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第五節(jié)極限的運(yùn)算法則
無(wú)窮小的運(yùn)算法則極限的四則運(yùn)算法則復(fù)合函數(shù)極限運(yùn)算法則1/22時(shí),有一、無(wú)窮小運(yùn)算法則定理1.
有限個(gè)無(wú)窮小的和還是無(wú)窮小.*證:
考慮兩個(gè)無(wú)窮小的和.設(shè)當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有取則當(dāng)因此這說(shuō)明當(dāng)時(shí),為無(wú)窮小量.說(shuō)明:
無(wú)限個(gè)無(wú)窮小之和不一定是無(wú)窮小!例如，(后面的例題)用數(shù)學(xué)歸納法可證:有限個(gè)無(wú)窮小之和仍為無(wú)窮小.定理2（同一過(guò)程中的）有界量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小，即O(1)·o(1)=o(1)證6/16推論1（在同一過(guò)程中）有極限的變量與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論2常數(shù)與無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.推論3有限個(gè)無(wú)窮小的乘積是無(wú)窮小.7/16注意
無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小的乘積未必是無(wú)窮小.二、四則運(yùn)算法則定理3推論4/22例1解5/22例3解7/22注
在不能直接用極限的四則運(yùn)算法則時(shí)，可先考慮將函數(shù)適當(dāng)變形，再考慮能否用極限的四則運(yùn)算法則。常用的變形方法有：通分，約去零因子，用非零因子同乘或同除分子分母，分子或分母有理化等。解例4（消去零因子法）8/22例5求
解(無(wú)窮小因子分出法)9/22例6求解
（消去零因子法）10/22例7求解（分子有理化）11/22例9求解先變形再求極限.13/22例10解14/22例11解左右極限存在且相等,15/22例12解16/22總結(jié)：有理函數(shù)在無(wú)窮遠(yuǎn)的極限
17/22三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則定理7.設(shè)且x滿足時(shí),又則有證:
當(dāng)時(shí),有當(dāng)時(shí),有對(duì)上述取則當(dāng)時(shí)故①因此①式成立.定理7.設(shè)且x滿足時(shí),又則有
說(shuō)明:若定理中則類似可得例13求極限20/22備用題
設(shè)解:利用前一極限式可令再利用后一極限式,得可見(jiàn)是多項(xiàng)式,且求故三、小結(jié)：無(wú)窮小的運(yùn)算法則，極限的四則運(yùn)算法則（注意除法）,
有理函數(shù)的極限；
3.復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則。22/22
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