專題1共頂點(diǎn)模型-【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案含答案

【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題1共頂點(diǎn)模型

經(jīng)典例題

X________________________________________Z

【例1】把兩個等腰直角“BC和MOE按如圖1所示的位置擺放，將境點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如

圖2,連接80,EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為”0。＜。＜360。).

圖1圖2

(1)當(dāng)。石_LAC時，4力與的位置關(guān)系是,AE與BC的位置關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段5E上時，求NBEC的度數(shù)；

(3)若AAbO的外心在邊BD上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值.

【例2】已知RtZ\A3C中，AB=AC,"AC=90。,點(diǎn)O為直線8c上的一動點(diǎn)(點(diǎn)O不與點(diǎn)8、C重合),

以AQ為邊作RtZXAOE,AD=AEf連接CE.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在邊BC上時，

①請寫出3。和CE之間的數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系：

②線段CE、CD、BC之間的關(guān)系是；

(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在邊的延長線上且其他條件不變時，(1)中CE、CD、之間存在的數(shù)

量關(guān)系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在邊C8的延長線上且其他條件不變時，若BC=6,CE=1,則線段A。的長

為?

圖3

【例3】有如下一道作業(yè)題：

如圖1,四邊形A8CO是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CEF,DF.

求證：ABCE法△OCK

(1)請你完成這道題的證明:

圖1

(2)如圖2,在正方形人BCO中，點(diǎn)N是邊C加上一點(diǎn)，CM=CN,連接DM,連接產(chǎn)C.

①求證：ZBFC=45°.

②把廣。繞點(diǎn)F逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到”P,連接CP(如圖3).求訐：BF=CP+DF.

【例4】已知等邊一45C,。為邊BC中點(diǎn)，”為邊AC上一點(diǎn)(不與A,C重合)，連接DW.

圖1圖2

(1)如圖1,點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，當(dāng)M在線段4E上(不與A,E重合)時，將DM繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得

到線段。尸，連接3戶.

①依題意補(bǔ)全圖1;

②此時與3尸的數(shù)量關(guān)系為：,/DBF=。.

(2)如圖2,若DM=2MC,在邊A8上有一點(diǎn)N,使得=直接用等式表示線段BN,ND,CD

之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【例5】如圖1,在RlZ\AC8中，ZACB=90°,AB=2BC,點(diǎn)M,產(chǎn)分別為邊AB,4c的中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊

AC上，且CD=2AQ,點(diǎn)N為CO的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。七〃AB交8C于點(diǎn)E,點(diǎn)G為。石的中點(diǎn).將4

OCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為明連接MG,FN.

(1)問題發(fā)現(xiàn)

FN

當(dāng)a=0°時，二77=77；直線MG與直線尸N相交所成的較小夾角的度數(shù)為30°.

(2)類比探究

當(dāng)0。VaV360°時，(1)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請

說明理由.

(3)拓展應(yīng)用

若AB=4,直線MG和直線尸N交于點(diǎn)O,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)N重合時，請直接寫出線段尸N

的長.

培優(yōu)訓(xùn)練

1.ZkACB和都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,將△CDE繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn).

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)8落在直線。E上時，若AC=26,CE=10夜，求破的長；

(2)如圖2,直線3D、AE交于點(diǎn)F,再連接C尸，求證：近CF=EF+DF;

(3)如圖3,AC=8,8=4,G為石。中點(diǎn)，連接AG,8G,以AG直角邊構(gòu)造等腰用,過H作_LAB

交A8于點(diǎn)/,連接G/，當(dāng)”/最小時，直接寫出G/的長度.

2.在■43。中，AB=ACt點(diǎn)O是直線6C上一點(diǎn)(不與8,C重合)，以AO為一邊在A。的右側(cè)作二4OE,

{JAD=AE,ZDAE=ZBAC,連接C￡

(1)(請直接寫出你的結(jié)論)如圖1，當(dāng)點(diǎn)。在線段8c上：

①如果N84C=90。，則N8CE=_。；

②如果N8AC=100。，則N5CE=_。；

(2)設(shè)NR4C=a,ABCE=p.

①如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段BC上移動，則服尸之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

②當(dāng)點(diǎn)。在直線BC上移動，則。、夕之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請畫出圖形，并直接寫出你的結(jié)論.

3.有公共頂點(diǎn)A的正方形4BCO與正方形AEG尸按如圖1所示放置，點(diǎn)E,尸分別在邊AB和AD上，DE,

M是B尸的中點(diǎn)

(觀察猜想)

(1)線段OE與4M之間的數(shù)量關(guān)系是位置關(guān)系是；

(探究證明)

(2)將圖1中的正方形AEGF繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)45。，點(diǎn)G恰好落在邊AB上，如圖2,線段。石與4M之間

的美系是否仍然成立？并說明理由.

(3)若正方形ABCO的邊長為4,將其沿E尸翻折，點(diǎn)。的對應(yīng)點(diǎn)G恰好落在8C邊上，直接寫出OG+?！?/p>

的最小值__________

4.(1)問題：如圖1,在即ZkABC中，ZBAC=90°,AB=AC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合).連接

AD,過點(diǎn)4作4E_L4O,并滿足AE=4。，連接則線段8。和線段CE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)系

是;

⑵探索：如圖2,當(dāng)。點(diǎn)為8C邊上一點(diǎn)〔不與點(diǎn)用C重合)，RQA8C與股h4。七均為等腰直角三角形，

NBAC=NOAE=90。，AB=AC,AD=AE.試探索線段B。、CD.OE之間滿足的等量關(guān)系，并證明你的結(jié)

論；

(3)拓展：如圖3,在四邊形ABCD中，NABC=N4C8=NAOC=45。，若BD=3,8=1,則線段AD的

長為

5.己知：等腰A5c和等腰陽△?1￡)￡：中，AB=AC,AE=AD,N84C=NEAO=90°.

⑴如圖1,延長DE交5c于點(diǎn)尸，若N5AE=68。，則NZWC的度數(shù)為；

(2)如圖2,連接EC、BD,延長E4交8。于點(diǎn)M,若N4EC=90。，求證：點(diǎn)M為BD中點(diǎn);

(3)如圖3,連接EC、BD,點(diǎn)G是CE的中點(diǎn)，連接4G,交BD于點(diǎn)、H,4G=9,”G=5,直接寫出AAEC

的面積.

6.如圖，點(diǎn)A,M,B在同一直線上，以為邊，分別在直線兩側(cè)作等邊三角形ABC和等邊三角形48Z),

連接CM,DM,過點(diǎn)M作MN=OM,交BC邊于點(diǎn)G,交08的延長線于點(diǎn)N.

(1)求證：/BCM=/BDM；

(2)求NCMN的度數(shù)：

(3)求證：AM=BN.

7.問題發(fā)現(xiàn)

(1)如圖①，已知△A8C,以月氏AC為邊向AABC外分別作等邊和等邊△ACE,連接CO,BE.試探

窕與3E的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

問題探究

(2)如圖②，四邊形AOCZ)中，ZAZ?C=45°,NCAD=90。,AC=AD,AB=2BC=60.求UO的長.

問題解決

(3)如圖③，MBC中，AC=2,BC=3,NAC8是一個變化的角，以48為邊向MBC外作等邊AAB。，連

接CD試探究，隨著NAC8的變化，8的長是否存在最大值，若存在求出8長的最大值及此時N4C8

的大小；若不存在，請說明理由.

8.在學(xué)習(xí)全等三角形知識時，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：它是由兩個共頂點(diǎn)且頂角相等的等腰三角

形構(gòu)成在相對位置變化的同時始終存在一對全等三角形通過資料查詢，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”

興趣小組進(jìn)行了如下探究：

(1)如圖1,兩個等腰三角形二A6C和..乂小中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,連接8力、CE,

如果把小等腰三角形的腰長看作小手，大等腰三角形的腰長看作大手，兩個等腰三角形有公共頂點(diǎn)，類似

大手拉著小手，這個就是“手拉手模型”，在這個模型中，和△4)8全等的三角形是,此線4。和CE

的數(shù)量關(guān)系是.

⑵如圖2,兩個等腰百角三角形.ABC和中，AB=AC,AE=AD,NR4C=ND4E=90°,連接3。、

CE,兩線交于點(diǎn)尸，請判斷線段3。和CE的關(guān)系，并說明理由.

9.在學(xué)習(xí)全等三角形知識時,數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個模型：模型是由兩個頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)

的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來，則在相對位置變化的過程中，始終存在一對

全等三角形，我們把這種模型稱為“手拉手模型這個數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：

(I)如圖1.在AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=400(AB>AD)t連接80,CE,當(dāng)點(diǎn)E

落在A8邊上，且O,E,C三點(diǎn)共線時，則在這個“手拉手模型”中，和△A80全等的三角形是,

ZBDC的度數(shù)為.

(2)如圖2.在AABC和AAOE中，AB=AC,AD=AEfZBAC=ZDAE=90°f連接8D,CE,當(dāng)點(diǎn)B,。，E在

同一條直線上時，請判斷線段E)和CE的關(guān)系，并說明理由.

(3)如圖3,已知△ABC,請畫出圖形：以AB,AC為邊分別向AABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形4CE(等

邊三角形三條邊相等，三個角都等于60。)，連接BE,CD,交于點(diǎn)P,請直接寫出線段BE和CO的數(shù)量關(guān)

系及NBPD的度數(shù).

10.如圖1,在A4BC中，CA=CB,N4C8=90。.點(diǎn)。是AC中點(diǎn)，連接過點(diǎn)4作AE_L8D交8及

的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作C凡LBD于點(diǎn)尸.

(I)求證：N￡A/J=NCH。；

(2)求證：BF=2AE,

(3)如圖2,將△5。尸沿5c翻折得到AACG,連接AG,請猜想并證明線段AG和A3的數(shù)量關(guān)系.

ABB

圖1圖2

11.如圖，在四邊形A8CO中，ZA=ZABC=90°,AB=BC=12cm,AD=10cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以3cm/s

的速度沿AB向點(diǎn)2勻速運(yùn)動設(shè)運(yùn)動時間為"s).

(1)如圖①，連接瓦)、CP,當(dāng)3D_LCP時，求/的值；

(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)尸開始運(yùn)動時，點(diǎn)Q同時從點(diǎn)C出發(fā)，以acm/s的速度沿C8向點(diǎn)8勻速運(yùn)動，當(dāng)尸、。兩點(diǎn)

中有一個點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時，另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動.當(dāng)與尸全等時，求〃和，的值；

(3)如圖③，當(dāng)(2)中的點(diǎn)Q開始運(yùn)動時，點(diǎn)〃同時從點(diǎn)。出發(fā)，以L5cm/s的速度沿D4向點(diǎn)A運(yùn)動，連接CM,

Q

交。。于點(diǎn)E.連接AE當(dāng)=時，SADE=SCDEf請求出此時。的值.

12.(1)如圖1,已知ACAB和ACQE均為等邊三角形，。在AC上，七在C8上，易得線段和BE的數(shù)量

關(guān)系是.

(2)將圖1中的aCOE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線AD和直線BE交于點(diǎn)F.

①判斷線段A￡＞和8E的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②圖2中NA尸B的度數(shù)是—.

(3)如圖3,若ACAB和△COE均為等腰直角三角形，ZABC=ZDEC=90°,AB=BC,DE=EC,直線AD

和直線8E交于點(diǎn)尸，分別寫出萬的度數(shù)，線段4。、BE間的數(shù)量關(guān)系.

13.如圖，在RtaABC中，ZACB=90°,NA=30°,點(diǎn)。為A4中點(diǎn)，點(diǎn)P為直線BC上的動點(diǎn)(不與

點(diǎn)3、點(diǎn)C重合)，連接OC、OP,將線段OP繞點(diǎn)P逆時針旋轉(zhuǎn)60°,得到線段P。，連接BQ.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段BC上時，請直接寫出線段8Q與CP的數(shù)量關(guān)系.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在C8延長線上時，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請加以證明：若不成立，請說明理

由；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長線上時，若NBPO=45°,AC=V6,請直接寫出8。的長.

14.在RIZX48C中，N4CB=90°,NA=30°,點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，DEA.BC,垂足為點(diǎn)E,連接CO.

(1)如圖1,求。E與BC的數(shù)量關(guān)系是鳧J.

(2)如圖2,若P是線段C8上一動點(diǎn)(點(diǎn)P不與點(diǎn)8、。重合)，連接。P,將線段OP繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)

60’,得到線段DF,NPO尸=60°,連接BF,請猜想OE、BF.BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的

結(jié)論；

(3)若點(diǎn)尸是線段C8延長線上一動點(diǎn)，按照(2)中的作法，請猜測BF,BP三者之間的數(shù)量關(guān)系，并

證明你的結(jié)論.

15.(1)觀察理解：如圖①，/XABC中，ZACB=90°,4C=BC,直線/過點(diǎn)。，點(diǎn)A,8在直線/同側(cè)，

BDLLAEJJ,垂足分別為O,E,求證：XAEC9XCDB.

(2)理解應(yīng)用：如圖②，AE1AB,且4E=A8,BC1CD,且BC=C7),利用(1)中的結(jié)論，請按照圖中所

標(biāo)注的數(shù)據(jù)計(jì)算圖中實(shí)線所圍成的圖形的面積5=50；

(3)類比探究：如圖③，中，ZACB=90°,4C=4,將斜邊A8繞點(diǎn)4逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AS,

連接B'C,則SA"，C=8.

(4)拓展提升：如圖④，等邊△E3C中，EC=BC=3cm,點(diǎn)。在8c上，EOC=2cm,動點(diǎn)尸從點(diǎn)E沿

射線EC以\cmts速度運(yùn)動，連結(jié)OP,將線段OP繞點(diǎn)O逆時針旋轉(zhuǎn)120°得到線段OF.若點(diǎn)尸恰好

落在射線所上，求點(diǎn)P運(yùn)動的時間⑶(畫出示意圖)

A

16.已知等腰與等腰RtZXCOE,AC=BC,CD=CE,ZACB=ZDCE=90°.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在AC上，點(diǎn)E在8c延長線時，連接AE、8D,找出4E與08的關(guān)系，并說明理由：

(2)材料：材料：圖2,當(dāng)點(diǎn)。不在AC上，點(diǎn)E不在BC延長線上時，連接A。、BE,點(diǎn)M為4。中點(diǎn)，

連接MC,并延長MC交BE與N,我們可以證明MNLBE：輔助線和證明方法為：過點(diǎn)D作DG"AC

交CM的延長線于G,易證△AMCg/\OMG(A45),再證明△GOCg/\BCE(5AS),從而得到NCNE=90°,

MN上BE；

問題：把等腰RtZXOCE繞點(diǎn)C轉(zhuǎn)至如圖3位置，點(diǎn)M是線段A。的中點(diǎn)，問MN與8七的位置關(guān)系是否

發(fā)生改變？如果沒有，請?jiān)趫D3畫出輔助線，并說明理由.

17.某校八年級數(shù)學(xué)興趣小組在研究等腰直角三角形與圖形變換時，作了如下研究：在△ABC中，ZBAC

=90°,AB=ACt點(diǎn)D為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與8,C重合)，以AD為腰作等腰直角三角形DAF,

使/OA/=90°,連接。尸.

(1)觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時，

①CF與BC的位置關(guān)系為CRLXC:

@CF,DC,8C之間的數(shù)量關(guān)系為8C=QC+C-(直接寫出結(jié)論):

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)O在線段C8的延長線上時，(1)中的①、②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給予證明；若

不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C的延長線上時，將△。4尸沿線段。尸翻折，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，連接CE,若

已知4CQ=8C,ACS請求出線段CE的長.

18.在ZiABC中，N8AC=90°,AB=AC,點(diǎn)。為直線上一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與B,C重合)，以A。為邊

在A。的右側(cè)作正方形AQER連接CF.

(1)觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段上時，

①BC與C戶的位置關(guān)系為：BCLCF；

②BC,CD,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC=CF+CD.(將結(jié)論直接寫在橫線上)

(2)數(shù)學(xué)思考

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線上時，結(jié)論①②是否仍然成立？若成立，請給予證明：若不成立,

請你寫出正確結(jié)論再給予證明，

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)D在線段3。的延長線上時，延長交。尸于點(diǎn)G,連接GE.若AB=2>TLCD=\,請

求出GE的長.

19.已知，在△ABC中，N84C=90°,A8=AC,點(diǎn)。為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與8、C重合)，以AO

為邊在AD的上邊作正方形ADEF,連接CF.

(1)觀察猜想：如圖1,當(dāng)點(diǎn)D在線段上時，①8C與C尸的位置關(guān)系為：8CJb；②8C、CD.

CF之間的數(shù)量關(guān)系為：CF=BC-CD.

(2)數(shù)學(xué)思考：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段C8的延長線上時，以上①②關(guān)系是否成立，請?jiān)诤竺娴臋M線上寫

出正確的結(jié)論.①BC與C尸的位置關(guān)系為：BCLCF；@BC.CD、C77之間的數(shù)量關(guān)系為：CF

=CD-BC.

⑶如圖3,當(dāng)點(diǎn)0在線段笈。的延長線上時，延長BA交CF于點(diǎn).G.連接GC,若已知48=2或.CD=\BC,

請求出DG的長(寫出求解過程).

20.已知，在△4BC中，N8AC=90°,NABC=45°,AB=4C,點(diǎn)O為直線BC上一動點(diǎn)(點(diǎn)。不與B,

。重合)，以40為邊作正方形AOE尸，連接CE

(1)觀察猜想

如圖1,當(dāng)點(diǎn)。在線段上時可以證明△48。g△ACF,貝IJ,

①BC與C戶的位置關(guān)系為：BCLCF.

②BC,DC,CF之間的數(shù)量關(guān)系為：BC=DC+CF；

(2)類比探究

如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C的延長線上時，其他條件不變，(1)中①，②結(jié)論是否仍然成立？若成立，請

給予證明：若不成立，請你寫出正確結(jié)論再給予證明.

(3)拓展延伸

如圖3,當(dāng)點(diǎn)。在線段8C的反向延長線上時，且點(diǎn)A、尸分別在直線3C的兩側(cè)，其他條件不變.

①RC、DC.C?三條線段之間的數(shù)量關(guān)系為：.

②若正方形AOE尸的邊長為2,對角線AE、。尸相交于點(diǎn)0,連結(jié)0C,則0C的長度為

21.如圖，在RtZ\A8C中，NA=90°,AS=AC=4y/2.一動點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，沿方向以每秒1個單

位長度的速度勻速運(yùn)動，到達(dá)點(diǎn)。即停止，在整個運(yùn)動過程中，過點(diǎn)P作PQ_L8C與RtZXABC的直角

邊相交于點(diǎn)。，延長尸。至點(diǎn)Q,使得PD=。。，以PQ為斜邊在PQ左側(cè)作等腰直角三角形PQE.設(shè)

運(yùn)動時間為，秒”>0)

(1)在整個運(yùn)動過程中，判斷PE與A3的位置關(guān)系是

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段AB上時，連接AQ、AP,是否存在這樣的匕，使得4P=PQ?若存在，求出對

應(yīng)的f的值；若不存在，請說明理由；

(3)當(dāng)1=4時，點(diǎn)。經(jīng)過點(diǎn)A：當(dāng)/=學(xué)時，點(diǎn)￡在邊48上.設(shè)△A4C與△2(處重疊部分的面積為S,

請求出在整個運(yùn)動過程中S與，之間的函數(shù)關(guān)系式，以及寫出相應(yīng)的自變量/的取值范圍，并求出當(dāng)4V

W學(xué)時S的最大值.

22.【問題情境】

如圖I,P是。。外的一點(diǎn)，直線尸0分別交。0于點(diǎn)A、B

小明認(rèn)為線段勿是點(diǎn)尸到。0上各點(diǎn)的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在。。上任意取一個不

同于點(diǎn)A的點(diǎn)C,連接。C、CP,則有0PV0C+PC,SPOP-0C<PC,由04=0C得OP-QAVPC,

即PA<PC,從而得出線段PA是點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的距離中最短的線段

小紅認(rèn)為在圖1中，線段P3是點(diǎn)P到。。上各點(diǎn)的距離中最長的線段，你認(rèn)為小紅的說法正確嗎？請

說明理由

如圖3,在RlAABC中，NACB=90°,AC=BC=2,以8C為直徑的半圓交A8于。，P是詼上的一

個動點(diǎn)，連接AP,則AP的最小值是—而一］_

【構(gòu)造運(yùn)用】

如圖4,在邊長為4的菱形A8CO中，NA=60°,M是A。邊的中點(diǎn)，N是A8邊上一動點(diǎn)，將

沿所在的直線翻折得到MN,連接A'C,請求出A'CK度的最小值

解：由折疊知A'M=AM,又M是AD的中點(diǎn)，可得MA=MA'=MD,做點(diǎn)A'在以A。為直徑的圓

上，如圖5,以點(diǎn)M為圓心，MA為半徑畫0M,過M作MH_LCD,垂足為H(請繼續(xù)完成本題的后續(xù)解

題過程)

［深度運(yùn)用］

如圖6,△ABC、△EFG均是邊長為4的等邊三角形，點(diǎn)。是邊BC、E尸的中點(diǎn)，直線AG、尸C相交于

點(diǎn)M,當(dāng)△EFG繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)時，則線段長的最小值和最大值分別是，舊-?_和，依+?_.

23.如圖，在中，NACB=90°,AC=Scm,BC=4cm.D、E分別為邊AB、8C的中點(diǎn)，連接

DE.點(diǎn)。從點(diǎn)A出發(fā)，沿折線AD-DE-EB運(yùn)動,到點(diǎn)B停止.點(diǎn)P在線段4。上以遍c/n/s的速度運(yùn)

動，在折線。E-E8上以lcm/s的速度運(yùn)動.當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)A不重合時，過點(diǎn)P作PQJ_AC于點(diǎn)Q,以

PQ為邊作正方形PQMM使點(diǎn)M在線段A0上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為心).

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段DE上運(yùn)動時，線段DP的長為「2)cM用含t的代數(shù)式表示).

(2)當(dāng)點(diǎn)N落在48邊上時，求f的值.

(3)當(dāng)正方形PQMN與△ABC重疊部分圖形為五邊形時，設(shè)五邊形的面積為S(cm2),求S與/的函數(shù)關(guān)系

式.

(4)連接CD,當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)。重合時，有一點(diǎn)”從點(diǎn)M出發(fā)，在線段MN二以2.5c〃曲的速度沿M-N-

M連續(xù)做往返運(yùn)動，直至點(diǎn)尸與點(diǎn)E重合時，點(diǎn)H停止往返運(yùn)動：當(dāng)點(diǎn)P在線段EB上運(yùn)動時，點(diǎn)”始

終在線段MN的中點(diǎn)處，直接寫出在點(diǎn)P的整個運(yùn)動過程中，點(diǎn)“落在線段8上時f的取值范圍.

24.如圖①，在等腰△ADC和中，AB=AC,AD=AE,且NDA￡=120°.

(1)求證：△ABOgZXACE；

(2)把△AOE繞點(diǎn)A逆時針方向旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，連接CD,點(diǎn)M、尸、N分別為OE、DC.8C的中點(diǎn)，

連接MMPN、PM,判斷△尸MN的形狀，并說明理由；

(3)在(2)中，把△/1￡)￡：繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AO=4,AB=6,請分別求出△尸MN周長的最小值

圖①圖②

25.綜合與實(shí)踐：

如圖1,已知△ABC,AB=AC,點(diǎn)。、上分別在邊AB、AC上，AD=AE,連接OC,點(diǎn)P、Q、M分別

為DE、BC、DC的中點(diǎn).

(1)觀察猜想

在圖1中，線段PM與QM的數(shù)量關(guān)系是：

(2)探究證明

當(dāng)NRAC=60°,把△AOE繞點(diǎn)A順時針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，判斷△PMQ的形狀，并說明理由；

(3)拓展延伸

當(dāng)N6AC=90°,AB=AC=5fAD=AE=2f再連接BE,再取BE的中點(diǎn)N,把△4。七繞點(diǎn)A在平面內(nèi)

自由旋轉(zhuǎn),如圖3.

①請你判斷四邊形PMQN的形狀，并說明理由:

②請直接寫出四邊形PMQN面積的最大值.

圖1圖3

26.【詞題提出】如圖1,AABC中，AB=AC,點(diǎn)。在AB上，過點(diǎn)。作OE/78C,交AC于E,連接CD,

F,G,"分別是線段CD,DE,BC的中點(diǎn)，則線段尸G,F〃的數(shù)量關(guān)系是FG=FH（直接寫出結(jié)論）.

【類比探究】將圖1中的AAOE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖2位置，上述結(jié)論還成立嗎？若成立，請給出證明；

若不成立，請說明理由.

【拓展延伸】如圖3,在RtZXABC中，ZC=90°,AC=5,5c=12,點(diǎn)E在8c上，且8七=鬧，過

點(diǎn)E作項(xiàng)上LA-垂足為。，將犯繞點(diǎn)8順時針旋轉(zhuǎn)，連接AE,取4E的中點(diǎn)廣，連接。立當(dāng)AE

與AC垂直時，線段DF的長度為—V347106—（直接寫出結(jié)

【壓軸必刷】2024中考數(shù)學(xué)壓軸大題之經(jīng)典模型培優(yōu)案

專題1共頂點(diǎn)模型

經(jīng)典例題

X________________________________________Z

【例1】把兩個等腰直角“BC和MOE按如圖1所示的位置擺放，將境點(diǎn)A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如

圖2,連接80,EC,設(shè)旋轉(zhuǎn)角為”0。＜。＜360。).

(1)當(dāng)。石_LAC時，4力與的位置關(guān)系是,AE與BC的位置關(guān)系是.

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)。在線段5E上時，求NBEC的度數(shù)；

(3)若AAbO的外心在邊BD上，直接寫出旋轉(zhuǎn)角a的值.

【答案】(1)垂直,平行；(2)90。；(3)90?；?70。

【分析】

(1)根據(jù)題意畫出圖形，利用三線合一性質(zhì)可證明A。與3c垂直，再根據(jù)平行線的判定可證明AE與平

行；

⑵利用等腰三角形的性質(zhì)證明"A。名△CAE,求出NADB=NAEC=135。，所以NBEC=NAEC-45。=90。；

(3)根據(jù)題意畫出圖形，由題意知，當(dāng)△ABQ的外心在邊BO上時，是以為斜邊的直角三角形，所

以旋轉(zhuǎn)角為90。或270°.

【詳解】

解：⑴如圖，設(shè)AC與OE交于點(diǎn)”，

在等腰直角A4BC和△4DE中,

ZBAC=ZDAE=90°,AD=AE,AB=AC,NB=NC=45。,

VDF1AC,

/."AH—zlEAH—ZDAE-450,

：.ZBAD=ZBAC-ZD4W=45°,

：.ZBAD=ZDAHf

：.ADLBCt

VZ￡AH=ZC=45°,

：.AE//BCt

故答案為：垂直，平行；

(2)在等腰直角^AOE中，AD=AE,ND4E=90。,

在等腰直角△斗伙？中，AB=AC,NA4C=90。,

,:NBAD=ABAC-ZDAC=900-ZDAC,

ZCAE=ZDAE-ZDAC=90°-NO4C,

：.ZBAD=ZCAE,

又???AB=AC,AD=AEt

???△BAO絲△C4E(SA5),

???ZADB=NAEC=180。-ZADE=135°,

NBEC=ZAEC-45°=135°-45°=90°：

(3)如圖，

因?yàn)锳ABD的外心在邊BD上時，AAB。是以BD為斜邊的直角三角形,

所以旋轉(zhuǎn)角為90。或270°.

【點(diǎn)睛】

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是熟練掌握旋轉(zhuǎn)

的性質(zhì)，能夠根據(jù)題意畫出圖形.

【例2】已知RtZXABC中，AB=AC,N84C=90。，點(diǎn)。為直線8c上的一動點(diǎn)(點(diǎn)O不與點(diǎn)6、。重合)，

以AO為邊作Rt^AQE,AD=AE,連接CE.

(1)發(fā)現(xiàn)問題：如圖①，當(dāng)點(diǎn)。在邊8C上時，

①請寫出30和CE之間的數(shù)量關(guān)系,位置關(guān)系;

②線段CE、CD、5c之間的關(guān)系是；

(2)嘗試探究：如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在邊8C的延長線上且其他條件不變時，(1)中CE、CD、8c之間存在的數(shù)

量關(guān)系是否成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由；

(3)拓展延伸：如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在邊C8的延長線上且其他條件不變時，若BC=6,CE=\,則線段AO的長

為.

圖3

【答案】(1)①BO=CE,BDA.CE.②BC=CE+CD.

(2)不成立，CE=BC+CD.

(3)5

【分析】

(1)①根據(jù)全等三角形的判定定理證明OgZiCA￡根據(jù)全等三角形的性質(zhì)證明；

②根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等證明即可；

(2)證明△84。絲△CAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答即可；

(3)根據(jù)△BAO@Z\CAE得到BD=CE=1,再證明AOCE是直角三角形，利用勾股定理求出。E,即可求出4。

的長度；

【詳解】

(1)①解：結(jié)論：BD=CE,BD工CE,

理由：VZABC=ZACB=45°fZADE=ZAED=45°f

:.ZBAC=ZDAE=90°,

：,ZBAD=ZCAE,

在△朋。和ACAE中，

AB=AC

<ABAD=ZCAE,

AD=AE

,△BAD父△CAE,

:?BD=CE,NACE=NB=45°,

AZBCE=90°,即BZ)_LCE,

故答窠為：BD=CE；BD上CE；

②證明：???8O=C￡

???BC=BD+CD=CE+CD；

故答案為：BC=CE+CD.

圖②

圖③

(2)解：(1)中3C、CE、CO之間存在的數(shù)量關(guān)系不成立，新的數(shù)量關(guān)系是CE=8C+C。,

理由：?：NBAC二NDAE=90。,

：.ZBAD=ZCAE,

在△胡。和ACAE中，

AB=AC

?NBAD=NCAE,

AD=AE

：./\BAD^/\CAE,

：,BD=CE,

：.CE=BC+CD；

(3)解：VZ5AC=ZDAE=90°,

：.ZBAD=ZCAE,

在△RA。和ACAE中，

AB=AC

<NBAD=NCAE,

AD=AE

,△BAZ)也△CAE,

；?BD=CE=1,NABO=NACE=135。，

???N4C8=45。，

JZDCE=90°,

在R/AOCE中，CD=BD+BC=1,CE=1,

?*-DE=Ven2+CE2=^72+l2=5V2:

:.AD=5>/2x—=5;

2

故答案為：5.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角形綜合題，等腰直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，解題的關(guān)

鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型.

【例3】有如下一道作業(yè)題：

如圖1,四邊形48co是正方形，以C為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形CM,DF.

求證：ABCEmADCF.

(1)請你完成這道題的證明:

圖1

(2)如圖2,在正方形A8CO中，點(diǎn)N是邊8上一點(diǎn)，CM=CN,連接OM,連接rC.

①求證：ZBFC=45°.

②把FC繞點(diǎn)尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到FP,連接CP(如圖3).求證：BF=CP+DF.

【答案】⑴見解析；⑵①見解析；②見解析

【分析】

⑴由正方形的性質(zhì)可知CB=CD,ZBCZ>90°,再根據(jù)題意推出NBCE=NZ)CE以及CE=CF,從而利用“SAP

證明全等即可；

(2)①根據(jù)題意可先證明△BCNgZ\OCM,從而推出NCBN二NCOM,然后作CG_LC尸交8尸于G點(diǎn)，再證明

ABCG/ADCF,即可得到ACFG為等腰直角三角形，從而得出結(jié)論；②作CQ_LC尸交8尸于。點(diǎn)，結(jié)合①

的結(jié)論，可得4Q=/",然后結(jié)合題意證明四邊形。2尸產(chǎn)為平行四邊形，即可得到CP=2”,從而證得結(jié)論.

【詳解】

(I)、?四邊形A8co為正方形,

:.CB=CD,ZBCD=90°,即：NBCE+NECD=90°,

???△CE廣為等腰直角三角形,

：.CE=CF,NECF=90°,即：NECD+NOC尸=90°,

???ZBCE=ZDCF,

在ABCE與AOC尸中,

CB=CD

<ZBCE=/DCF

CE=CF

：.叢BCEmADCF(SAS)；

(2)①由正方形性質(zhì)可知，NBCN=/DCM=90。,

在A3CN和中，

BC=DC

,NBCN=NDCM

CN=CM

:?△BCNWADCM(SAS),

：.ZCBN=ZCDM,

如圖，作CG_LC"交Z?"于。點(diǎn)，貝ijNGC"=90。,

:.NBCG=/DCF,

在"CG和△OC”中，

Z.CBG=Z.CDF

<BC=DC

NBCG=NDCF

：.△BCG0△Ob(4SA),

：.CG=CF,

???△CFG為等腰直角三角形，

JZBFC=45°；

②如圖所示，作CQ_LC/交B尸于。點(diǎn)，

由①可知，ABCQWADCF,

：.BQ=DF,

且由①證明可知，ACQ尸為等腰直角三角形,

???尸P由尸。繞尸點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90。得到，

.?.△CFP為等腰直角三角形，

:.NP=NCQF=45°,ZQFP=Z2CP=90°+45°=135°,

???四邊形CQF尸為平行四邊形，

：.CP=QF,

?：BF=QF+BQ,

：.BF=CP+DF.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平四邊形的判定與性質(zhì)等，熟練掌握圖形的基本性質(zhì),

掌握兒何證明中的常見模型是解題關(guān)鍵.

【例4】已知等邊二A8C,。為邊3C中點(diǎn)，”為邊AC上一點(diǎn)（不與A,C重合），連接。M.

圖1圖2

⑴如圖1,點(diǎn)E是邊4c的中點(diǎn)，當(dāng)M在線段AE上（不與A,E重合）時，將DM繞點(diǎn)。逆時針旋轉(zhuǎn)120。得

到線段。尸，連接B尸.

①依題意補(bǔ)全圖1：

②此時EM與3廠的數(shù)量關(guān)系為：,/DBF=°.

（2）如圖2,若DM=2MC,在邊4?上有一點(diǎn)N,使得ZMW=12（F.直接用等式表示線段BN,ND,CD之

間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【答案】(1)①見解析；②=6尸，120；(2)CD=6N+；ND,證明見解析

【分析】

(1)①根據(jù)提示畫出圖形即可；②連接OE證明AOWE絲△。尸鳥即可得到結(jié)論；

(3)取線段4C中點(diǎn)E，連接石。.由三角形中位線定理得CE=^CA,BD=CD=^BC.根據(jù)

.?.4?。是等邊三角形可證明。石=8。=。。=?！辏?ZCED=ZEDC=ZB=60°,再證明二△aW得

BN=EM,ND=MD=2MC,進(jìn)一步可得結(jié)論.

【詳解】

解：⑴①補(bǔ)全圖形如圖1.

②線段EM與即'的數(shù)量關(guān)系為￡M=8F：ZDBF=120°.

連接DE,

???。為8c.的中點(diǎn)，乜為AC的中點(diǎn)，

JOE為A48C的中脫線，

：.DE=^AB,DE//AB

?J-A8C是等邊三角形，

AB=BC=AC,Z4=ZB=ZC=60°.

???D為8C的中點(diǎn)，

BD=-BC=DE

2

,/DE//AB

/.ZCDE=ZABC=60°,ZCED=ZA=60°

???ZBDE=120°=4BDM+4EDM

,/ZBDM+ZBDF=12()°,DM=DF,

4BDF=4EDM

MDMEWADFB

:?EM=BF；ZDBF=ZDEM.

???ZCW=60°

ZDEM=120°

AZ￡)BF=120°.

故答案為：EM=BF；/DBF=120°.

(2)證明：取線段AC中點(diǎn)E,連接EO.如圖2.

???點(diǎn)。是邊8c的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AC的中點(diǎn)，

ADE=-BACE=-CA,BD=CD=-BC.

22t2

???ABC是等邊三角形，

/.AB=BC=AC,Zfi=ZC=60°.

:.DE=BD=CD=CE,NCED=NEDC=NB=600.

：.ZBDE=120°,

，:ZAOW=12(F,

:.ZEDM=NBDN.

:.AEDMwABDN.

:?BN=EM,ND=MD=2MC,

,:EC=EM+MC,

：.CD=BN+-ND,

2

A

圖2

【點(diǎn)睛】

此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)以及三角形中位線定理，正確作出輔助線構(gòu)

造全等三角形是解答此題的關(guān)鍵.

【例5】如圖1,在RtZXACB中，NAC8=90°,AB=2BC,點(diǎn)、M,尸分別為邊AB,AC的中點(diǎn)，點(diǎn)。在邊

AC上，且CO=24O,點(diǎn)N為CO的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作。后〃AB交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)G為OE的中點(diǎn).將^

OCE繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a,連接MG,FN.

當(dāng)a=°0時,嬴=一5—；直線"G與直線硒相交所成的較小夾角的度數(shù)為

（2）類比探究

當(dāng)0°Va<360°時，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請僅就圖2的情形給出證明；若不成立，請

說明理由.

（3）拓展應(yīng)用

若A8=4,直線MG和直線FN交于點(diǎn)O,在旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)點(diǎn)。與點(diǎn)加重合時，請直接寫出線段印

的長.

【分析】（1）首先證明點(diǎn)C,點(diǎn)G,點(diǎn)M三點(diǎn)共線，由直角三角形的性質(zhì)可求GM=CM-CG=*A8—，）E=

.BDE),直線MG與直線FN相父所成的較小夾角的度數(shù)為30°,由中點(diǎn)的定義可得尸N=R7?NC=

字(AB-函，即可求解；

(2)通過證明△CDAS/XCGM,可得GA/二冬。，由三角形中位線定理可得昨加)，可得結(jié)論，由相

似三角形的性質(zhì)可得NAOC=NMGC,由三角形的內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)可得NfT7G=3O°；

(3)分兩種情況討論，由等腰三角形的性質(zhì)可得NGJ_C。，ZCDG=ZDCG=30°,利用直角三角形的性

質(zhì)可求NG的長，由勾股定理可求MN的長，即可求解.

【解析】(l)：NAC8=90°,AB=2BC,

??sin/G48=而=于

??./CAB=30°,

???AC=V5sc,

YDE//AB,

???/C￡>E=NC48=30°,

：.DE=2CE,CD=V3CE,

如圖I,連接CG,CM,

01

???RtZXOCE中，點(diǎn)G是。E中點(diǎn),

：.CG=DG=GE=^1DE,

???/COE=NOCG=30°,

???RlAACB中，點(diǎn)M是AB中點(diǎn),

:?AM=BM=CM=卻?，

???/C48=NACM=30°,

??./ACM=NDCG,

???點(diǎn)C,點(diǎn)G,點(diǎn)M三點(diǎn)共線，

:.GM=CM-CG=^AB-^DE=-DE),直線MG與直線FN相交所成的較小夾角的度數(shù)為30°,

???點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是。。的中點(diǎn)，

?JC=；AC=孰用C7V=1C7>=5E,

:,FN=FC-NC=M-DE),

.FNW

GM2

故答案為：今，30°；

2

(2)仍然成立，

理由如下：如圖，連接A。，CM,CG,延長MG交NF于H,設(shè)GM與DE交于點(diǎn)、I,

如圖1,":CD=2AD,

：.CD=^AC,

,:DE〃AB,

CDDE2

???—―~~,

ACAB3

：.DE=^AB,

??CG=1OE,CM=

.CG2

??=二,

CM3

.CGCD2

**CM~AC~3

如圖2,VZACM=ZDCG,

:,乙DCA=4DCM,

：?2CDAs4CGM,

CMGM

?t?9

ACAD

?.9=而

:,GM=RAD,

???點(diǎn)N是CO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸是AC的中點(diǎn),

,4漏=5

3

?：XCDAsACGM,

:.^ADC=NMGC,

VZADC+ZDAC+ZDC4=180°,Z.WGC+ZGCF+ZG/C=180°,

:.乙G1C=ZDAC+ZDCG=ZDAC+300,

?:NF"AD,

:?乙DAC=/NFC,

VZG/C=/CFN+4FHG,

：.ZDAC+300=NCFNMFHG,

/.ZF/7G=3O°；

(3)如圖3,當(dāng)點(diǎn)G在線段MN上時，連接40,CG,CM,

圖3

■:CG=DG,DN=CN,

1NGLCD,NCOG=NOCG=30°,

：.BC=2,AC=2\[3,AM=CM=2,

7

^

???CI)=0=￥

???CN=孥,

VZDCG=30°,NG上CD,

:?NC=WNG,

:?NG=*2,

?:MN=>/CM2-CN2

…一2n2

若點(diǎn)N在線段GM上時,

A歷,

?.?M。G=-2—F2

..FNy13

*GM~2'

：.FN=^-GM=yf2+~

綜上所述：線段尸N的長為或一字或式+冬

培優(yōu)訓(xùn)練

1.AACB和△，/)￡：都是等腰直角三角形，ZACB=NDCE=900,將ACDE繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn).

⑴如圖1,當(dāng)點(diǎn)3落在直線OE上時，若AC=26,CE=T06,求鴕的長；

(2