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基、維數(shù)與坐標本節(jié)內(nèi)容線性空間的基與維數(shù)的定義元素在給定基下的坐標小結(jié)一、線性空間的基與維數(shù)

已知：在中，線性無關(guān)的向量組最多由個向量組成，而任意個向量都是線性相關(guān)的．

問題：線性空間的一個重要特征——在線性空間中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？定義1.設(shè)是實數(shù)域上的線性空間，若是中的個向量，滿足（1）線性無關(guān)；（2）設(shè)是中的任一向量，存在一組實數(shù)，使得，則稱為的一組基，基中向量的個數(shù)稱為線性空間的維數(shù)。

注意

（1）線性空間中任一向量由基表示的方法是唯一的；

（2）線性空間的基(只要存在)并不一定是唯一的；

（3）有限維線性空間的維數(shù)是固定的．

定義２二、元素在給定基下的坐標例1.

求線性空間的維數(shù)和一組基．解取單位坐標向量

于是（1）線性無關(guān)；（2）對任一向量，顯然可以由上述單位坐標向量組表出．由定義可知上述單位坐標向量組為一組基，因此維數(shù)為3．注意

線性空間的任一元素在不同的基下所對的坐標一般不同，一個元素在一個基下對應(yīng)的坐標是唯一的．練習(xí)：所有二階實矩陣組成的集合，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實數(shù)域上的一個線性空間．對于中的矩陣證明可以構(gòu)成線性空間的一組基。１．線

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