高中數(shù)學(xué)方法技巧專題下冊(cè)學(xué)生版

目錄專題15 空間幾何體外接球和內(nèi)切球 3一、空間幾何外接球和內(nèi)切球知識(shí)框架 3二、求外接球半徑常用方法 3三、常見(jiàn)空間幾何體外接球 5四、空間幾何內(nèi)切球 13五、球與幾何體各棱相切 15專題16 立體幾何中平行與垂直證明 18一、立體幾何中平行與垂直知識(shí)框架 18二、立體幾何中的向量方法 20專題17 立體幾何中的向量方法 30一、立體幾何中的向量方法知識(shí)框架 30二、立體幾何中的向量方法 30專題18 直線與圓問(wèn)題 44一、直線與圓知識(shí)框架 44二、直線與圓的方程問(wèn)題 44專題19 圓錐曲線的概念及其幾何性質(zhì) 52一、圓錐曲線的概念及其幾何性質(zhì)知識(shí)框架 52二、圓錐曲線的定義、方程 52三、圓錐曲線的幾何性質(zhì) 57專題20 軌跡方程問(wèn)題 68一、軌跡方程問(wèn)題知識(shí)框架 68二、求軌跡方程的常用方法 69三、阿波羅尼斯圓及其應(yīng)用 75專題21 直線與圓錐曲線 78一、知識(shí)框架 78二、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系 78三、直線與圓錐曲線中的弦長(zhǎng)與面積問(wèn)題 80專題22：圓錐曲線中的垂徑定理 90一、知識(shí)框架 90二、概念及相關(guān)典型例題 90三、自我素養(yǎng)養(yǎng)成練習(xí)與思考 95專題23 圓錐曲線的綜合問(wèn)題 98【一】定點(diǎn)問(wèn)題 98【二】定值問(wèn)題 99【三】定線問(wèn)題 101【四】圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題 102【五】圓錐曲線中的存在性問(wèn)題 105專題24排列組合與二項(xiàng)式定理 109一、排列組合與二項(xiàng)式定理知識(shí)框架 109二、與排列相關(guān)的常見(jiàn)問(wèn)題 109三、與組合相關(guān)的常見(jiàn)問(wèn)題 114四、排列與組合綜合問(wèn)題 119五、二項(xiàng)式定理 120專題25 概率與離散型隨機(jī)變量的分布列及期望 128一、概率與離散型隨機(jī)變量的分布列及期望知識(shí)框架 128二、求隨機(jī)變量的概率的方法 128三、兩個(gè)特殊離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望 134四、概率與其他知識(shí)的交匯 138專題26 期望、方差及正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 148一、期望、方差及正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)框架 148二、期望與方差的實(shí)際應(yīng)用 148三、正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用 153專題27 統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用 164一、統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用知識(shí)框架 164二、統(tǒng)計(jì)圖表的應(yīng)用題型分析 165專題28回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn) 176一、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)知識(shí)框架 176二、回歸分析與獨(dú)立性檢驗(yàn)題型分析 177專題15 空間幾何體外接球和內(nèi)切球一、空間幾何外接球和內(nèi)切球知識(shí)框架二、求外接球半徑常用方法【一】高過(guò)外心空間幾何體（以PABCD為例）的高過(guò)底面的外心（即頂點(diǎn)的投影在底面外心上）：（1）先求底面ABCD的外接圓半徑r，確定底面ABCD外接圓圓心位置O;（2）把O垂直上移到點(diǎn)O，使得點(diǎn)O到頂點(diǎn)P的距離等于到A、B、C、D的距離相等，此時(shí)點(diǎn)O是幾何體外接球球心；（3）連接OA，那么ROA,由勾股定理得：R2r2OO2.1.例題PABCDOPAAB2O【例1】已知正四棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為（）A．2B．4C．8D．162.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】在三棱錐PABC中.PAPBPC2.ABAC1，BC3，則該三棱錐的外接球的表面積為（ ）16432A．8B．C．D．33327【二】高不過(guò)外心高不過(guò)心—頂點(diǎn)的投影不在底面外心上，以側(cè)棱垂直于底面為例：題設(shè)：已知四棱錐PABCD，PA底面ABCD（1）先求底面ABCD的外接圓半徑r，確定底面ABCD外接圓圓心位置O;（2）把OOOO1PAO垂直上移到點(diǎn)，使得，此時(shí)點(diǎn)是幾何體外接球球心；OAROAR2r2OO2r2PA2（3）連接，那么,由勾股定理得：）.（21.例題1【例1】（1）長(zhǎng)方體111的8個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，且，，1，則．（2）已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，外接球表面積為16，則正三棱柱ABCA1B1C1的體積為（）33933C.93A.B.3D.4242（3）已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五個(gè)點(diǎn)，四邊形ABCD為梯形，AD//BC，ABDCAD2，BCPA4，PA面ABCD，則球O的體積為（）641622C．16D．16A．B．2332.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，AA1BC2,BAC4，則三棱柱ABCA1B1C1外接球的體積為（）A．12B．8C．6D．43333【練習(xí)2】四棱錐PABCD的底面為正方形ABCD，PA底面ABCD，AB2，若該四棱錐的所有9頂點(diǎn)都在體積為2的同一球面上，則PA的長(zhǎng)為（）A．3B．2C．1D．12【練習(xí)3】四棱錐ABCDE的各頂點(diǎn)都在同一球面上，AB底面BCDE，底面BCDE為梯形，BCD60，且AB＝CB＝BE＝ED＝2，則此球的表面積等于（）A．25B．24C．20D．16三、常見(jiàn)空間幾何體外接球【一】長(zhǎng)（正）方體外接球1、長(zhǎng)方體或正方體的外接球的球心：體對(duì)角線的中點(diǎn)；2、正方體的外接球半徑：R23a（a為正方體棱長(zhǎng)）；a2b2c2a,b,cR21.例題【例1】若一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，2的長(zhǎng)方體的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，則此球的表面積為_(kāi)_______【例2】已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為_(kāi)______2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是________.【練習(xí)2】棱長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的8個(gè)頂點(diǎn)都在球O的表面上，E，F(xiàn)分別是棱AA1，DD1的中點(diǎn)，則直線EF被球O截得的線段長(zhǎng)為（）2B．1C．12A．D．222【二】棱柱的外接球直棱柱外接球的求法—漢堡模型補(bǔ)型：補(bǔ)成長(zhǎng)方體，若各個(gè)頂點(diǎn)在長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)上，則外接球與長(zhǎng)方體相同作圖：構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理1）第一步：求底面外接圓的半徑：r1a（a為角A的對(duì)邊）；2sinA2）第二步：由勾股定理得外接球半徑：Rr2(h2)2（h為直棱柱側(cè)棱高度）?⊥=3=4=51.例題1111【例1】直三棱柱中，已知，，，，若三棱柱的所有頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_(kāi)_________．23，則此三棱柱的外接球的表面積為（【例2】直三棱柱ABCAB1C1的所有棱長(zhǎng)均為）2.C．A．B．1D．鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】設(shè)直三棱柱ABCA1B1C1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，且球的表面積是40，ABACAA，BAC120o，則此直三棱柱的高是________.1【三】棱錐的外接類型一：正棱錐型（如下圖1，以正三棱錐為例，頂點(diǎn)P的投影落在ABC的外心上）1)求底面外接圓半徑：r1a（a為角A的對(duì)邊）；2sinA求出AH23r，求出棱錐高度hPHPA2AH2;由勾股定理得外接球半徑:ROH2AH2hR2(23r)2.圖1 圖2類型二：側(cè)棱垂直底面型（如上圖2）1）求底面外接圓半徑：rHD1a（a為角A的對(duì)邊）；2）棱錐高度hPA;Rr2h23）由勾股定理得外接球半徑:）.（類型三：側(cè)面垂直于底面切瓜模型類型四：棱長(zhǎng)即為直徑（兩個(gè)直角三角形的斜邊為同一邊，則該邊為球的直徑）題設(shè)：APBAQB2,且面ABP面ABQAB則外接球半徑：R 2類型五：折疊模型1.例題【例1】已知正四棱錐PABCD的各頂點(diǎn)都在同一球面上，底面正方形的邊長(zhǎng)為2，若該正四棱錐的體積為2，則此球的體積為（）A.124B.625C.500D.256381819【例2】在三棱錐PABC中， AP2，AB33，PA面ABC，且在三角形ABC中，有ccosB2abcosC，則該三棱錐外接球的表面積為（）【例3】已知如圖所示的三棱錐DABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面相互垂直，AB3，AC3，BCCDBD23，則球O的表面積為()A．4B．12C．16D．36【例4】三棱錐PABC的底面是等腰三角形，C120，側(cè)面PAB是等邊三角形且與底面ABC垂直，AC2，則該三棱錐的外接球表面積為()A．12B．20C．32D．100【例5】在四面體ABCD中，AB2，DADBCACB1，則四面體ABCD的外接球的表面積為( )A． B．2 C．3 D．4【例6】已知三棱錐PABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，PC是球O的直徑．若平面PCA平面PCB，PAAC，PBBC，三棱錐PABC的體積為a，則球O的體積為()A．2aB．4aC．2aD．4a33【例7】在三棱錐A﹣BCD中，△ABD與△CBD均為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，且二面角ABDC的平面角為120°，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A．7πB．8πC．16D．28332.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知正四棱錐PABCD的各條棱長(zhǎng)均為2，則其外接球的表面積為( )A. 4π B. 6π C. 8π D.16π【練習(xí)2】如圖，正三棱錐DABC的四個(gè)頂點(diǎn)均在球O的球面上，底面正三角形的邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱長(zhǎng)為23，則球O的表面積是( )A．4B．32C．16D．363【練習(xí)3】已知幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的表面積為（）A.214B.127C.115D.1243333【練習(xí)4】已知三棱錐S－ABC中，SA平面ABC，且ACB30，AC2AB23.SA1.則該三棱錐的外接球的體積為()13D.13B.13π1313A.13C.866【練習(xí)5】已知四棱錐?的三視圖如圖所示，則四棱錐?外接球的表面積是（）A.205C.25D.22B.101【練習(xí)6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年，其中有很多對(duì)幾何體外接球的研究，如下圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的外接球的表面積是（ ）A.81B.33C.56D.41則此球的表面積為（）2，各側(cè)面均為直角三角形的正三棱錐?的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，A.3B.2C.4D.4【練習(xí)8】（2020·南昌市八一中學(xué)）如圖所示，三棱錐S一ABC中，△ABC與△SBC都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，二面角A﹣BC﹣S的大小為2，若S，A，B，C四點(diǎn)都在球O的表面上，則球O的表面積為（）3A．7πB．13πC．4πD．3π333【練習(xí)9】四面體SABC中，ACBC，SA平面ABC，SA6，AC7，BC3，則該四面體外接球的表面積為（）A．32B．16C．D．323316【四】墻角型題設(shè)：墻角型（三條線兩兩垂直）方法：找到3條兩兩互相垂直的線段途徑1：正四面體、三條側(cè)棱兩兩垂直的正三棱錐、四個(gè)面都是是直角三角形的三棱錐都分別可構(gòu)造正方體．途徑2：同一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對(duì)的棱相等的三棱錐都分別可構(gòu)造長(zhǎng)方體和正方體．途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關(guān)系，則可將棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體．途徑4：若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，則可將三棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體．墻角型外接球半徑：Ra2b2c2（a,b,c分別是長(zhǎng)方體同一頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)度）21.例題【例1】某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的外接球的體積是（）23C．3D．4A．B．332⊥===2的四個(gè)頂點(diǎn)都在球【例2】已知四面體的四個(gè)面都為直角三角形，且平面，，若該四面體3的表面上，則球的表面積為（3）12A．B．234C．D．四、空間幾何內(nèi)切球1.例題【例1】正三棱錐的高為1，底面邊長(zhǎng)為26，正三棱錐內(nèi)有一個(gè)球與其四個(gè)面相切．求球的表面積與體積．【例2】若三棱錐ABCD中，ABCD6，其余各棱長(zhǎng)均為5，則三棱錐內(nèi)切球的表面積為 ．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，三視圖都為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，則該幾何體的外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為( )333B．3313A．3C．D．222【練習(xí)2】球內(nèi)切于圓柱，則此圓柱的全面積與球表面積之比是()A．1:1 B．2:1 C．3:2 D．4:3五、球與幾何體各棱相切球與幾何體的各條棱相切問(wèn)題，關(guān)鍵要抓住棱與球相切的幾何性質(zhì)，達(dá)到明確球心的位置為目的，然后通過(guò)構(gòu)造直角三角形進(jìn)行轉(zhuǎn)換和求解1.例題【例1】已知一個(gè)全面積為24的正方體，有一個(gè)與每條棱都相切的球，此球的半徑為2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】把一個(gè)皮球放入如圖所示的由8根長(zhǎng)均為20cm的鐵絲接成的四棱錐形骨架內(nèi)，使皮球的表面與8根鐵絲都有接觸點(diǎn)，則皮球的半徑為（）A.103cm B.10cm C.102cm D.30cm六、課后自我檢測(cè)1．已知三棱錐SABC的各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，球心O在AB上，SO底面ABC，球的體積與三棱錐體積之比是4，AC2，則該球的表面積等于（）A．B．2C．3D．42．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，已知其俯視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的體積是（ ）19221922A．57B．66C．D．3354543．《九章算術(shù)》中將底面為長(zhǎng)方形，且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”現(xiàn)有一陽(yáng)馬，其正視圖和側(cè)視圖是如圖所示的直角三角形.若該陽(yáng)馬的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）A．B．C．D．)圖，邊長(zhǎng)為的正方形中，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，將，，分別沿，折起，使得、、三點(diǎn)重合于點(diǎn)，若四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為(556811A．B．C．D．．某簡(jiǎn)單幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的所有頂點(diǎn)都在球的球面上，則球的表面積是：（）6．8?1231248=43C．A．B．D．已知三棱錐的底面的頂點(diǎn)都在球的表面上，且，，，且三棱的體積為，則球的體積為（）A．323B．643C．1283D．25637．我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一些數(shù)學(xué)用語(yǔ)，“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱.現(xiàn)有一如圖所示的塹堵，ACBC，若A1AAB2，則塹堵ABCA1B1C1的外接球的體積為（ ）A．16C．8D．42B．823338．一個(gè)各面均為直角三角形的四面體有三條棱長(zhǎng)為2，則該四面體外接球的表面積為（）A．6πB．12πC．32πD．48π9．已知在三棱錐PABC中，PAPBBC1，AB2，ABBC，平面PAB平面ABC，若三棱錐的頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為（ ）A．3B．2C．2D．32310．已知三棱錐DABC的體積為6，在ABC中，AB2，AC4，BAC60，且三棱錐DABC的外接球的球心O恰好是AD的中點(diǎn)，則球O的表面積等于（）A．32B．64C．43D．423311．已知三棱錐SABC各頂點(diǎn)均在球O上，SB為球O的直徑，若ABBC2，ABC23，三棱錐SABC的體積為4，則球O的表面積為（）A．120B．64C．32D．1612．在三棱錐ABCD中，BCBD，ABADBD43，BC6，平面ABD平面BCD，則三棱錐ABCD的外接球體積為()A．36B．256C．500D．2883313．已知一圓錐的底面直徑與母線長(zhǎng)相等，一球體與該圓錐的所有母線和底面都相切，則球與圓錐的表面積之比為（）2428A．B．C．6D．9273914．體積為4π的球與正三棱柱的所有面均相切，則該棱柱的體積為_(kāi)_______.315．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，PD⊥面ABCD，且PD＝1，若在這個(gè)四棱錐內(nèi)有一個(gè)球，則此球的最大表面積為_(kāi)_______．16．《九章算術(shù)》中將底面是直角三角形、側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱之為“塹堵”，現(xiàn)有一“塹堵”型石材，其底面三邊長(zhǎng)分別為3,4,5，若此石材恰好可以加工成一個(gè)最大的球體，則其高為( )A．4 B．3 C．2 D．117．在封閉的直三棱柱ABC－A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，則V的最大值是()9π32πA.4πB.C.6πD.23專題16 立體幾何中平行與垂直證明一、立體幾何中平行與垂直知識(shí)框架二、立體幾何中的向量方法【一】“平行關(guān)系”常見(jiàn)證明方法1.1直線與直線平行的證明1.1.1利用某些平面圖形的特性：如平行四邊形的對(duì)邊互相平行等1.1.2利用三角形中位線性質(zhì)1.1.3利用空間平行線的傳遞性（即公理4）：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.4利用直線與平面平行的性質(zhì)定理：

a∥ca∥bb∥c如果一條直線與一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。β aα b1.1.5利用平面與平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．//aa//bb1.1.6利用直線與平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線互相平行。abaa∥bb1.1.7利用平面內(nèi)直線與直線垂直的性質(zhì)：在同一個(gè)平面內(nèi)，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。1.1.8利用定義：在同一個(gè)平面內(nèi)且兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)1.2直線與平面平行的證明1.2.1利用直線與平面平行的判定定理：平面外的一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。aaba∥a∥bb1.2.2利用平面與平面平行的性質(zhì)推論：兩個(gè)平面互相平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線平行于另一個(gè)平面。aa∥∥

αβ

a1.2.3利用定義：直線在平面外，且直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)1.3平面與平面平行的證明1.3.1利用平面與平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。a?bab?Pa∩bP?//a//b//1.3.2利用某些空間幾何體的特性：如正方體的上下底面互相平行等1.3.3利用定義：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)1.例題【例1】如圖，已知菱形ABCD，其邊長(zhǎng)為2，BAD60，ABD繞著B(niǎo)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120得到PBD，M是PC的中點(diǎn)．（1）求證：PA//平面MBD；（2）求直線AD與平面PBD所成角的正弦值．【例2】已知四棱錐P-ABCD，底面ABCD是A60、邊長(zhǎng)為a的菱形，又PD底ABCD，且PD=CD，點(diǎn)M、N分別是棱AD、PC的中點(diǎn)．【例3】如圖，已知點(diǎn)P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是PA，BD上的點(diǎn)且PE∶EABF∶FD，求證：EF//平面PBC．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，在六面體ABCDEFG中，平面ABC∥平面DEFG，AD⊥平面DEFG，ABAC,EDDG,EF∥DG,且ABADDEDG2,ACEF1．求證： BF∥平面ACGD；A CBD GF【練習(xí)2】如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱BC，CC1，C1D1，AA1的中點(diǎn)．求證：（1）EG∥平面BB1D1D；（2）平面BDF∥平面B1D1H．【練習(xí)3】在如圖所示的五面體ABCDEF中，四邊形ABCD為菱形，且DAB60， EF//平面ABCD， EAEDAB2EF2， M為BC中點(diǎn).求證： FM//平面BDE.【二】“垂直關(guān)系”常見(jiàn)證明方法2.1直線與直線垂直的證明2.1.1利用某些平面圖形的特性：如直角三角形的兩條直角邊互相垂直,等邊、等腰三角形（中線即高線），正方形、矩形鄰邊垂直，正方形菱形對(duì)角線垂直等。2.1.2看夾角：兩條共（異）面直線的夾角為90°，則兩直線互相垂直。2.1.3利用直線與平面垂直的性質(zhì)：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，則這條直線垂直于此平面內(nèi)的所有直線。ababbaα2.1.4利用平面與平面垂直的性質(zhì)推論：如果兩個(gè)平面互相垂直，在這兩個(gè)平面內(nèi)分別作垂直于交線的直線，則這兩條直線互相垂直。lab

ab

βbalbl

lα a2.1.5利用常用結(jié)論：如果兩條直線互相平行，且其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三條直線。caba∥bcacb如果有一條直線垂直于一個(gè)平面，另一條直線平行于此平面，那么這兩條直線互相垂直。aabbαab∥2.2直線與平面垂直的證明2.2.1利用某些空間幾何體的特性：如長(zhǎng)方體側(cè)棱垂直于底面等2.2.2看直線與平面所成的角：如果直線與平面所成的角是直角，則這條直線垂直于此平面。2.2.3利用直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線垂直于此平面。albblabAaAlalb2.2.4利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。alaalal2.2.5利用常用結(jié)論：一條直線平行于一個(gè)平面的一條垂線，則該直線也垂直于此平面。a∥baabb兩個(gè)平面平行，一直線垂直于其中一個(gè)平面，則該直線也垂直于另一個(gè)平面。∥aaa2.3平面與平面垂直的證明2.3.1利用某些空間幾何體的特性：如長(zhǎng)方體側(cè)面垂直于底面等2.3.2看二面角：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角（即平面角是直角的二面角），就說(shuō)這連個(gè)平面互相垂直。2.3.3利用平面與平面垂直的判定定理一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。a

aa1.例題【例1】如圖,四邊形ABCD為矩形，CF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，AB=4a，BC=CF=2a，P為AB的中點(diǎn).求證：平面PCF⊥平面PDE.FEDCA P B【例2】如圖，在四棱錐PABCD中，ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD1,AB3，F(xiàn)是PD的中點(diǎn)，點(diǎn)E在CD上移動(dòng)。求證：PEAF。PFADEB C【例3】如圖，在四邊形ABCD中，ABAD4，BCCD7，點(diǎn)E為線段AD上的一點(diǎn).現(xiàn)將DCE沿線段EC翻折到PAC，使得平面PAC平面ABCE，連接PA，PB.證明：BD平面PAC.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，四棱錐S-ABCD的底面是矩形，SA底面ABCD，P為BC邊的中點(diǎn)，SB與平面ABCD所成的角為45，且AD=2，SA=1。求證：PD平面SAP；【練習(xí)2】如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)棱AA1底面ABC，M為棱AC的中點(diǎn)．AB=BC，AC=2，AA1=2．（1）求證：B1C∥平面A1BM；（2）求證：AC1平面A1BM；【練習(xí)3】如圖，四棱錐PABCD中，ABAD2BC2，BC∥AD，ABAD，△PBD為正三角形．PA23．證明：平面PAB平面PBC．三、課后自我檢測(cè)1．如圖，四邊形ABCD為正方形，EA平面ABCD，EF∥AB，AB4，AE2，EF1．（1）求證：BCAF；（2）若點(diǎn)M在線段AC上，且滿足CM14CA，求證：EM∥平面FBC；（3）求證：AF平面EBC．2．直三棱柱ABCA1B1C1中，AB5， AC3， BC4，點(diǎn)D是線段AB上的動(dòng)點(diǎn).（1）當(dāng)點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，求證： AC1//平面B1CD；（2）線段AB上是否存在點(diǎn)D，使得平面ABB1A1平面CDB1？若存在，試求出AD的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.3.如圖，ABC為等邊三角形， EA平面ABC， EA//DC， EA2DC， F為EB的中點(diǎn).（Ⅰ）求證： DF//平面ABC；（Ⅱ）求證：平面BDE平面AEB.4.已知平面四邊形PABC中，PACPCA中，BAC90，現(xiàn)沿AC進(jìn)行翻折，得到三棱錐PABC，點(diǎn)D，E分別是線段BC，AC上的點(diǎn)，且DE//平面PAB.求證：（1）直線AB//平面PDE；（2）當(dāng)D是BC中點(diǎn)時(shí)，求證：平面ABC平面PDE.ABC平面SDE.專題17 立體幾何中的向量方法一、立體幾何中的向量方法知識(shí)框架二、立體幾何中的向量方法【一】證明平行問(wèn)題設(shè)兩條不重合的直線l，m的方向向量分別為a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，線線平行則l∥m?a∥b?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)設(shè)l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，線面平行則l∥α?a·u＝0?a1a2＋b1b2＋c1c2＝0面面平行

設(shè)α，β的法向量分別為u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，則α∥β?u∥v?(a1，b1，c1)＝k(a2，b2，c2)1.例題【例1】如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1和BB1的中點(diǎn)．求證：四邊形AEC1F是平行四邊形．【例2】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)．求證：MN∥平面A1BD．【例3】在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，B1C1的中點(diǎn)，試證明平面A1BD∥平面CB1D1.【例4】如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB//CD，ABBC，AB2CD2BC，EAEB.(1)求證：ABDE；(2)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值；EF(3)線段EA上是否存在點(diǎn)F，使EC//平面FBD?若存在，求出EA；若不存在，說(shuō)明理由．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是面對(duì)角線B1D1，A1B上的點(diǎn)，且D1E＝2EB1，BF＝2FA1.求證：EF∥AC1.【練習(xí)2】在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點(diǎn)，求證：AB∥平面DEG.【練習(xí)3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)．設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ∥平面PAO?【二】證明垂直問(wèn)題空間中垂直關(guān)系的向量表示線線設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，垂直b3)，則l⊥m?a·b＝0?a1b1＋a2b＋a3b＝0線面設(shè)直線l的方向向量是a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是u＝(a2，b2，c2)，垂直則l⊥α?a∥u?a＝ku?(a1，b1，c1)＝k(a，b，c2)(k∈R)面面若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，則α垂直⊥β?u⊥v?u·v＝0?a1a2＋b1b2＋cc＝0注：若一個(gè)平面內(nèi)一條直線的方向向量與另一個(gè)平面的法向量共線，則這兩個(gè)平面垂直。1.例題【例1】如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，BAC30，BC1，AA16，M是棱CC1的中點(diǎn)，求證：A1BAM.【例2】如圖所示，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都為2，D為CC1的中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD．【例3】如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，BB1＝1，E為BB1的中點(diǎn)，證明：平面AEC1⊥平面AA1C1C．【例4】如圖，在三棱錐ABCD中，AB平面BCD，底面BCD是以BD為斜邊的等腰直角三角形，ABBD，E是線段AC上一點(diǎn)．（1）若E為AC的中點(diǎn)，求直線AC與平面BDE所成角的正弦值．（2）是否存在點(diǎn)E，使得平面BDE平面ADC？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)E的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是線段EF的中點(diǎn)．求證：AM⊥平面BDF.【練習(xí)2】如圖所示，△ABC是一個(gè)正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD．求證：平面DEA⊥平面ECA．【三】利用空間向量求空間角角的分類向量求法范圍設(shè)l1與l2的方向向量為a，b，則π兩異面直線l1與l2所成的角θ|a·b|0，2cosθ＝|cos<a，b>|＝|a||b|設(shè)l的方向向量為a，平面α的法向量為n，則π直線l與平面α所成的角θ|a·n|0，2sinθ＝|cos<a，n>|＝|a||n|設(shè)平面α，β的法向量為n1，n2，則二面角α-l-β的平面角θ|cosθ|＝|cos<n1，n2>|＝|n1·n2|[0，π]|n1|·|n2|注：(1)線面所稱角θ，當(dāng)<a，n>[0,2]時(shí)，θ=2<a，n>；當(dāng)<a，n>(2,]時(shí)，θ=<a，n>2（2）條件圖形

平面α，β的法向量分別為u，υ，α，β所構(gòu)成的二面角的大小為θ，〈u，υ〉＝φ，關(guān)系θ＝φθ＝π－φ計(jì)算cosθ＝cosφcosθ＝－cosφ1.例題【例1】如圖，在三棱柱OAB-O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝3，求異面直線A1B與AO1所成角的余弦值的大?。纠?】如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM＝2MD，N為PC的中點(diǎn)．(1)證明MN∥平面PAB；(2)求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【例3】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)證明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值.【例4】如圖，在四棱錐SABCD中，四邊形ABCD是矩形，SAD是等邊三角形，平面SAD平面ABCD，AB1，E為棱SA上一點(diǎn)，P為AD的中點(diǎn)，四棱錐SABCD的體積為233.（1）若E為棱SA的中點(diǎn)，F(xiàn)是SB的中點(diǎn)，求證：平面PEF∥平面SCD；（2）是否存在點(diǎn)E，使得平面PEB與平面SAD所成的銳二面角的余弦值為1030？若存在，確定點(diǎn)E的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知四棱錐S-ABCD的底面是正方形且側(cè)棱長(zhǎng)與底面邊長(zhǎng)都相等，E是SB的中點(diǎn)，則AE，SD所成的角的余弦值為多少？【練習(xí)2】如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝5.(1)求證：PD⊥平面PAB．(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求AMAP的值；若不存在，說(shuō)明理由．【練習(xí)3】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形ABCD(及其內(nèi)部)以AB邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)120°︵得到的，G是DF的中點(diǎn)．︵(1)設(shè)P是CE上的一點(diǎn)，且AP⊥BE，求∠CBP的大??；(2)當(dāng)AB＝3，AD＝2時(shí)，求二面角E-AG-C的大?。揪毩?xí)4】如圖，在三棱錐P-ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點(diǎn)，AQ＝2BD，PD與EQ交于點(diǎn)G，PC與FQ交于點(diǎn)H，連接GH.(1)求證：AB∥GH；(2)求二面角D-GH-E的余弦值．【四】利用空間向量求距離點(diǎn)到平面的距離：先確定平面的法向量，再求點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的連線形成的斜線段在平面的法向量上的射影長(zhǎng)．如圖，n＝(a，b，c)是平面α的一個(gè)法向量，P0(x0，y0，z0)為α外一點(diǎn)，P(x，y，z)是平面α內(nèi)的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P0到平面α的距離：→|ax0－x＋by0－y＋cz0－z|d＝|PP0·n|＝.|n|a2＋b2＋c2注：線面距離、面面距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離.1.例題【例1】已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)，G分別是C1C，D1A1，AB的中點(diǎn)，求點(diǎn)A到平面EFG的距離．【例2】在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，則BD到平面EFD1B1的距離為_(kāi)_______.【例3】在棱長(zhǎng)為的正方體ABCDABCD中，則平面ABC與平面ACD之間的距離為()111111112A．3B．3C．3D．363322.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD,PAAD4，AB2,M是PD中點(diǎn).（I）求直線CD與平面ACM所成的角的正弦值；（II）求點(diǎn)P到平面ACM的距離．【練習(xí)2】如圖所示，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為BB1，CC1的中點(diǎn)，DG＝13DD1，過(guò)E，F(xiàn)，G的平面交AA1于點(diǎn)H，求D1A1到平面EFGH的距離．【練習(xí)3】如圖，在四棱錐O?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分別為OA，BC，AD的中點(diǎn)，求直線MN與平面OCD的距離及平面MNR與平面OCD的距離.三、課后自我檢測(cè)1．如圖，已知在四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，點(diǎn)Q在棱PA上，且PA4PQ4，底面為直角梯形，CDABAD900,AB2,CD1,AD2,M,N分別是PD,PB的中點(diǎn)．（1）求證：MQ//平面PCB；（2）求直線BC與平面MCN所成角的正弦值；（3）求點(diǎn)A到平面MCN的距離.2．如圖，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，ABAF2，ADC600.(1)求直線BF與平面ABCD的夾角；(2)求點(diǎn)A到平面FBD的距離.3．如圖,在四棱錐S-ABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，AD//BC,ADAB,且SAABBC2，AD1（Ⅰ）求SD與平面SAC所成角的正弦值.（Ⅱ）若E為SB的中點(diǎn)，在平面SAD內(nèi)存在點(diǎn)N，使得EN平面SAC，求N到直線AD,SA的距離.4．如圖：正三棱柱ABCA1B1C1的底面邊長(zhǎng)為3，D是CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且BDBC，二面角B1ADB的大小為60；（1）求點(diǎn)C1到平面B1AD的距離；（2）若P是線段AD上的一點(diǎn)，且2DPAA1，在線段DC1上是否存在一點(diǎn)Q，使直線PQ//平面ABC1？若存在，請(qǐng)指出這一點(diǎn)的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．5．如圖所示，正方形AA1D1D與矩形ABCD所在平面互相垂直，AB2AD2,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn).（1）求證：BD1// 平面A1DE；（2）設(shè)在線段AB上存在點(diǎn)M，使二面角D1MCD的大小為6，求此時(shí)AM的長(zhǎng)及點(diǎn)E到平面D1MC的距離.6．如圖，在三棱錐SABC中，ABC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，SASC22，O,M分別為AC,AB的中點(diǎn)，且SOAB.（1）證明：SO平面ABC；（2）求二面角SCMA的余弦值；7．如圖所示的幾何體中，PD垂直于梯形ABCD所在的平面，ADCBAD2,F為PA的中點(diǎn)，PD2,ABAD12CD1，四邊形PDCE為矩形，線段PC交DE于點(diǎn)N.（1）求證：AC 平面DEF；（2）求二面角APBC的正弦值；（3）在線段EF上是否存在一點(diǎn)Q，使得BQ與平面BCP所成角的大小為π6？若存在，求出FQ的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.8．如圖，在四棱錐PABCD中，ADDC，ADAB23，CBCD2，PC平面ABCD，PC4，點(diǎn)N在線段PA上，且AN3NP．（Ⅰ）求證：DNAC；（Ⅱ）求二面角CDNA的正弦值；（Ⅲ）在線段BP上是否存在點(diǎn)T，使得CT 平面PAD，若存在，求出線段BT的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．專題18 直線與圓問(wèn)題一、直線與圓知識(shí)框架二、直線與圓的方程問(wèn)題【一】直線的方程及其應(yīng)用1、直線方程的5種形式（1）點(diǎn)斜式：yy1k(xx1)（2）斜截式：ykxb（3）兩點(diǎn)式：yy1xx1(xx,yy)y2y1x2x1（4）截距式：xy1(a0,b0)ab（5）一般式：AxByC0（A，B不同時(shí)為0）2、三種距離公式（1）A(x,y),B(x,y)兩點(diǎn)間的距離：AB(xx)2(yy)2.11222121（2）點(diǎn)到直線的距離：dAx0By0C（其中點(diǎn)P(x0,y0)，直線方程：AxByC0）.A2B2（3）兩平行直線間的距離：dC2C1A2B2（其中兩平行線方程分別為：l1:AxByC10,l2:AxByC20）.3、兩條直線平行與垂直的判定若兩條不重合的直線l1,l2的斜率k1,k2存在，則l1//l2k1k2,l1l2k1k21;若給出的直線方程中存在字母系數(shù)，則要考慮斜率是否存在.1.例題【例1】設(shè)R，則“3是直線2x(1)y1與直線6x(1)y4平行”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【例2】過(guò)點(diǎn)（1，2）的直線l與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OAB的面積最小時(shí)，直線l的方程為（ ）A.2xy40B.x2y-50C.xy30D.2x3y802.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若兩平行直線l1:x2ym0(m0)與l2:2xny60之間的距離是，則mn5（）A.0B.1C.-2D.-1【練習(xí)2】直線l過(guò)點(diǎn)P（1，4），分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)OAOB最小時(shí)，l的方程為.【二】圓的方程及其應(yīng)用1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（1）以(a,b)為圓心，r(r0)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(xa)2(yb)2r2.（2）特別地，x2y2r2(r0)的圓心為（0，0），半徑為r.2、圓的一般方程方程x2y2DxEyF0變形為(xD)2(yE)2D2E24F.224（1）當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示以(D,E)為圓心，D2E24F為半徑的圓；222（2）當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)(D,E)；22（3）當(dāng)D2E24F0時(shí)，該方程不表示任何曲線。3、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系對(duì)于P(x0,y0)和圓C:(xa)2(yb)2r2,則（1）P在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2；（2）P在圓C上(x0a)2(y0b)2r2；（3）P在圓C外(x0a)2(y0b)2r2.1.例題【例1】已知圓C的圓心在

x軸的正半軸上，點(diǎn)

M(0,

5)

在圓C上，且圓心到直線

2x

y0的距離為45，則圓C的方程為.5【例2】圓心為點(diǎn)C4,7，并且截直線3x4y10所得的弦長(zhǎng)為8的圓的方程（）A．x42(y7)25B．x42(y7)225C．x72(y4)25D．x72(y4)225求圓的方程的方法（1）幾何法：利用圓的性質(zhì)、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系，數(shù)形結(jié)合直接求出圓心坐標(biāo)、半徑，進(jìn)而求出圓的方程.（2）待定系數(shù)法：先設(shè)出圓的方程，再由條件構(gòu)建系數(shù)滿足的方程（組）求得各系數(shù)，進(jìn)而求出圓的方程.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，0）且被

x

軸分成兩段弧長(zhǎng)比為1：2，則圓C的方程為（

）A.(x3)2y24B.(x3)2y213333)24)21C.x2(y3D.x2(y33333【練習(xí)2】以C(1,0)為圓心，并且與圓x2y24x30外切的圓的方程是()A．(x1)2y22B．(x1)2y24C．(x1)2y22D．(x1)2y24【三】直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系的判斷直線l:AxByC0（A，B不全為0）與圓(xa)2(yb)2r2(r0)的位置關(guān)系的判斷方法有：（1）幾何法：圓心(a,b)到直線l:AxByC0的距離為d，r直線與圓相交；dr直線與圓相切；dr直線與圓相離.AxByC0消元，得到的一元二次方程的判別式為，則（2）代數(shù)法：由(yb)2r2(xa)20直線與圓相交；0直線與圓相切；0直線與圓相離.2、圓與圓的位置關(guān)系的判斷（圓C1，圓C2的半徑分別為r1,r2，r1r2，dC1C2）（1）dr1r2兩圓外離，（2）dr1r2兩圓外切，（3）r1r2dr1r2兩圓相交，（4）dr1r2兩圓內(nèi)切，（5）0dr1r2兩圓內(nèi)含.3、有關(guān)弦長(zhǎng)問(wèn)題的兩種求法（1）設(shè)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為AB，圓的半徑為r，圓心到直線的距離為d，則弦長(zhǎng)公式：AB2r2d2.（2）若斜率為k的直線與圓交于A(x,y),B(x,y)兩點(diǎn)，則AB1k2(xx)24xx211221211k12(y1y2)24y1y2（其中k0），特別地，當(dāng)k0時(shí)，ABx1x2；當(dāng)斜率不存在時(shí)，ABy1y2.【知識(shí)拓展】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論(1)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條；②內(nèi)切：1條；③相交：2條；④外切：3條；⑤外離：4條．(2)當(dāng)兩圓相交時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)系數(shù)相同)相減便可得公共弦所在直線的方程．1.例題【例1】已知圓(x1)2(y1)22m截直線xy20所得弦的長(zhǎng)度為4，則實(shí)數(shù)m（）A.2B.4C.6D.8【例2】若直線ax+by＝1與圓x2+y2＝1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則點(diǎn)P（a，b）與圓x2+y2＝1的位置關(guān)系是（）A．在圓上B．在圓外C．在圓內(nèi)D．以上都有可能【例3】若圓C：x2+y2＝5﹣m與圓E：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝16有三條公切線，則m的值為（）A．2B．C．4D．6【例4】已知圓C:x2y2kx2y0與圓C:x2y2ky40的公共弦所在直線恒過(guò)定點(diǎn)12P(a,b)，且點(diǎn)P在直線mxny20上，則mn的取值范圍是（）1111A.（0，）B.（0，]C.（，）D.（，]4444【例5】已知點(diǎn)M（3，1）及圓(x1)2(y2)24，則過(guò)點(diǎn)M的圓的切線方程為.2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】已知直線xym0與圓C:x2y22相交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且3OAOBAB，則實(shí)數(shù)m的值為.【練習(xí)2】已知兩條平行直線l1，l2之間的距離為1，l1與圓C：x2+y2＝4相切，l2與C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝（

）A．

B．

C．

D．【練習(xí)3】若直線l：ax+y+2a＝0被圓C：x2+（y﹣4）2＝4所截得的弦長(zhǎng)為，則a的值為（A．﹣7或﹣1B．7或1C．7或﹣1D．﹣7或1

）【練習(xí)4】已知圓x2+y2＝1的圓心為O，點(diǎn)P是直線l：mx﹣3y+3m﹣2＝0上的動(dòng)點(diǎn)，若該圓上存在點(diǎn)Q使得∠QPO＝30°，則實(shí)數(shù)m的最大值為【練習(xí)5】過(guò)直線l：y＝x﹣2上任意點(diǎn)P作圓C：x2+y2＝1的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，當(dāng)切線最小時(shí)，△PAB的面積為 ．三、課后自我檢測(cè)1．已知圓C:x2y24，直線l:y1k(x1)，則直線l與圓C的位置關(guān)系（）A．相離B．相切C．相交D．以上皆有可能2．過(guò)點(diǎn)P0,1的直線l與圓x12y121相交于A，B兩點(diǎn)，若AB2，則該直線的斜率為（ ）A．1B．2C．3D．23．已知圓A:x2y21，圓B:x22y2r2r0，圓A與圓B的公切線的條數(shù)的可能取值共有（）A．2種B．3種C．4種D．5種4lC:xy4x2y10AB8PA5AB．設(shè)過(guò)點(diǎn)P－2，0的直線與圓22的兩個(gè)交點(diǎn)為，，若，則AB=（）8B．4C．6D．4A．566553535．設(shè)直線xya0與圓x2y22x4y20相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|2，則a（）A．-1或1B．1或5C．-1或3D．3或56．已知點(diǎn)P(t,t1),tR，點(diǎn)E是圓x2y21上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是圓(x3)2(y1)29上的動(dòng)點(diǎn)，44則PFPE的最大值為（）A．2B．5C．3D．42x?2A.2,6B.4,8,dC.2,32D.22,3θ,2,d8.)7.直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P在圓上,則△ABP面積的取值范圍是(在平面直角坐標(biāo)系中記為點(diǎn)P(cosθ,sinθ)到直線x-my-2=0的距離,當(dāng)m變化時(shí)的最大值為()A.1B.2C.3D.49.圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.4B.3C.D.2343在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點(diǎn),B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點(diǎn)D.若·=0,則點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為 .11.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點(diǎn)P在圓O:x2+y2=50上,若PA·PB≤20,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是 .已知直線l:mx+y+3m-3=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=23,則|CD|= .13．圓O1的方程為x2(y1)24，圓O2的圓心O22,1．1若圓O2與圓O1外切，求圓O2的方程；2若圓O2與圓O1交于A、B兩點(diǎn)，且AB22.求圓O2的方程．14．已知圓C:x22y2216，點(diǎn)A10,0．（1）設(shè)點(diǎn)P是圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求AP的中點(diǎn)Q的軌跡方程；（2）直線l:kxy10k0與圓C交于M,N，求AM·AN的值．15．已知圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y2)21，N為圓M上的動(dòng)點(diǎn)，直線l的方程為x2y0，動(dòng)點(diǎn)P在直線l上．（1）求PN的最小值，并求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）若P點(diǎn)的坐標(biāo)為(12,m)，過(guò)P作直線與圓M交于C，D兩點(diǎn)，當(dāng)CD3時(shí)，求直線CD的方程．16．已知圓C1:x2y22x80關(guān)于直線l1:yx1對(duì)稱的圓為C．（1）求圓C的方程；（2）過(guò)點(diǎn)（1，0）作直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，是否存在直線l，使得∠AOB=90°？若存在，求出所有滿足條件的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．17.已知曲線C：y=x2，D為直線y=1上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.2 2（1）證明：直線AB過(guò)定點(diǎn)：5（2）若以E(0，2)為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求四邊形ADBE的面積.18.如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知以M為圓心的圓M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一點(diǎn)A(2,4).(1)設(shè)圓N與x軸相切,與圓M外切,且圓心N在直線x=6上,求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B,C兩點(diǎn),且BC=OA,求直線l的方程.(3)設(shè)點(diǎn)T(t,0)滿足:存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q,使得TA+TP=TQ,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.專題19 圓錐曲線的概念及其幾何性質(zhì)一、圓錐曲線的概念及其幾何性質(zhì)知識(shí)框架二、圓錐曲線的定義、方程【一】圓錐曲線的定義1、橢圓（1）秒殺思路：動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)(距離為2c)距離之和為定值(2a)的點(diǎn)的軌跡；（2）秒殺公式：過(guò)拋圓的一個(gè)焦點(diǎn)作弦AB,與另一個(gè)焦點(diǎn)F構(gòu)造FAB，則FAB的周長(zhǎng)等于4a。（3）①當(dāng)2a2c時(shí)，表示橢圓；②當(dāng)2a2c時(shí)，表示兩定點(diǎn)確定的線段；③當(dāng)2a2c時(shí)，表示無(wú)軌跡。2、雙曲線（1）秒殺思路：①雙曲線上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離之差的絕對(duì)值是常數(shù)2a;②注意定義中兩個(gè)加強(qiáng)條件:（I）絕對(duì)值;（II）2a2c；③加絕對(duì)值表示兩支(或兩條),不加絕對(duì)值表示一支(或一條);（2）秒殺公式：過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)作弦AB（交到同一支上），與另一個(gè)焦點(diǎn)F構(gòu)造FAB，則FAB的周長(zhǎng)等于4a2AB。（3）①當(dāng)2a2c時(shí)，表示雙曲線；②當(dāng)2a2c時(shí)，表示以兩定點(diǎn)為端點(diǎn)向兩側(cè)的射線；③當(dāng)2a2c時(shí)，無(wú)軌跡；④當(dāng)2a0時(shí)表示兩定點(diǎn)的中垂線。3、拋物線（1）秒殺思路：到定點(diǎn)(焦點(diǎn))距離等于到定直線(準(zhǔn)線)距離。所以，一般情況下,拋物線已知到焦點(diǎn)的距離需轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離,已知到準(zhǔn)線的距離需轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)的距離。（2）秒殺公式一：焦點(diǎn)在x軸上的圓錐曲線,曲線上的點(diǎn)到同一個(gè)焦點(diǎn)的距離成等差數(shù)列，則橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，反過(guò)來(lái)也成立。（3）秒殺公式二：作過(guò)拋物線焦點(diǎn)且傾斜角為60或120的弦,兩段焦半徑分別為:2p,23p.1.例題【例1】設(shè)P是橢圓x2y21上的點(diǎn),若F,F是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則PFPF等于()25161212A.4B.5C.8D.10【例2】已知橢圓C:x2y21,點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合,若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為A,B,線段94MN的中點(diǎn)在C上,則|AN||BN|.【例3】已知雙曲線x2y21,點(diǎn)F,F為其兩個(gè)焦點(diǎn),點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn),若PFPF,則1212PF1PF2的值為_(kāi)______.5,焦點(diǎn)在x軸上且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為26,若曲線C【例4】設(shè)橢圓C的離心率為上的點(diǎn)到橢圓C的兩個(gè)焦點(diǎn)的距11321離的差的絕對(duì)值等于8,則曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.x2y21B.x2y21C.x2y21D.x2y214232132523242132122【例5】(2016年新課標(biāo)全國(guó)卷I10)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于D,E兩AB=4DE=2,則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(點(diǎn).已知2,5)A.2B.4C.6D.8【例6】已知拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)Px,y,Px,y,Px,y在拋物線上,且1112223332x2x1x3,則有()A.FPFPFPB.FP2FP2FP2123123C.2FPFPFPD.FP2FP·FP213213【例7】(2017年新課標(biāo)全國(guó)卷II)已知F是拋物線C:y28x的焦點(diǎn),M是C上一點(diǎn),FM的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則FN=.【例8】M是拋物線y24x上一點(diǎn),F是拋物線的焦點(diǎn),以Fx為始邊、FM為終邊的角xFM60,求FM.【例9】拋物線y24x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,經(jīng)過(guò)F且斜率為3的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A,AK⊥l,垂足為K,則△AKF的面積是()B.3C.4D.8A.4332.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】(2011年新課標(biāo)全國(guó)卷14)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓C的中心為原點(diǎn),焦點(diǎn)F1,F2在x軸上,離心率為2.過(guò)F的直線l交C于A,B兩點(diǎn),且ABF的周長(zhǎng)為16,那么C的方程為.212【練習(xí)2】已知F、F為橢圓x2y21的兩個(gè)焦點(diǎn),過(guò)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),FAFB12,12259122則AB=.【練習(xí)3】已知雙曲線C的離心率為2，焦點(diǎn)為F1、F2,點(diǎn)A在C上,若F1A2F2A,則cosAF2F1A.1B.1C.2D.24343【練習(xí)4】若雙曲線E:x2y21的左、右焦點(diǎn)分別為F,F,點(diǎn)P在雙曲線E上,且PF3,則PF9161212等于()A.11B.9C.5D.3【練習(xí)5】拋物線y4x2上的一點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離為1,則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)是()A.17B.15C.7D.016168【練習(xí)6】已知F是拋物線y2x的焦點(diǎn),A,B是該拋物線上的兩點(diǎn),AFBF=3,則線段AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離為()A.3B.1C.5D.7444【練習(xí)7】(2014年新課標(biāo)全國(guó)卷I10)已知拋物線C:y28x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P是l上一點(diǎn),Q是直線PF與C的一個(gè)焦點(diǎn),若FP4FQ,則|QF|=()A.7B.5C.3D.222【練習(xí)8】(2017年新課標(biāo)全國(guó)卷II文12)過(guò)拋物線C:y24x的焦點(diǎn)F,且斜率為的直線交C于點(diǎn)3M(M在x軸上方),l為C的準(zhǔn)線,點(diǎn)N在l上且MNl,則M到直線NF的距離為()B.2C.2D.3A.5233【練習(xí)9】設(shè)拋物線y28x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,P為拋物線上一點(diǎn),PAl,A為垂足,如果直線AF的斜率為,那么PF=3()A.4B.8C.8D.1633【練習(xí)10】設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),F是拋物線y22px(p0)的焦點(diǎn),A是拋物線上的一點(diǎn),FA與x軸正向的夾角為60,則OA為．【二】圓錐曲線的方程1、橢圓(秒殺方法：分母大的為焦點(diǎn)所在軸)：c2a2b2x2y21(ab0)a2b2表示焦點(diǎn)在x軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;y2x21(ab0)表示焦點(diǎn)在y軸橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。a2b22、雙曲線（秒殺方法：系數(shù)為正的為焦點(diǎn)所在軸）：c2a2b2x2y21(a0,b0)表示焦點(diǎn)在x軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程;a2b2y2x21(a0,b0)表示焦點(diǎn)在y軸上雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。a2 b23、拋物線（秒殺方法：一次項(xiàng)對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)所在軸）：p表示焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離y22px(p0)表示焦點(diǎn)在x軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程;x22py(p0)表示焦點(diǎn)在y軸上拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。1.例題【例1】(2012年新課標(biāo)全國(guó)卷8)已知等軸雙曲線C的中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,C與拋物線y216x的準(zhǔn)線交于A,B兩點(diǎn),AB43,則C的實(shí)軸長(zhǎng)為()A.B.222C.4D.8【例2】“mn0”是“方程mx2ny21”表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓”的()A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【例3】設(shè)AB是橢圓的長(zhǎng)軸,點(diǎn)C在橢圓上,且CBA4.若AB4,BC2,則橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)之間的距離為 .【例4】已知雙曲線x2y21(a＞0，b＞0)和橢圓x2y21有相同的焦點(diǎn),且雙曲線的離心率是a2b2169橢圓離心率的兩倍,則雙曲線的方程為.x2y2x2y2【例5】曲線1(m6)與曲線1(5m9)的()10m6m5m9mA.焦距相等B.離心率相等C.焦點(diǎn)相同D.準(zhǔn)線相同2.鞏固提升綜合練習(xí)【練習(xí)1】若kR,則“k3”是“方程x2y21表示雙曲線”的()k3k3A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【練習(xí)2】已知拋物線y28x的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線x2y21(a0,b0)的一個(gè)焦點(diǎn),且雙曲線的離心率a2b2為2,則該雙曲線的方程為.【練習(xí)3】下圖是拋物線形拱橋,當(dāng)水面在l時(shí),拱頂離水面2米,水面寬4米,水位下降1米后,水面寬米【練習(xí)4】已知0,則雙曲線C:x2y21與C:y2x21的4cos2sin2sin2sin2tan212()A.實(shí)軸長(zhǎng)相等B.虛軸長(zhǎng)相等C.焦距相等D.離心率相等三、圓錐曲線的幾何性質(zhì)【一】焦點(diǎn)三角形1、橢圓的焦點(diǎn)三角形：橢圓上任意一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F1、F2構(gòu)成的三角形:PF1F2。（1）秒殺題型一：①周長(zhǎng)為定值：2(ac)。F1PF2,當(dāng)點(diǎn)P靠近短軸端點(diǎn)時(shí)增大，當(dāng)點(diǎn)P靠近長(zhǎng)軸端點(diǎn)時(shí)減?。慌c短軸端點(diǎn)重合最大。（2）秒殺題型二：SFPF12cyb2tan，Smaxbc即P與短軸端點(diǎn)重合時(shí)面積最大。1222（3）秒殺題型三：①當(dāng)FPF底角為90，F(xiàn)PF個(gè)數(shù)：4個(gè)(P點(diǎn)為通徑端點(diǎn))；12122bc(e0),02bc(e),2②當(dāng)時(shí)，F(xiàn)PF個(gè)數(shù)：2。（P點(diǎn)為以F1F2為直徑的圓與橢圓的交222bc(1e),4點(diǎn)）2、雙曲線的焦點(diǎn)三角形：（1）焦點(diǎn)直角三角形的個(gè)數(shù)：一定為八個(gè)，頂角為直角與底角為直角的各為四個(gè)；2Sb2.cot()=cy1.例題【例1】(2017年新課標(biāo)全國(guó)卷I文12)設(shè)A、B是橢圓Cx3y21長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),若C上存在點(diǎn)M滿3m足AMB120,則m的取值范圍是()A.0,19,B.0,9,C.0,14,