經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)-線性代數(shù)課件：線性變換及其矩陣_第1頁
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文檔簡介

線性變換及其矩陣本節(jié)內(nèi)容線性變換及其性質(zhì)線性變換的矩陣表示小結(jié)

線性空間是某類客觀事物從量的方面的一個抽象，而線性變換則研究線性空間中元素之間的最基本聯(lián)系．１．變換一、線性變換的概念定義1設(shè)是實數(shù)域上的線性空間，若存在一個到自身的映射，則稱為上的一個變換.2.線性變換定義2.為線性空間的一個變換，如果對于中任意的元素和實數(shù)域中的任意數(shù)都有則稱為的線性變換.說明(2)一般用表示線性空間上的線性變換.證明設(shè)則有所以零變換是線性變換．例1線性空間中的零變換：是線性變換．證明則有設(shè)例2線性空間中的恒等變換（或稱單位變換）：是線性變換．所以恒等變換是線性變換．例3.在全體一元實系數(shù)多項式組成的實線性空間上定義變換D，即稱之為微分變換，則它是線性變換.事實上，對任意的，及，有于是D為線性變換.二、線性變換的性質(zhì)三、線性變換的矩陣表示對于線性空間上的線性變換，取定的一組基，若在下的像為，于是對中任意向量由于線性變換保持線性關(guān)系不變，因此上式表明是完全確定的．因此線性變換是完全確定的．另一方面，是中的向量，可以由基唯一線性表示出來，不妨設(shè)為若記于是若用記號表示此時稱矩陣為線性變換在基下的矩陣．顯然，當(dāng)線性變換確定，則它在給定基下的矩陣是由唯一確定．反過來，假設(shè)給定實數(shù)域上一個階矩陣，可以證明上存在唯一的線性變換，使得在基下的矩陣恰為．例4.對于線性空間，若為求導(dǎo)數(shù)的線性變換，即．在基下，因為因此在基下的矩陣為練習(xí)：求中的線性變換在基下的矩陣.解因為因此，在基下線性變換的矩陣由線性變換在一組基下的矩陣，很容易得出中任意向量的坐標(biāo)和它的象的坐標(biāo)之間的的關(guān)系.定理設(shè)是線性空間的一組基，線性變換在該基下的矩陣為．如果中向量在這組基下的坐標(biāo)為，則在該基下的坐標(biāo)為.線性變換的矩陣由線性空間的基決定.一般說來，一個線性變換在兩組不同基下的矩陣是不相同的，下面的定理給出了它們之間的關(guān)系.

定理同一線性變換在不同基下的矩陣是相似的．四.小結(jié)

1.線性變換的概念與性質(zhì)

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