2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)

第1頁(yè)（共1頁(yè)）2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)一．選擇題（共10小題）1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)B，C分別在地面OP和墻面OQ上，且邊AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，則CO的長(zhǎng)為（）A．cosαtanα B．tanαC．cosα×tanα D．12．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無(wú)存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為200m的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來(lái)高度為（）A．50m B．503m C．100m D3．如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα=35，堤壩高BC＝15m，則迎水坡面A．20m B．25m C．30m D．35m4．某校數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)想要測(cè)量校園內(nèi)文化長(zhǎng)廊（如圖1）的最高點(diǎn)到地面的高度．如圖2是其測(cè)量示意圖，五邊形ABDEC關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)F，G．測(cè)得AB＝3m，CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，則文化長(zhǎng)廊的最高點(diǎn)離地面的高度EF約為（）（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．4.2m B．4.0m C．3.7m D．3.6m5．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值是（）A．35 B．45 C．43 6．如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20° 7．如圖是某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖，已知扶梯的長(zhǎng)度為m米，坡度i=A．513m米 B．512m米 C．1213m8．在計(jì)算tan15°的值時(shí)，可以借用“數(shù)形結(jié)合”思想構(gòu)建幾何圖形的方法解決，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB到D使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，設(shè)AC＝a，則AB＝DB＝2a，BC=3a，CD=(2+3)a，RtA．2+1 B．2-1 C．2 9．如圖，圖①、圖②分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖，已知游步機(jī)手柄AB與地面DE平行，端板CD長(zhǎng)為1.5m，CD與地面DE的夾角∠CDE＝a，支架AC長(zhǎng)為1m，∠CAB＝120°，則距步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離為（）A．32+1.5sinα BC．32+1.5cosα 10．如圖，在正方體中，∠BD1B1的正切值為（）A．22 B．32 C．1 D二．填空題（共5小題）11．某地為拓寬河道和提高攔水壩，進(jìn)行了現(xiàn)有攔水壩改造．如圖所示，改造前的斜坡AB=8017米，坡度為1：4；將斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度為1：1.5．則改造后斜坡CD的長(zhǎng)為12．如圖，與斜坡CE垂直的太陽(yáng)光線照射立柱AB（與水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，則立柱AB的高為米（結(jié)果精確到0.1米）．科學(xué)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已取近似值）0.5300.8480.62513．如圖，社小山的東側(cè)煉A處有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30m/min的速度沿與地面成75°角的方向飛行，20min后到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)點(diǎn)B處的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為．14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，cosB=35，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊BC上，且AM＝BN，連接MN，當(dāng)△BMN為等腰三角形時(shí)，AM＝15．如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為．三．解答題（共5小題）16．如圖，在修建某條地鐵時(shí)，科技人員利用探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到地下C處有金屬回聲．已知A、B兩點(diǎn)相距8米，探測(cè)線AC，BC與地面的夾角分別是30°和45°，試確定有金屬回聲的點(diǎn)C的深度是多少米？17．廣州市民昵稱(chēng)“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國(guó)最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成．廣州某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組幾位同學(xué)，在五一假期，利用測(cè)角儀測(cè)量“小蠻腰”的“身高”，他們?cè)陔x塔底A水平距離450米的地點(diǎn)B，測(cè)得塔身主體的頂端C的仰角為45°，天線桅桿的頂端D的仰角為53°9′．（1）根據(jù)題意，畫(huà)出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；（2）求天線棉桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan53°9'≈18．在鄭州之林公園內(nèi)有一座如意雕塑（圖1），它挺拔矗立在CBD前端，展現(xiàn)出了鄭東新區(qū)的美好藍(lán)圖與如意和諧的愿望．綜合實(shí)踐小組想按如圖2所示的方案測(cè)量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空地上確定測(cè)量點(diǎn)A，當(dāng)測(cè)量器高度AC為3m時(shí)，測(cè)得如意雕塑最高點(diǎn)E的仰角∠ECD＝45°；②保持測(cè)量器位置不變，調(diào)整測(cè)量器高度AB為4.1m時(shí)，測(cè)得點(diǎn)E的仰角∠EBG＝44°．已知點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一豎直平面內(nèi)，請(qǐng)根據(jù)該小組的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算如意雕塑的高度EF．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）19．如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)E處測(cè)得燈管支架底部D的仰角為60°，在點(diǎn)F處測(cè)得燈管支架頂部C的仰角為30°，測(cè)得AE＝3m，EF＝9m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求燈管支架CD的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.7320．如圖，觀測(cè)點(diǎn)C在東西走向的海岸線CN上，觀測(cè)員發(fā)現(xiàn)某船在北偏東12°方向的A點(diǎn)，該船向正東方向行駛10小時(shí)后，到達(dá)北偏東57°方向的B點(diǎn)．已知該船的行駛速度為40海里/時(shí)，求這艘船與海岸線CN之間的距離．（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）

2025年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)之銳角三角函數(shù)參考答案與試題解析一．選擇題（共10小題）1．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)B，C分別在地面OP和墻面OQ上，且邊AB∥OQ，若AC＝1，∠ABC＝α，則CO的長(zhǎng)為（）A．cosαtanα B．tanαC．cosα×tanα D．1【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】A【分析】在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，BC=ACtan∠ABC，在Rt△BOC中，OC＝BC?【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α，∴BC=AC∵AB∥OQ，∴∠BCO＝∠ABC＝α，在Rt△BOC中，AC＝1，OC＝BC?cos∠BCO=ACtanα×cos故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義．2．如圖，一座金字塔被發(fā)現(xiàn)時(shí)，頂部已經(jīng)蕩然無(wú)存，但底部未受損．已知該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為200m的正方形，且每一個(gè)側(cè)面與地面成60°角，則金字塔原來(lái)高度為（）A．50m B．503m C．100m D【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】D【分析】根據(jù)已知易得BC＝100m，再根據(jù)垂直定義可得∠ACB＝90°，然后在Rt△ABC中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AC的長(zhǎng)，即可解答．【解答】解：如圖：∵該金字塔的下底面是一個(gè)邊長(zhǎng)為200m的正方形，∴BC=12×200＝100∵AC⊥BC，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，∴AC＝BC?tan60°＝1003（m），∴則金字塔原來(lái)高度為100m，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．3．如圖，某水庫(kù)堤壩橫斷面迎水坡的坡角為α，sinα=35，堤壩高BC＝15m，則迎水坡面A．20m B．25m C．30m D．35m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；應(yīng)用意識(shí)．【答案】B【分析】根據(jù)正弦的定義計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，sinα=3則BCAB∵BC＝15m，∴AB＝25m，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．4．某校數(shù)學(xué)“綜合與實(shí)踐”小組的同學(xué)想要測(cè)量校園內(nèi)文化長(zhǎng)廊（如圖1）的最高點(diǎn)到地面的高度．如圖2是其測(cè)量示意圖，五邊形ABDEC關(guān)于直線EF對(duì)稱(chēng)，EF與AB，CD分別相交于點(diǎn)F，G．測(cè)得AB＝3m，CD＝5m，∠ABD＝135°，∠BDE＝92°，則文化長(zhǎng)廊的最高點(diǎn)離地面的高度EF約為（）（結(jié)果保留一位小數(shù)，參考數(shù)據(jù)：sin47°≈0.73，cos47°≈0.68，tan47°≈1.07）A．4.2m B．4.0m C．3.7m D．3.6m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，證明四邊形GFBH為矩形，得出GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，求出∠DBH＝45°，得到BH＝DH＝GF＝1m，求出∠EDG＝47°，再解直角三角形得出EG的長(zhǎng)，再由EF＝EG+GF計(jì)算即可得出答案．【解答】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥CD于點(diǎn)H，由題意，得BF=12∵EF垂直平分AB，垂足為F，EF垂直平分CD，與CD交于點(diǎn)G，BH⊥CD，∴∠BFG＝∠FGH＝∠BHG＝90°，∴四邊形GFBH為矩形，∴GH＝BF＝1.5m，∠FBH＝90°，∴DH＝DG﹣GH＝1m，∵∠ABD＝135°，∴∠DBH＝45°，∴BH＝DH＝GF＝1m，∵∠BDE＝92°，∴∠EDG＝47°，在Rt△EDG中，tan∠∴EG＝DGtan47°≈2.5×1.07≈2.68（m），∴EF＝EG+GF≈2.68+1≈3.7（m），故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．5．如圖，△ABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanA的值是（）A．35 B．45 C．43 【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】計(jì)算題；解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】C【分析】如圖連接格點(diǎn)BD、CD．在Rt△ABD中求出∠A的正切值．【解答】解：如圖，連接格點(diǎn)BD、CD．在Rt△ABD中，tanA=BD故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，連接BD構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．6．如圖，滑雪場(chǎng)有一坡角20°的滑雪道，滑雪道AC長(zhǎng)為200米，則滑雪道的坡頂?shù)狡碌椎呢Q直高度AB的長(zhǎng)為（）米．A．200cos20° B．200sin20° C．200cos20° 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】D【分析】根據(jù)正弦的定義進(jìn)行解答即可．【解答】解：∵sin∠∴AB＝AC?sin∠C＝200sin20°，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度坡角的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．7．如圖是某商店?duì)I業(yè)大廳自動(dòng)扶梯的示意圖，已知扶梯的長(zhǎng)度為m米，坡度i=A．513m米 B．512m米 C．1213m【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；列代數(shù)式．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】A【分析】設(shè)大廳兩層之間的距離為5x米，根據(jù)坡度的概念用x表示出扶梯的水平寬度，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】解：設(shè)大廳兩層之間的距離為5x米，∵扶梯的坡度i＝5：12，∴扶梯的水平寬度為12x米，由勾股定理得：（5x）2+（12x）2＝m2，解得：x=m∴大廳兩層之間的距離為513m故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，坡度是坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比．8．在計(jì)算tan15°的值時(shí)，可以借用“數(shù)形結(jié)合”思想構(gòu)建幾何圖形的方法解決，如圖，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延長(zhǎng)CB到D使BD＝AB，連接AD，得∠D＝15°，設(shè)AC＝a，則AB＝DB＝2a，BC=3a，CD=(2+3)a，RtA．2+1 B．2-1 C．2 【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】B【分析】如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得AB＝BD，則∠BAD＝∠D．設(shè)AC＝1，求出CD，可得結(jié)論．【解答】解：如圖，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延長(zhǎng)CB至點(diǎn)D，使得AB＝BD，則∠BAD＝∠D，∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，設(shè)AC＝1，則BC＝1，AB=2AC=∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+2∴tan22.5°＝tanD=ACCD故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查銳角三角函數(shù)的定義，解直角三角形，分母有理化，特殊直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用特殊直角三角形解決問(wèn)題．9．如圖，圖①、圖②分別是某種型號(hào)跑步機(jī)的實(shí)物圖與示意圖，已知游步機(jī)手柄AB與地面DE平行，端板CD長(zhǎng)為1.5m，CD與地面DE的夾角∠CDE＝a，支架AC長(zhǎng)為1m，∠CAB＝120°，則距步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離為（）A．32+1.5sinα BC．32+1.5cosα 【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】A【分析】過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交DE的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)正弦的定義分別求出CG、CH，計(jì)算即可．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CG⊥AB，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，交DE的延長(zhǎng)線于H，∵手柄AB與地面DE平行，∴CH⊥DE，在Rt△CDH中，∠CDH＝α，CD＝1.5m，∵sin∠CDH=CH∴CH＝CD?sin∠CDH＝1.5sinα，∵∠CAB＝120°，∴∠CAG＝60°，∴CG＝AC?sin60°=3∴距步機(jī)手柄AB所在直線與地面DE之間的距離為：（1.5sinα+3故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．10．如圖，在正方體中，∠BD1B1的正切值為（）A．22 B．32 C．1 D【考點(diǎn)】銳角三角函數(shù)的定義．【專(zhuān)題】等腰三角形與直角三角形；推理能力．【答案】A【分析】由題意得BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，設(shè)BB1＝A1B1＝A1D1＝x，則B1【解答】解：由題意得：BB1＝A1B1＝A1D1，∠BB1D1＝90°，設(shè)BB1＝A1B1＝A1D1＝x，則：B1D1=A1∴tan∠故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，解答本題的關(guān)鍵要熟練掌握銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切，記作tanA．即tanA＝∠A的對(duì)邊除以∠A的鄰邊=a二．填空題（共5小題）11．某地為拓寬河道和提高攔水壩，進(jìn)行了現(xiàn)有攔水壩改造．如圖所示，改造前的斜坡AB=8017米，坡度為1：4；將斜坡AB的高度AE提高20米（即AC＝20米）后，斜坡AB改造成斜坡CD，其坡度為1：1.5．則改造后斜坡CD的長(zhǎng)為5013【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】5013米．【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AE，進(jìn)而求出CE，根據(jù)坡度的概念求出DE，根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABE中，AB＝200米，AEBE∴設(shè)AE＝x米，BE＝4x米，∴AB=AE2+B∴x＝80，∴AE＝80米，∴CE＝AE+AC＝100（米），∵斜坡CD的坡度為1：1.5，∴DE＝150米，由勾股定理得：CD=CE2答：斜坡CD的長(zhǎng)為5013米．故答案為：5013米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用—坡度坡角問(wèn)題，掌握坡度的概念、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．12．如圖，與斜坡CE垂直的太陽(yáng)光線照射立柱AB（與水平地面BF垂直）形成的影子，一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上．若BC＝3米，CD＝8.48米，斜坡的坡角∠ECF＝32°，則立柱AB的高為20.8米（結(jié)果精確到0.1米）．科學(xué)計(jì)算器按鍵順序計(jì)算結(jié)果（已取近似值）0.5300.8480.625【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題；平行投影．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】20.8．【分析】延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)H，根據(jù)余弦的定義求出HC，進(jìn)而求出HB，再根據(jù)正切的定義計(jì)算即可．【解答】解：如圖，延長(zhǎng)AD交BF于點(diǎn)H，在Rt△DCH中，CD＝8.48米，∠DCH＝32°，∵cos∠DCH=DC∴HC=DCcos∴BH＝HC+BC＝13（米），∵∠DCH+∠AHB＝90°，∠A+∠AHB＝90°，∴∠A＝∠DCH＝32°，在Rt△AHB中，tanA=BH∴AB=BHtanA故答案為：20.8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問(wèn)題，正確作出輔助線、掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．13．如圖，社小山的東側(cè)煉A處有一個(gè)熱氣球，由于受西風(fēng)的影響，以30m/min的速度沿與地面成75°角的方向飛行，20min后到達(dá)點(diǎn)C處，此時(shí)熱氣球上的人測(cè)得小山西側(cè)點(diǎn)B處的俯角為30°，則小山東西兩側(cè)A，B兩點(diǎn)間的距離為6002．【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】6002．【分析】作AD⊥BC于D，根據(jù)速度和時(shí)間先求得AC的長(zhǎng)，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度數(shù)，再求得AD的長(zhǎng)度，然后根據(jù)∠B＝30°求出AB的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC，垂足為D，在Rt△ACD中，∠ACD＝75°﹣30°＝45°，AC＝30×20＝600（米），∴AD＝AC?sin45°＝3002（米）．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∴AB＝2AD＝6002（米）．故答案為：6002．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形，難度適中．14．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，cosB=35，點(diǎn)M在邊AB上，點(diǎn)N在邊BC上，且AM＝BN，連接MN，當(dāng)△BMN為等腰三角形時(shí)，AM＝5或6011【考點(diǎn)】解直角三角形；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】5或6011或50【分析】分三種情況結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形討論求解即可．【解答】解：當(dāng)BM＝BN時(shí)，如圖1，∵AM＝BN，∴BM＝AM，∴AM=當(dāng)MB＝MN時(shí)，如圖2，作ME⊥BC，則有BE=∵BM＝10﹣AM，且cosB=∴BEBM=3解得：AM=當(dāng)NB＝NM時(shí)，如圖3，作NF⊥AB，則有BF=∵AM＝BN，且cosB=∴BFBN=3解得：AM=綜上所述，答案為：5或6011或50【點(diǎn)評(píng)】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和解直角三角形，掌握解直角三角形是解題的關(guān)鍵．15．如圖，A，B，C，D均為網(wǎng)格圖中的格點(diǎn)，線段AB與CD相交于點(diǎn)P，則∠APD的正切值為3．【考點(diǎn)】解直角三角形．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】3．【分析】連接CM，DN，根據(jù)題意可得CM∥AB，從而可得∠APD＝∠NCD，然后利用勾股定理的逆定理證明△CND是直角三角形，最后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：連接CM，DN，由題意得：CM∥AB，∴∠APD＝∠NCD，由題意得：CN2＝12+12＝2，DN2＝32+32＝18，CD2＝22+42＝20，∴CN2+DN2＝CD2，∴△CND是直角三角形，∴tan∠NCD=DNCN∴∠APD的正切值為：3，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．三．解答題（共5小題）16．如圖，在修建某條地鐵時(shí)，科技人員利用探測(cè)儀在地面A、B兩個(gè)探測(cè)點(diǎn)探測(cè)到地下C處有金屬回聲．已知A、B兩點(diǎn)相距8米，探測(cè)線AC，BC與地面的夾角分別是30°和45°，試確定有金屬回聲的點(diǎn)C的深度是多少米？【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用．【答案】見(jiàn)試題解答內(nèi)容【分析】過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線交直線AB于點(diǎn)D，構(gòu)建等腰Rt△BCD，在Rt△DAC中利用銳角三角函數(shù)的定義即可求出AC＝2CD．然后在Rt△DAC中利用勾股定理來(lái)求CD的長(zhǎng)度．【解答】解：如圖，作CD⊥AB于點(diǎn)D．∴∠ADC＝90°．∵探測(cè)線與地面的夾角分別是30°和45°，∴∠DBC＝45°，∠DAC＝30°．∵在Rt△DBC中，∠DCB＝45°，∴DB＝DC．∵在Rt△DAC中，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD．∵在Rt△DAC中，∠ADC＝90°，AB＝8，∴由勾股定理，得AD2+CD2＝AC2．∴（8+CD）2+CD2＝（2CD）2．∴CD=4∵CD=4∴CD＝（4+43∴有金屬回聲的點(diǎn)C的深度是（4+43【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵．17．廣州市民昵稱(chēng)“小蠻腰”的廣州塔，是目前中國(guó)最高的塔，它主要由塔身主體與天線桅桿兩部分組成．廣州某中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組幾位同學(xué)，在五一假期，利用測(cè)角儀測(cè)量“小蠻腰”的“身高”，他們?cè)陔x塔底A水平距離450米的地點(diǎn)B，測(cè)得塔身主體的頂端C的仰角為45°，天線桅桿的頂端D的仰角為53°9′．（1）根據(jù)題意，畫(huà)出幾何示意圖（塔身及天線與地面垂直）；（2）求天線棉桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：tan53°9'≈【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】計(jì)算題；解直角三角形及其應(yīng)用；運(yùn)算能力．【答案】（1）詳見(jiàn)解答；（2）150米．【分析】（1）根據(jù)題意畫(huà)出示意圖；（2）在Rt△ABC中，先求出AC，再在Rt△ABD中，利用直角三角形的邊角間關(guān)系求出AD，最后利用線段的和差關(guān)系得結(jié)論．【解答】解：（1）幾何示意圖如圖所示：（2）在Rt△ABC中，∵∠ABC＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°．∴AC＝AB＝450米．在Rt△ABD中，∵tan∠ABD=AD∴AD＝tan∠ABD?AB＝tan53°9′?450≈4＝600（米）．∴CD＝AD﹣AC＝600﹣450＝150（米）．答：天線棉桿的高度為150米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形，掌握等腰直角三角形的性質(zhì)與判定、直角三角形的邊角間關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．18．在鄭州之林公園內(nèi)有一座如意雕塑（圖1），它挺拔矗立在CBD前端，展現(xiàn)出了鄭東新區(qū)的美好藍(lán)圖與如意和諧的愿望．綜合實(shí)踐小組想按如圖2所示的方案測(cè)量如意雕塑的高度EF：①在如意雕塑前的空地上確定測(cè)量點(diǎn)A，當(dāng)測(cè)量器高度AC為3m時(shí)，測(cè)得如意雕塑最高點(diǎn)E的仰角∠ECD＝45°；②保持測(cè)量器位置不變，調(diào)整測(cè)量器高度AB為4.1m時(shí)，測(cè)得點(diǎn)E的仰角∠EBG＝44°．已知點(diǎn)A，B，C，D，E，F(xiàn)，G在同一豎直平面內(nèi)，請(qǐng)根據(jù)該小組的測(cè)量數(shù)據(jù)計(jì)算如意雕塑的高度EF．（結(jié)果精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin44°≈0.69，cos44°≈0.72，tan44°≈0.97）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】如意雕塑的高度EF約為40米．【分析】延長(zhǎng)CD交EF于M，延長(zhǎng)BG交EF于N，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到FM＝AC＝3米，F(xiàn)N＝AB＝4.1米，CM＝BN，MN＝BC＝1.1米，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：延長(zhǎng)CD交EF于M，延長(zhǎng)BG交EF于N，則FM＝AC＝3米，F(xiàn)N＝AB＝4.1米，CM＝BN，∴MN＝BC＝1.1米，設(shè)CM＝BN＝x米，在Rt△BNE中，∠EBG＝44°，∴EN＝BN?tan44°≈0.97x米，在Rt△ECM中，∠ECD＝45°，∴EM＝CM?tan45°＝x米，∵M(jìn)N＝EM﹣EN＝x﹣0.97x＝1.1米，∴x≈36.7，∴EM＝CM＝36.7（米），∴EF＝EM+FM＝36.7+3≈40（米），答：如意雕塑的高度EF約為40米．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用一仰角俯角問(wèn)題，正確地作出輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．19．如圖1所示是一種太陽(yáng)能路燈，它由燈桿和燈管支架兩部分構(gòu)成．如圖2，AB是燈桿，CD是燈管支架，燈管支架CD與燈桿間的夾角∠BDC＝60°．綜合實(shí)踐小組的同學(xué)想知道燈管支架CD的長(zhǎng)度，他們?cè)诘孛娴狞c(diǎn)E處測(cè)得燈管支架底部D的仰角為60°，在點(diǎn)F處測(cè)得燈管支架頂部C的仰角為30°，測(cè)得AE＝3m，EF＝9m（A，E，F(xiàn)在同一條直線上）．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）求燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）；（2）求燈管支架CD的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：3≈1.73【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；推理能力．【答案】（1）33（2）1.7m．【分析】（1）在Rt△DAE中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計(jì)算方法即可求解；（2）如圖所示，延長(zhǎng)FC交AB于點(diǎn)G，可得△DGC是等邊三角形，再計(jì)算出AF的長(zhǎng)度，在Rt△AFG中，根據(jù)特殊三角函數(shù)值的計(jì)算方法即可求解．【解答】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED＝60°，AE＝3m，∴AD=∴燈管支架底部距地面高度AD的長(zhǎng)為33（2）如圖所示，延長(zhǎng)FC交AB于點(diǎn)G，∵∠DAE＝90°，∠AFC＝30°，∴∠DGC＝90°﹣∠AFC＝60°，∵∠GDC＝60°，∴∠DCG＝180°﹣∠GDC﹣∠DGC＝60°，∴△DGC是等邊三角形，∴DC＝DG，∵EF＝9m，AE＝3m，∴AF＝AE+EF＝12m，在Rt△AFG中，AG=∴DC=∴燈管支架CD的長(zhǎng)度約為1.7m．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解直角三角形的實(shí)際運(yùn)用、等邊三角形的判定與性質(zhì)，掌握仰角俯角求直角三角形，特殊三角函數(shù)值求邊長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵．20．如圖，觀測(cè)點(diǎn)C在東西走向的海岸線CN上，觀測(cè)員發(fā)現(xiàn)某船在北偏東12°方向的A點(diǎn)，該船向正東方向行駛10小時(shí)后，到達(dá)北偏東57°方向的B點(diǎn)．已知該船的行駛速度為40海里/時(shí)，求這艘船與海岸線CN之間的距離．（結(jié)果精確到1海里，參考數(shù)據(jù)：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）【考點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題．【專(zhuān)題】解直角三角形及其應(yīng)用；應(yīng)用意識(shí)．【答案】這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里．【分析】作AD⊥BC于點(diǎn)D，BH⊥CN于點(diǎn)H，解直角三角形即可得到結(jié)論．【解答】解：如圖，作AD⊥BC于點(diǎn)D，BH⊥CN于點(diǎn)H，∵∠MCD＝57°，∠MCA＝12°，AB∥CH，∴∠ACB＝45°，∠BCH＝∠ABC＝33°，∴AD＝CD＝sin∠ABC?AB＝400×sin33°，BD＝AB?cos33°＝400×cos33°，∴BC＝CD+BD＝400×（sin33°+cos33°）≈522（海里），則BH＝BC?sin33°≈298（海里），答：這艘船與海岸線CN之間的距離約為298海里．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣方向角問(wèn)題，正確地作出輔助線是解題的關(guān)鍵．

考點(diǎn)卡片1．列代數(shù)式（1）定義：把問(wèn)題中與數(shù)量有關(guān)的詞語(yǔ)，用含有數(shù)字、字母和運(yùn)算符號(hào)的式子表示出來(lái)，就是列代數(shù)式．（2）列代數(shù)式五點(diǎn)注意：①仔細(xì)辨別詞義．列代數(shù)式時(shí)，要先認(rèn)真審題，抓住關(guān)鍵詞語(yǔ)，仔細(xì)辯析詞義．如“除”與“除以”，“平方的差（或平方差）”與“差的平方”的詞義區(qū)分．②分清數(shù)量關(guān)系．要正確列代數(shù)式，只有分清數(shù)量之間的關(guān)系．③注意運(yùn)算順序．列代數(shù)式時(shí)，一般應(yīng)在語(yǔ)言敘述的數(shù)量關(guān)系中，先讀的先寫(xiě)，不同級(jí)運(yùn)算的語(yǔ)言，且又要體現(xiàn)出先低級(jí)運(yùn)算，要把代數(shù)式中代表低級(jí)運(yùn)算的這部分括起來(lái)．④規(guī)范書(shū)寫(xiě)格式．列代數(shù)時(shí)要按要求規(guī)范地書(shū)寫(xiě)．像數(shù)字與字母、字母與字母相乘可省略乘號(hào)不寫(xiě)，數(shù)與數(shù)相乘必須寫(xiě)乘號(hào)；除法可寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，帶分?jǐn)?shù)與字母相乘需把代分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù)，書(shū)寫(xiě)單位名稱(chēng)什么時(shí)不加括號(hào)，什么時(shí)要加括號(hào)．注意代數(shù)式括號(hào)的適當(dāng)運(yùn)用．⑤正確進(jìn)行代換．列代數(shù)式時(shí)，有時(shí)需將題中的字母代入公式，這就要求正確進(jìn)行代換．【規(guī)律方法】列代數(shù)式應(yīng)該注意的四個(gè)問(wèn)題1．在同一個(gè)式子或具體問(wèn)題中，每一個(gè)字母只能代表一個(gè)量．2．要注意書(shū)寫(xiě)的規(guī)范性．用字母表示數(shù)以后，在含有字母與數(shù)字的乘法中，通常將“×”簡(jiǎn)寫(xiě)作“?”或者省略不寫(xiě)．3．在數(shù)和表示數(shù)的字母乘積中，一般把數(shù)寫(xiě)在字母的前面，這個(gè)數(shù)若是帶分?jǐn)?shù)要把它化成假分?jǐn)?shù)．4．含有字母的除法，一般不用“÷”（除號(hào)），而是寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式．2．等腰三角形的性質(zhì)（1）等腰三角形的概念有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性質(zhì)①等腰三角形的兩腰相等②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．【簡(jiǎn)稱(chēng)：等邊對(duì)等角】③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個(gè)元素中，從中任意取出兩個(gè)元素當(dāng)成條件，就可以得到另外兩個(gè)元素為結(jié)論．3．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a=c2-b2，b（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．4．軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)（1）如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)，那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論：①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)；②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸．（2）軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線．5．銳角三角