第十六章 虛位移原理課件

第十六章虛位移原理第十六章虛位移原理第十六章虛位移原理2

在第一篇靜力學中，我們從靜力學公理出發(fā)，通過力系的簡化，得出剛體的平衡條件，用來研究剛體及剛體系統(tǒng)的平衡問題。在這一章里，我們將介紹普遍適用于研究任意質點系的平衡問題的一個原理，它從位移和功的概念出發(fā)，得出任意質點系的平衡條件。該原理叫做虛位移原理。它是研究平衡問題的最一般的原理，不僅如此，將它與達朗伯原理相結合，就可得到一個解答動力學問題的動力學普遍方程。動力學第十六章虛位移原理3§16–1約束及其分類

§16–2自由度廣義坐標

§16–3虛位移和虛功

§16–4理想約束

§16–5虛位移原理第十六章虛位移原理第十六章虛位移原理4

§16-1約束及其分類動力學

一、約束及約束方程

限制質點或質點系運動的各種條件稱為約束。將約束的限制條件以數學方程來表示，則稱為約束方程。

平面單擺例如：曲柄連桿機構第十六章虛位移原理5動力學

根據約束的形式和性質，可將約束劃分為不同的類型，通常按如下分類：二、約束的分類1、幾何約束和運動約束

限制質點或質點系在空間幾何位置的條件稱為幾何約束。如前述的平面單擺和曲柄連桿機構例子中的限制條件都是幾何約束。

當約束對質點或質點系的運動情況進行限制時，這種約束條件稱為運動約束。例如：車輪沿直線軌道作純滾動時。第十六章虛位移原理6動力學幾何約束：運動約束：

當約束條件與時間有關，并隨時間變化時稱為非定常約束。約束條件不隨時間改變的約束為定常約束。前面的例子中約束條件皆不隨時間變化，它們都是定常約束。2、定常約束和非定常約束例如：重物M由一條穿過固定圓環(huán)的細繩系住。初始時擺長

l0,勻速v拉動繩子。x2+y2=(l0-vt)2

約束方程中顯含時間

t第十六章虛位移原理7動力學

如果在約束方程中含有坐標對時間的導數（例如運動約束）而且方程中的這些導數不能經過積分運算消除，即約束方程中含有的坐標導數項不是某一函數全微分，從而不能將約束方程積分為有限形式，這類約束稱為非完整約束。一般地，非完整約束方程只能以微分形式表達。3、完整約束和非完整約束

如果約束方程中不含有坐標對時間的導數，或者約束方程中雖有坐標對時間的導數，但這些導數可以經過積分運算化為有限形式，則這類約束稱為完整約束。第十六章虛位移原理8

在兩個相對的方向上同時對質點或質點系進行運動限制的約束稱為雙面約束。只能限制質點或質點系單一方向運動的約束稱為單面約束。動力學

例如：車輪沿直線軌道作純滾動，是微分方程，但經過積分可得到（常數），該約束仍為完整約束。

4、單面約束和雙面約束

幾何約束必定是完整約束，但完整約束未必是幾何約束。非完整約束一定是運動約束，但運動約束未必是非完整約束。剛桿x2+y2=l2l繩x2+y2

l2l第十六章虛位移原理9動力學

雙面約束的約束方程為等式，單面約束的約束方程為不等式。

我們只討論質點或質點系受定常、雙面、完整約束的情況，其約束方程的一般形式為（s為質點系所受的約束數目，n為質點系的質點個數）第十六章虛位移原理10動力學

§16-2自由度廣義坐標

一個自由質點在空間的位置：（

x,y,z)3個一個自由質點系在空間的位置：(xi

,yi

,

zi)(i=1,2……n)3n個對一個非自由質點系，受s個完整約束，（3n-s)個獨立坐標。其自由度為

k=3n-s。

確定一個受完整約束的質點系的位置所需的獨立坐標的數目，稱為該質點系的自由度的數目，簡稱為自由度。

例如,前述曲柄連桿機構例子中,確定曲柄連桿機構位置的四個坐標xA、yA、xB、yB須滿足三個約束方程,因此有一個自由度。第十六章虛位移原理11動力學一般地，受到s個約束的、由n個質點組成的質點系，其自由度為

通常，n與s很大而k很小。為了確定質點系的位置，用適當選擇的k個參數（相互獨立），要比用3n個直角坐標和s個約束方程方便得多。用來確定質點系位置的獨立參數，稱為廣義坐標。廣義坐標的選擇不是唯一的。廣義坐標可以取線位移（x,y,z,s

等）也可以取角位移（如

,

,

,

等）。在完整約束情況下，廣義坐標的數目就等于自由度數目。第十六章虛位移原理12動力學例如：曲柄連桿機構中，可取曲柄OA的轉角

為廣義坐標，則：

廣義坐標選定后，質點系中每一質點的直角坐標都可表示為廣義坐標的函數。第十六章虛位移原理13動力學

例如：雙錘擺。設只在鉛直平面內擺動。兩個自由度取廣義坐標

，

第十六章虛位移原理14動力學

一般地，設有由n個質點組成的質點系，具有k個自由度，取q1、q2、……、qk為其廣義坐標，質點系內各質點的坐標及矢徑可表為廣義坐標的函數。第十六章虛位移原理15動力學§16-3虛位移和虛功

在質點系運動過程的某瞬時，質點系中的質點發(fā)生的為約束允許的任意的無限小位移，稱為質點系（在該瞬時）的虛位移。

虛位移可以是線位移，也可以是角位移。通常用變分符號

表示虛位移。M第十六章虛位移原理16動力學

虛位移與真正運動時發(fā)生的實位移不同。實位移是在一定的力作用下和給定的初條件下運動而實際發(fā)生的；虛位移是在約束容許的條件下可能發(fā)生的。實位移具有確定的方向，可能是微小值，也可能是有限值；虛位移則是微小位移，視約束情況可能有幾種不同的方向。實位移是在一定的時間內發(fā)生的；虛位移只是純幾何的概念，完全與時間無關。

在定常約束下，微小的實位移必然是虛位移之一。而在非定常約束下，微小實位移不再是虛位移之一。第十六章虛位移原理17動力學

質點系中各質點的虛位移之間存在著一定的關系,確定這些關系通常有兩種方法：(一)幾何法。由運動學知，質點的位移與速度成正比，即因此可以用分析速度的方法分析各點虛位移之間的關系。第十六章虛位移原理18動力學

(二)解析法。質點系中各質點的坐標可表示為廣義坐標的函數（q1,q2,……,qk），廣義坐標分別有變分，各質點的虛位移在直角坐標上的投影可以表示為第十六章虛位移原理19動力學[例1]

分析圖示機構在圖示位置時，點C、A與B的虛位移。

(已知OC=BC=a，OA=l)解：此為一個自由度系統(tǒng)，取OA桿與x軸夾角

為廣義坐標。1、幾何法第十六章虛位移原理20動力學將C、A、B點的坐標表示成廣義坐標

的函數，得2、解析法對廣義坐標

求變分，得各點虛位移在相應坐標軸上的投影：第十六章虛位移原理21動力學力在質點發(fā)生的虛位移上所作的功稱為虛功，記為。第十六章虛位移原理22動力學§16-4理想約束

如果在質點系的任何虛位移上，質點系的所有約束反力的虛功之和等于零，則稱這種約束為理想約束。

質點系受有理想約束的條件：第十六章虛位移原理23動力學理想約束的典型例子如下：1、光滑支承面2、光滑鉸鏈3、無重剛桿4、不可伸長的柔索5、剛體在粗糙面上的純滾動第十六章虛位移原理24動力學§16-5虛位移原理

一、虛位移原理具有定常、理想約束的質點系，平衡的必要與充分條件是：作用于質點系的所有主動力在任何虛位移上所作的虛功之和等于零。即解析式：第十六章虛位移原理25動力學

證明：(1)必要性：即質點系處于平衡時，必有∵質點系處于平衡∴選取任一質點Mi也平衡。對質點Mi的任一虛位移，有由于是理想約束所以對整個質點系：第十六章虛位移原理26動力學(2)充分性：即當質點系滿足，質點系一定平衡。若，而質點系不平衡，則至少有第i個質點不平衡。

在方向上產生實位移，取，則對質點系：(理想約束下，)與前題條件矛盾故時質點系必處于平衡。第十六章虛位移原理27動力學

二、虛位移原理的應用1、系統(tǒng)在給定位置平衡時，求主動力之間的關系；2、求系統(tǒng)在已知主動力作用下的平衡位置；3、求系統(tǒng)在已知主動力作用下平衡時的約束反力；4、求平衡構架內二力桿的內力。第十六章虛位移原理28動力學例1

圖示橢圓規(guī)機構，連桿AB長l，桿重和滑道摩擦不計，鉸鏈為光滑的，求在圖示位置平衡時，主動力大小P和Q之間的關系。解：研究整個機構。系統(tǒng)的所有約束都是完整、定常、理想的。第十六章虛位移原理29動力學1、幾何法：使A發(fā)生虛位移，B的虛位移