經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)_第1頁
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文檔簡介

齊次線性方程組

解的結(jié)構(gòu)復(fù)習(xí)推論

n元線性方程組有無窮解的充分必要條件是（1）無解的充分必要條件是n元線性方程組并且①有惟一解：（2）有解的充分必要條件是②有無窮解：3.4.1齊次線性方程組解的性質(zhì)（1）若為的解，則

也是的解.

證明（2）若為的解，為實(shí)數(shù)，則也是的解.證明用表示齊次方程組的全體解向量所組成的集合，則由這兩個性質(zhì)知中一定含有無窮多個解向量，因此是一個含有無窮多個向量的向量組，故只要找到的一個最大無關(guān)組，就能把表示出來。定義3.4.1設(shè)齊次方程組有非零解，如果它的s個解向量滿足：（1）線性無關(guān)；（2）的任何一個解都可以由線性表示，即則稱是方程組的基礎(chǔ)解系.3.4.2齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)并且方程組的通解為：定理3.4.1

n元齊次方程組，設(shè)系數(shù)矩陣的秩，則的基礎(chǔ)解系存在：

其中，為的一個基礎(chǔ)解系，

為任意實(shí)數(shù)例3.4.1

求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并寫出其通解。解令為自由未知量，得：代入上述方程組，得

原方程組的一個基礎(chǔ)解系為：

故原方程組的通解為上面的方法是先寫出基礎(chǔ)解系，再寫出通解而3.1節(jié)介紹的方法是先寫通解，再寫出基礎(chǔ)解系即由得到上式中令，則從而，原方程通解為由上述通解，可得是原方程組的一個基礎(chǔ)解系另外，在若取得則得到不同的基礎(chǔ)解系從而通解為練習(xí)1：求齊次方程組的基礎(chǔ)解系和通解。得基礎(chǔ)解系：令得基礎(chǔ)解系：若令練習(xí)2.求，使齊次方程組有非零解，并求通解。解：所以，當(dāng)＝0即=0或1時，有非零解。（1）將＝0代入原方程組，得到由于，基礎(chǔ)解系含有一個解向量，取為自由未知量，得同解方程組為令＝1，則基礎(chǔ)解系為通解為，其中為任意常數(shù)。（2）同理將＝1代入原方程組，得到由于，基礎(chǔ)解系含有一個解向量，

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