備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學大一輪數(shù)學(人教A版理)-第六章-§6-5-數(shù)列求和

§6.5數(shù)列求和第六章

數(shù)列1.熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項和公式.2.掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法.考試要求

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實主干知識探究核心題型課時精練落實主干知識第一部分數(shù)列求和的幾種常用方法1.公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項和公式求和.(1)等差數(shù)列的前n項和公式：Sn＝________＝_____________.(2)等比數(shù)列的前n項和公式：Sn＝_____，q＝1，________＝________，q≠1.na12.分組求和法與并項求和法(1)分組求和法若一個數(shù)列是由若干個等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時可用分組求和法，分別求和后相加減.(2)并項求和法一個數(shù)列的前n項和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和.形如an＝(－1)nf(n)類型，可采用兩項合并求解.3.錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構(gòu)成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和公式就是用此法推導的.4.裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項技巧常用求和公式(2)1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)＝n2.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，且公比不等于1，則其前n項和Sn＝

.(

)(2)求Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan時，只要把上式等號兩邊同時乘a即可根據(jù)錯位相減法求得.(

)(3)已知等差數(shù)列{an}的公差為d，則有＝

.(

)(4)sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin288°＋sin289°＝44.5.(

)√××√1.已知函數(shù)f(n)＝

且an＝f(n)＋f(n＋1)，則a1＋a2＋a3＋…＋a100等于A.0 B.100 C.－100D.10200√由題意，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－50×101＋50×103＝100.√√①②第二部分探究核心題型例1

(2023·菏澤模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，它的前n項和Sn滿足2Sn＋an＋1＝2n＋1－1.(1)證明：數(shù)列

為等比數(shù)列；題型一分組求和與并項求和由2Sn＋an＋1＝2n＋1－1(n≥1)，

①得2Sn－1＋an＝2n－1(n≥2)，

②由①－②得an＋an＋1＝2n(n≥2)，(2)求S1＋S2＋S3＋…＋S2n.延伸探究在本例(2)中，如何求S1＋S2＋S3＋…＋Sn?當n為偶數(shù)時，S1＋S2＋S3＋…＋Sn當n為奇數(shù)時，S1＋S2＋S3＋…＋Sn＝(S1＋S2＋S3＋…＋Sn＋Sn＋1)－Sn＋1(1)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝an±bn，且{an}，{bn}為等差或等比數(shù)列，可采用分組求和法求數(shù)列{cn}的前n項和.(2)若數(shù)列{cn}的通項公式為cn＝

其中數(shù)列{an}，{bn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列，可采用分組求和法求{cn}的前n項和.思維升華跟蹤訓練1

記數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知Sn＝2an－2n＋1.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；當n＝1時，由Sn＝2an－2n＋1，可得a1＝S1＝2a1－2＋1，即有a1＝1.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－2an－1＋2(n－1)－1，即an＝2an－1＋2，可得an＋2＝2(an－1＋2)，顯然an－1＋2≠0.所以數(shù)列{an＋2}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則an＋2＝3·2n－1，即有an＝3·2n－1－2.＝(－1)n·log22n＝(－1)n·n.當n為偶數(shù)時，Tn＝－1＋2－3＋4－…－(n－1)＋n當n為奇數(shù)時，Tn＝－1＋2－3＋4－…＋(n－1)－n例2

(12分)(2021·全國乙卷)設{an}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝

.已知a1,3a2,9a3成等差數(shù)列.(1)求{an}和{bn}的通項公式；

[切入點：設基本量q](2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和.證明：Tn<.[關鍵點：bn＝

]題型二錯位相減法求和(1)如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，常采用錯位相減法.(2)錯位相減法求和時，應注意：①在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確地寫出“Sn－qSn”的表達式.②應用等比數(shù)列求和公式時必須注意公比q是否等于1，如果q＝1，應用公式Sn＝na1.跟蹤訓練2

(2021·浙江)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－

，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；因為4Sn＋1＝3Sn－9，所以當n≥2時，4Sn＝3Sn－1－9，(2)設數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn.若Tn≤λbn，對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍.因為3bn＋(n－4)an＝0，②①因為Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，即－3n≤λ(n－4)恒成立，所以－3≤λ≤1.當n＝4時，－12≤0恒成立，例3

(2022·新高考全國Ⅰ)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，

是公差為

的等差數(shù)列.題型三裂項相消法求和因為當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，又S1＝1也滿足上式，因為當n≥2時，又a1＝1也滿足上式，又a1＝1也滿足上式，裂項相消法的原則及規(guī)律(1)裂項原則一般是前面裂幾項，后面就裂幾項，直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止.(2)消項規(guī)律消項后前面剩幾項，后面就剩幾項，前面剩第幾項，后面就剩倒數(shù)第幾項.跟蹤訓練3

(2022·湛江模擬)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，且8a3＝a6，a2＋a5＝36.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；由題意，設等比數(shù)列{an}的公比為q，則q3＝

＝8，即q＝2，∵a2＋a5＝36，∴a1q＋a1q4＝36，即2a1＋16a1＝36，解得a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，n∈N*.課時精練第三部分1.(2022·杭州模擬)已知單調(diào)遞增的等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且S4＝20，a2，a4，a8成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；123456基礎保分練123456設數(shù)列{an}的公差為d(d>0)，所以an＝2＋(n－1)·2＝2n.(2)若bn＝2an＋1－3n＋2，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.123456由(1)得，an＝2n，所以bn＝4(n＋1)－3n＋2，所以Tn＝4×2－33＋4×3－34＋…＋4(n＋1)－3n＋2＝4[2＋3＋…＋(n＋1)]－(33＋34＋…＋3n＋2)＝2.(2023·寧波模擬)已知數(shù)列{an}滿足an＋1an－2n2(an＋1－an)＋1＝0，且a1＝1.(1)求出a2，a3的值，猜想數(shù)列{an}的通項公式；123456由已知得，當n＝1時，a2a1－2(a2－a1)＋1＝0，又a1＝1，代入上式，解得a2＝3，同理可求得a3＝5.猜想an＝2n－1.123456(2)設數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且bn＝

，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.由(1)可知an＝2n－1，經(jīng)檢驗符合題意，所以Sn＝n2，1234563.(2022·陜西西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}，定義：“S1＝a1，當n≥2時，Sn＝a1－a2－a3－…－an，則Sn(n∈N*)叫作數(shù)列{an}的前n項差”.設an＝2－3n.(1)求數(shù)列{an}的前n項差Sn；123456123456因為an＝2－3n，所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列，且S1＝a1＝－1.當n≥2時，Sn＝a1－a2－a3－…－an＝2a1－(a1＋a2＋a3＋…＋an)＝2×(－1)－當n＝1時，S1＝－1，滿足上式，(2)若bn＝2n，cn＝an·bn，求數(shù)列{cn}的前n項和Mn.123456由題意得cn＝an·bn＝(2－3n)·2n.則Mn＝－1×2－4×22－7×23＋…＋(2－3n)×2n，

①2Mn＝－1×22－4×23－7×24＋…＋(2－3n)×2n＋1，

②①－②得－Mn＝－2－3×22－3×23－…－3×2n－(2－3n)×2n＋1＝－2－

－(2－3n)×2n＋1＝10－(5－3n)·2n＋1，所以Mn＝(5－3n)·2n＋1－10.1234564.(2022·淄博模擬)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，且an＋1＝

(n∈N*)，設bn＝a2n－1.(1)證明：數(shù)列{bn＋2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項公式；123456由題意知，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2bn＋2，所以{bn＋2}是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則bn＋2＝4·2n－1＝2n＋1，所以bn＝2n＋1－2.123456(2)求數(shù)列{an}的前2n項和.123456數(shù)列{an}的前2n項和為S2n＝a1＋a2＋a3＋…＋a2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a1＋a3＋…＋a2n－1＋n)＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n＝2(b1＋b2＋…＋bn)＋n＝2×(22＋23＋…＋2n＋1－2n)＋n＝2×－3n＝2n＋3－3n－8.1234565.(2023·蚌埠模擬)給出以下條件：①a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列；②S1＋1，S2，S3成等比數(shù)列；③Sn＝

(n∈N*).從中任選一個，補充在下面的橫線上，再解答.已知遞增等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＝2，________.(1)求數(shù)列{an}的通項公式；注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.綜合提升練123456設數(shù)列{an}的公差為d，則d>0，選擇條件①：因為a2，a3，a4＋1成等比數(shù)列，所以

＝a2·(a4＋1)，所以(2＋2d)2＝(2＋d)·(2＋3d＋1)，化簡得d2－d－2＝0，解得d＝2或d＝－1(舍)，所以數(shù)列{an}的通項公式為an＝2＋(n－1)×2＝2n.123456選擇條件②：因為S1＋1，S2，S3成等比數(shù)列，所以

＝(S1＋1)·S3，所以(2×2＋d)2＝(2＋1)·(3×2＋3d)，化簡得d2－d－2＝0，解得d