云南省昆明市2024屆高三“三診一模”摸底診斷測試數(shù)學試卷

數(shù)學試卷·第1頁（共10頁）秘密★啟用前【考試時間：1月15日15∶00—17∶00】昆明市2024屆高三“三診一?！泵自\斷測試數(shù)學注意事項：1．答題前，考生務必用黑色碳素筆將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在答題卡上，并認真核準條形碼上的準考證號、姓名、考場號、座位號及科目，在規(guī)定的位置貼好條形碼。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡交回。一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設全集，集合，，則 A． B． C． D．2．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知是拋物線的焦點，點在上，且的縱坐標為，則 A． B． C． D．4．在中，點滿足，則 A． B． C． D．5．某學校運動會男子100m決賽中，八名選手的成績（單位：）分別為：，，，，，，，，則下列說法錯誤的是 A．若該八名選手成績的第百分位數(shù)為，則 B．若該八名選手成績的眾數(shù)僅為，則 C．若該八名選手成績的極差為，則 D．若該八名選手成績的平均數(shù)為，則6．，且，則 A． B． C． D．7．若將函數(shù)的圖象平移后能與函數(shù)的圖象重合，則稱函數(shù)和互為“平行函數(shù)”．已知，互為“平行函數(shù)”，則 A． B． C． D．8．第七屆國際數(shù)學大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的．如圖所示，作，，，再依次作相似三角形，，，……，直至最后一個三角形的斜邊與第一次重疊為止．則所作的所有三角形的面積和為 A． B． C． D．二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的四個選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分。9．在正四棱柱中，已知與平面所成的角為，則 A． B．與平面所成的角為C． D．平面10．已知圓，直線，點在直線上運動，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，當最大時，則 A．直線的斜率為1 B．四邊形的面積為 C． D．11．古希臘數(shù)學家托勒密（Ptolemy85-165）對三角學的發(fā)展做出了重要貢獻，他研究出角與弦之間的對應關系，創(chuàng)造了世界上第一張弦表．托勒密用圓的半徑的作為一個度量單位來度量弦長，將圓心角（）所對的弦長記為．例如圓心角所對弦長等于60個度量單位，即．則 A． B．若，則 C． D．（）12．已知函數(shù)，則 A．當時，有2個零點 B．當時，有2個零點 C．存在，使得有3個零點 D．存在，使得有5個零點三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知角的頂點為坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，點（）在角終邊上，且，則的值可以是.（寫一個即可）14．春節(jié)前夕，某社區(qū)安排小王、小李等5名志愿者到三個敬老院做義工，每個敬老院至少安排1人，至多安排2人.若小王、小李安排在同一個敬老院，且這5名志愿者全部安排完，則所有不同的安排方式種數(shù)為.（用數(shù)字作答）15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以為圓心作與的漸近線相切的圓，該圓與的一個交點為，若為等腰三角形，則的離心率為．16．已知球的表面積為，正四棱錐的所有頂點都在球的球面上，則該正四棱錐體積的最大值為．四、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（10分）在中，，，.（1）求的面積；（2）如圖，，，求.18．（12分）記為數(shù)列的前項和，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和.19．（12分）如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點，是線段上一點，，．（1）證明：平面平面；（2）若存在，求；若不存在，說明理由．20．（12分）聊天機器人（chatterbot）是一個經(jīng)由對話或文字進行交談的計算機程序．當一個問題輸入給聊天機器人時，它會從數(shù)據(jù)庫中檢索最貼切的結(jié)果進行應答．在對某款聊天機器人進行測試時，如果輸入的問題沒有語法錯誤，則應答被采納的概率為80%，若出現(xiàn)語法錯誤，則應答被采納的概率為30%．假設每次輸入的問題出現(xiàn)語法錯誤的概率為10%．（1）求一個問題的應答被采納的概率；（2）在某次測試中，輸入了8個問題，每個問題的應答是否被采納相互獨立，記這些應答被采納的個數(shù)為，事件（）的概率為，求當最大時的值.21．（12分）已知是橢圓的右焦點，點在不過原點的直線上，交于，兩點.當與互補時，，.（1）求的方程；（2）證明：為定值.22．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，若恒成立，求的取值范圍.

昆明市2024屆高三“三診一?！泵自\斷測試數(shù)學參考答案及評分標準一、單選題；二、多選題題號123456789101112答案CADCABBDABACBCDBCD三.填空題13.（,,均可）14.15.16.17．解：（1）因為，所以，因為，所以，在中，由正弦定理可得，解得.又因為，所以.………5分（2）由（1）可知，，因為，所以，又因為，即，故，所以，，在中，由余弦定理可得，解得.………10分18．解：（1）當時，，所以，當時，，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，即.……6分（2）由題意，，則，記數(shù)列的前項和為，所以.…12分19．解：（1）證明：因為，是的中點，所以，在中，，，所以，在中，，，所以，得，又平面，平面，所以，又，，所以平面，由平面得，又，所以平面，由平面得，平面平面．………………6分（2）存在點滿足條件，以為原點，建立空間直角坐標系如圖，設，則，，，，，設平面的法向量為，則令得，所以平面的一個法向量為，易知平面的一個法向量為，由已知得，即，解得，即，所以存在點使平面與平面的夾角為，此時．…………12分20．解：（1）記“輸入的問題沒有語法錯誤”為事件，“一次應答被采納”為事件，由題意，，，則，.……6分（2）依題意，，，當最大時，有即解得：，，故當最大時，.……………12分21．解：（1）因為與互補，所以與關于軸對稱，所以軸，又因為直線過，故的方程為.設在第一象限，因為，則，設為的左焦點，則，故，即,因為在上，，解得，所以的方程為.……………6分（2）設，，直線，聯(lián)立得，，，所以，…………9分故，所以為定值.…………12分22．解：（1）函數(shù)的定義域為，.①當時，令，得，則當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.②當時，令，得或.?。┊敃r，則當或時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.ⅱ）當時，當時，，所以在上單調(diào)遞增.ⅲ）當時，則當或時，；當時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上