)＝720.大事A“相鄰兩節(jié)文化課之間至少間隔一節(jié)藝術(shù)課”分兩類，一類是相鄰兩節(jié)文化課間都恰有一節(jié)藝術(shù)課，有2Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(3,3)＝72種排法，另一類是相鄰兩節(jié)文化課之間有一節(jié)藝術(shù)課或兩節(jié)藝術(shù)課，有Aeq\o\al(3,3)Ceq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)＝72種排法．∴P(A)＝eq\f(72＋72,720)＝eq\f(1,5).解法2：6節(jié)課的全排列為Aeq\o\al(6,6)種，先排3節(jié)藝術(shù)課有Aeq\o\al(3,3)種不同方法，同時(shí)產(chǎn)生4個(gè)空，再利用插空法排文化課共有Aeq\o\al(3,4)種不同方法，故由古典概型概率公式得P(A)＝eq\f(A\o\al(3,3)·A\o\al(3,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).三、解答題5．為了了解某市工廠開展群眾體育活動的狀況，擬接受分層抽樣的方法從A、B、C三個(gè)區(qū)中抽取7個(gè)工廠進(jìn)行調(diào)查．已知A、B、C區(qū)中分別有18、27、18個(gè)工廠．(1)求從A、B、C區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù)；(2)若從抽得的7個(gè)工廠中隨機(jī)地抽取2個(gè)進(jìn)行調(diào)查結(jié)果的對比，用列舉法計(jì)算這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來自A區(qū)的概率．[解析](1)工廠總數(shù)為18＋27＋18＝63，樣本容量與總體中的個(gè)體數(shù)的比為eq\f(7,63)＝eq\f(1,9)，所以從A，B，C三個(gè)區(qū)中應(yīng)分別抽取的工廠個(gè)數(shù)為2,3,2.(2)設(shè)A1、A2為在A區(qū)中抽得的2個(gè)工廠，B1、B2、B3為在B區(qū)中抽得的3個(gè)工廠，C1、C2為在C區(qū)中抽得的2個(gè)工廠．在這7個(gè)工廠中隨機(jī)地抽取2個(gè)，全部可能的結(jié)果有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)，共有21種．隨機(jī)地抽取的2個(gè)工廠至少有1個(gè)來自A區(qū)的結(jié)果(記為大事X)有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，C1)，(A2，C2)，共有11種．所以這2個(gè)工廠中至少有1個(gè)來自A區(qū)的概率為P(X)＝eq\f(11,21).6．(文)一汽車廠生產(chǎn)A、B、C三類轎車，每類轎車均有舒適型和標(biāo)準(zhǔn)型兩種型號，某月的產(chǎn)量如下表(單位：輛)；轎車A轎車B轎車C舒適型100150z標(biāo)準(zhǔn)型300450600按類用分層抽樣的方法在這個(gè)月生產(chǎn)的轎車中抽取50輛，其中有A類轎車10輛．(1)求z的值；(2)用分層抽樣的方法在C類轎車中抽取一個(gè)容量為5的樣本．將該樣本看成一個(gè)總體，從中任取2輛，求至少有1輛舒適型轎車的概率；(3)用隨機(jī)抽樣的方法從B類舒適型轎車中抽取8輛，經(jīng)檢測它們的得分如下：9．4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2，把這8輛轎車的得分看成一個(gè)總體，從中任取一個(gè)數(shù)，求該數(shù)與樣本平均數(shù)之差的確定值不超過0.5的概率．[解析](1)設(shè)該廠這個(gè)月共生產(chǎn)轎車n輛，由題意得eq\f(50,n)＝eq\f(10,100＋300)，所以n＝2000，則z＝2000－(100＋300＋150＋450＋600)＝400.(2)設(shè)所抽樣本中有a輛舒適型轎車．由題意得eq\f(400,1000)＝eq\f(a,5)，則a＝2.因此抽取的容量為5的樣本中，有2輛舒適型轎車，3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車．用A1，A2表示2輛舒適型轎車，用B1，B2，B3表示3輛標(biāo)準(zhǔn)型轎車，用E表示大事“在該樣本中任取2輛，其中至少有1輛舒適型轎車”，則基本大事空間包含的基本大事有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，共10個(gè)，大事E包含的基本大事有：(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A