第04講-解三角形(八大題型)(講義)(原卷版)

第04講解三角形目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）掌握正弦定理、余弦定理及其變形．（2）能利用正弦定理、余弦定理解決一些簡單的三角形度量問題．（3）能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．2023年I卷II卷第17題，10分2023年甲卷第16題，5分2023年乙卷第18題，12分2022年I卷II卷第18題，12分高考對本節(jié)的考查不會有大的變化，仍將以考查正余弦定理的基本使用、面積公式的應(yīng)用為主．從近五年的全國卷的考查情況來看，本節(jié)是高考的熱點，主要以考查正余弦定理的應(yīng)用和面積公式為主．知識點一：基本定理公式（1）正余弦定理：在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理公式；；．常見變形（1），，；（2），，；；；．（2）面積公式：（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r．）知識點二：相關(guān)應(yīng)用（1）正弦定理的應(yīng)用=1\*GB3①邊化角，角化邊=2\*GB3②大邊對大角大角對大邊=3\*GB3③合分比：（2）內(nèi)角和定理：=1\*GB3①同理有：，．=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；=5\*GB3⑤在中，內(nèi)角成等差數(shù)列．知識點三：實際應(yīng)用（1）仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角（如圖①）．（2）方位角從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點的方位角為α（如圖②）．（3）方向角：相對于某一正方向的水平角．（1）北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向（如圖③）．（2）北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標(biāo)方向．（3）南偏西等其他方向角類似．（4）坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖④，角θ為坡角）．（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖④，i為坡度）．坡度又稱為坡比．【解題方法總結(jié)】1、方法技巧：解三角形多解情況在△ABC中，已知a，b和A時，解的情況如下：A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式解的個數(shù)一解兩解一解一解無解2、在解三角形題目中，若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則常用：（1）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“角化邊”；（2）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理，“邊化角”；（3）若式子含有的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理，“角化邊”；（4）代數(shù)變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理使用；（6）同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到．3、三角形中的射影定理在中，；；．題型一：正弦定理的應(yīng)用例1．（2023·福建龍巖·高三校聯(lián)考期中）在中，角所對的邊分別為，若，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，設(shè)命題p：，命題q：是等邊三角形，那么命題p是命題q的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件例3．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若且，，則（

）A． B． C．8 D．4變式1．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角的對邊分別是，若，且，則（

）A． B． C． D．變式2．（2023·河南鄭州·高三鄭州外國語中學(xué)?？茧A段練習(xí)），，分別為內(nèi)角，，的對邊．已知，，則外接圓的面積為（

）A． B． C． D．變式3．（2023·甘肅蘭州·高三蘭州五十一中?？计谥校鰽BC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．變式4．（2023·寧夏·高三六盤山高級中學(xué)?？计谥校┰谥校瑑?nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．若，則的值為（

）A． B． C．1 D．變式5．（2023·河南·洛寧縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知，，則c＝（

）A．4 B．6 C． D．【解題方法總結(jié)】（1）已知兩角及一邊求解三角形；（2）已知兩邊一對角；．（3）兩邊一對角，求第三邊．題型二：余弦定理的應(yīng)用例4．（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知的內(nèi)角所對的邊分別為滿足且，則（

）A． B．C． D．例5．（2023·河南·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）在中，角的對邊分別為，若，則（

）A． B． C．或 D．或例6．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，且，則（

）A． B． C． D．變式6．（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，則（

）A．0 B．1 C．2 D．變式7．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角的對邊分別為，且，則的值為（

）A．1 B． C． D．2【解題方法總結(jié)】（1）已知兩邊一夾角或兩邊及一對角，求第三邊．（2）已知三邊求角或已知三邊判斷三角形的形狀，先求最大角的余弦值，若余弦值題型三：判斷三角形的形狀例7．（2023·甘肅酒泉·統(tǒng)考三模）在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形例8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，角，，的對邊分別為，，，且，則形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形例9．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形變式8．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形變式9．（2023·河南周口·高三?？茧A段練習(xí)）已知的三個內(nèi)角所對的邊分別為．若，則該三角形的形狀一定是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．銳角三角形變式10．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形C．直角三角形 D．銳角三角形變式11．（2023·北京·高三101中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，若，則的形狀為（

）A．等腰直角三角形 B．直角三角形C．等腰三角形或直角三角形 D．等邊三角形【解題方法總結(jié)】（1）求最大角的余弦，判斷是銳角、直角還是鈍角三角形．（2）用正弦定理或余弦定理把條件的邊和角都統(tǒng)一成邊或角，判斷是等腰、等邊還是直角三角形．題型四：正、余弦定理與的綜合例10．（2023·河南南陽·統(tǒng)考二模）銳角是單位圓的內(nèi)接三角形，角的對邊分別為，且，則等于（

）A．2 B． C． D．1例11．（2023·河北唐山·高三開灤第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在中，角，，所對的邊分別為，，，.(1)求證：；(2)若，求.例12．（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知的內(nèi)角、、的對邊分別為、、，．(1)求；(2)若，求．變式12．（2023·山東濱州·統(tǒng)考二模）已知的三個角，，的對邊分別為，，，且．(1)若，求；(2)求的值．變式13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，則（

）A． B． C． D．變式14．（2023·青?！ばＢ?lián)考模擬預(yù)測）在中，內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c，若的面積是，則（

）A． B． C． D．變式15．（2023·全國·校聯(lián)考三模）已知a，b，c分別為的內(nèi)角A，B，C的對邊，.(1)求證：a，b，c成等比數(shù)列；(2)若，求的值.變式16．（2023·天津武清·天津市武清區(qū)楊村第一中學(xué)?？寄M預(yù)測）在中，角，，所對的邊分別為，，，已知(1)求角的大?。?2)若，，求邊及的值．【解題方法總結(jié)】先利用平面向量的有關(guān)知識如向量數(shù)量積將向量問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)形式，再利用三角函數(shù)轉(zhuǎn)化求解．題型五：解三角形的實際應(yīng)用方向1：距離問題例13．（2023·全國·高三專題練習(xí)）山東省科技館新館目前成為濟南科教新地標(biāo)（如圖1），其主體建筑采用與地形吻合的矩形設(shè)計，將數(shù)學(xué)符號“”完美嵌入其中，寓意無限未知?無限發(fā)展?無限可能和無限的科技創(chuàng)新.如圖2，為了測量科技館最高點A與其附近一建筑物樓頂B之間的距離，無人機在點C測得點A和點B的俯角分別為75°，30°，隨后無人機沿水平方向飛行600米到點D，此時測得點A和點B的俯角分別為45°和60°（A，B，C，D在同一鉛垂面內(nèi)），則A，B兩點之間的距離為______米.例14．（2023·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)校考期中）一游客在處望見在正北方向有一塔，在北偏西45°方向的處有一寺廟，此游客騎車向西行后到達處，這時塔和寺廟分別在北偏東30°和北偏西15°，則塔與寺廟的距離為______.例15．（2023·河南鄭州·高三統(tǒng)考期末）如圖，為了測量兩點間的距離，選取同一平面上的，兩點，測出四邊形各邊的長度（單位：km）：，，，，且四點共圓，則的長為_________.變式17．（2023·山東東營·高三廣饒一中?？茧A段練習(xí)）如圖，一條巡邏船由南向北行駛，在A處測得燈塔底部C在北偏東方向上，勻速向北航行20分鐘到達B處，此時測得燈塔底部C在北偏東方向上，測得塔頂P的仰角為，已知燈塔高為．則巡邏船的航行速度為______．方向2：高度問題例16．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，某中學(xué)某班級課外學(xué)習(xí)興趣小組為了測量某座山峰的高度，先在山腳處測得山頂處的仰角為，又利用無人機在離地面高的處（即），觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，則山高_________m．

例17．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）中國古代數(shù)學(xué)名著《海島算經(jīng)》記錄了一個計算山高的問題（如圖1）：今有望海島，立兩表齊，高三丈，前后相去千步，令后表與前表相直.從前表卻行一百二十三步，人目著地取望島峰，與表末參合.從后表卻行百二十七步，人目著地取望島峰，亦與表末參合.問島高及去表各幾何?假設(shè)古代有類似的一個問題，如圖2，要測量海島上一座山峰的高度AH，立兩根高48丈的標(biāo)桿BC和DE，兩竿相距BD=800步，D，B，H三點共線且在同一水平面上，從點B退行100步到點F，此時A，C，F(xiàn)三點共線，從點D退行120步到點G，此時A，E，G三點也共線，則山峰的高度AH=_________步.（古制單位:180丈=300步）

例18．（2023·全國·高三專題練習(xí)）為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模和應(yīng)用能力，某校數(shù)學(xué)興趣小組對學(xué)校雕像“月亮上的讀書女孩”進行測量，在正北方向一點測得雕塑最高點仰角為30°，在正東方向一點測得雕塑最高點仰角為45°，兩個測量點之間距離約為米，則雕塑高為______變式18．（2023·全國·模擬預(yù)測）山西應(yīng)縣木塔（如圖1）是世界上現(xiàn)存最古老、最高大的木塔，是中國古建筑中的瑰寶，是世界木結(jié)構(gòu)建筑的典范．如圖2，某校數(shù)學(xué)興趣小組為測量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高為米，塔頂在地面上的射影為，在地面上再確定一點（，，三點共線），測得約為57米，在點處測得塔頂?shù)难鼋欠謩e為30°和60°，則該小組估算的木塔的高度為__________米．方向3：角度問題例19．（2023·福建廈門·高三廈門一中校考期中）足球是一項很受歡迎的體育運動．如圖，某標(biāo)準(zhǔn)足球場的B底線寬碼，球門寬碼，球門位于底線的正中位置．在比賽過程中，攻方球員帶球運動時，往往需要找到一點P，使得最大，這時候點P就是最佳射門位置．當(dāng)攻方球員甲位于邊線上的點O處時，根據(jù)場上形勢判斷，有、兩條進攻線路可供選擇．若選擇線路，則甲帶球______碼時，到達最佳射門位置．例20．（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)太陽光線與水平面的傾斜角為時，一根長為的竹竿，要使它的影子最長，則竹竿與地面所成的角________．例21．（2023·全國·高三專題練習(xí)）游客從某旅游景區(qū)的景點A處至景點C處有兩條線路．線路1是從A沿直線步行到C，線路2是先從A沿直線步行到景點B處，然后從B沿直線步行到C．現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處同時出發(fā)勻速步行，甲的速度是乙的速度的倍，甲走線路2，乙走線路1，最后他們同時到達C處．經(jīng)測量，AB＝1040m，BC＝500m，則sin∠BAC等于________．變式19．（2023·全國·高三專題練習(xí)）最大視角問題是1471年德國數(shù)學(xué)家米勒提出的幾何極值問題，故最大視角問題一般稱為“米勒問題”.如圖，樹頂A離地面a米，樹上另一點B離地面b米，在離地面米的C處看此樹，離此樹的水平距離為___________米時看A，B的視角最大.【解題方法總結(jié)】根據(jù)題意畫出圖形，將題設(shè)已知、未知顯示在圖形中，建立已知、未知關(guān)系，利用三角知識求解．題型六：倍角關(guān)系例22．（2023·全國·高三專題練習(xí)）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.例23．（2023·全國·模擬預(yù)測）在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c（a，b，c互不相等），且滿足.（1）求證：；（2）若，求.例24．（2023·江蘇·高三江蘇省前黃高級中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）在中，角、、的對邊分別為、、，若．(1)求證：；(2)若，點為邊上一點，，，求邊長．變式20．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知分別是的角的對邊，.(1)求證：；(2)求的取值范圍.變式21．（2023·四川·成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)校考三模）已知分別為銳角ABC內(nèi)角的對邊，．(1)證明：；(2)求的取值范圍．變式22．（2023·福建三明·高三統(tǒng)考期末）非等腰的內(nèi)角、、的對應(yīng)邊分別為、、，且.(1)證明：；(2)若，證明：.題型七：三角形解的個數(shù)例25．（2023·貴州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．例26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為（

）A．一個解 B．二個解 C．無解 D．無法確定例27．（2023·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）在中，，，.若滿足條件的有且只有一個，則的可能取值是（

）A． B． C． D．變式23．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．變式24．（2023·北京朝陽·高三專題練習(xí)）在下列關(guān)于的四個條件中選擇一個，能夠使角被唯一確定的是：（

）①②；③；④.A．①② B．②③ C．②④ D．②③④變式25．（2023·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)在中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，若滿足的不唯一，則m的取值范圍為（

）A． B．C． D．變式26．（2023·全國·高三專題練習(xí)）在中，，，若該三角形有兩個解，則邊范圍是（

）A． B． C． D．變式27．（2023·全國·高三專題練習(xí)）若滿足的恰有一個，則實數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解題方法總結(jié)】三角形解的個數(shù)的判斷：已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷．題型八：三角形中的面積與周長問題例28．（2023·全國·高三對口高考）在中，若，且，則的面積為（

）A． B． C． D．例29．（2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模）在中，內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，，為上一點，，，則的面積為（

）A． B． C． D．例30．（2023·四川成都·校考模擬預(yù)測）在中，，，分別為角，，的對邊，已知，，且，則（

）A． B． C． D．變式