備戰(zhàn)2024年高考數(shù)學(xué)大一輪數(shù)學(xué)(人教A版理)-第十三章-§13-3-絕對(duì)值不等式

第十三章

系列4選講§13.3

絕對(duì)值不等式考試要求1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：|a＋b|

≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a，b，c∈R).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|

≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.

內(nèi)容索引第一部分第二部分第三部分落實(shí)主干知識(shí)探究核心題型課時(shí)精練落實(shí)主干知識(shí)第一部分1.絕對(duì)值不等式的解法(1)含絕對(duì)值的不等式|x|<a與|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a__________??|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(－a，a)(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|(zhì)ax＋b|≤c?______________.②|ax＋b|≥c?____________________.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法①利用絕對(duì)值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.②利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想.③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.－c≤ax＋b≤cax＋b≥c或ax＋b≤－c2.含有絕對(duì)值的不等式的性質(zhì)(1)如果a，b是實(shí)數(shù)，則_______≤|a±b|≤______.(2)如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么___________________________，當(dāng)且僅當(dāng)_________________時(shí)，等號(hào)成立.||a|－|b|||a|＋|b||a－c|≤|a－b|＋|b－c|(a－b)(b－c)≥0判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)若|x|>c的解集為R，則c≤0.(

)(2)不等式|x－1|＋|x＋2|<2的解集為?.(

)(3)對(duì)|a＋b|≥|a|－|b|當(dāng)且僅當(dāng)a>b>0時(shí)等號(hào)成立.(

)(4)對(duì)|a－b|≤|a|＋|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab≤0時(shí)等號(hào)成立.(

)×√×√1.不等式3≤|5－2x|<9的解集為A.[－2,1)∪[4,7)B.(－2,1]∪(4,7]C.(－2，－1]∪[4,7)D.(－2,1]∪[4,7)√則不等式的解集為(－2,1]∪[4,7).2.不等式|x－1|－|x－5|<2的解集為__________.①當(dāng)x≤1時(shí)，原不等式可化為1－x－(5－x)<2，∴－4<2，不等式恒成立，∴x≤1；②當(dāng)1<x<5時(shí)，原不等式可化為x－1－(5－x)<2，∴x<4，∴1<x<4；③當(dāng)x≥5時(shí)，原不等式可化為x－1－(x－5)<2，該不等式不成立.綜上，原不等式的解集為(－∞，4).(－∞，4)3.設(shè)a，b∈R，|a－b|>2，則關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是___.∵|x－a|＋|x－b|≥|(x－a)－(x－b)|＝|b－a|＝|a－b|，且|a－b|>2，∴|x－a|＋|x－b|>2恒成立，即該不等式的解集為R.R探究核心題型第二部分例1

(2021·全國乙卷)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|＋|x＋3|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)≥6的解集；題型一絕對(duì)值不等式的解法當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，即求|x－1|＋|x＋3|≥6的解集，當(dāng)x≥1時(shí)，原不等式可化為2x＋2≥6，得x≥2；當(dāng)－3<x<1時(shí)，原不等式可化為4≥6，無解；當(dāng)x≤－3時(shí)，原不等式可化為－2x－2≥6，得x≤－4.綜上，不等式f(x)≥6的解集為{x|x≤－4或x≥2}.f(x)＝|x－a|＋|x＋3|≥|(x－a)－(x＋3)|＝|a＋3|，當(dāng)且僅當(dāng)(x－a)(x＋3)≤0時(shí)，等號(hào)成立.所以f(x)min＝|a＋3|>－a，當(dāng)a<－3時(shí)，原不等式可化為－a－3>－a，無解；當(dāng)a≥－3時(shí)，原不等式可化為a＋3>－a，(2)若f(x)>－a，求a的取值范圍.解絕對(duì)值不等式的基本方法(1)利用絕對(duì)值的定義，通過分類討論轉(zhuǎn)化為解不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式.(2)當(dāng)不等式兩端均為正數(shù)時(shí)，可通過兩邊平方的方法，轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值符號(hào)的普通不等式.(3)利用絕對(duì)值的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解.思維升華跟蹤訓(xùn)練1

已知函數(shù)f(x)＝|x＋2|－|2x－3|.(1)畫出函數(shù)y＝f(x)的圖象；畫出f(x)的圖象，如圖.分別畫出函數(shù)y＝|f(x)|與y＝1的圖象，如圖所示，由圖可知，令|f(x)|＝1，所以根據(jù)圖象可知，要使|f(x)|≥1，(2)解不等式|f(x)|≥1.題型二利用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)求最值例2

已知函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－4|.(1)解不等式f(x)≤6；當(dāng)x>4時(shí)，原不等式可化為3x－3≤6，即x≤3(舍去).綜上，f(x)≤6的解集為[－1,1].f(x)＋|x－4|＝|2x＋1|＋|2x－8|≥9∵f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，∴a2－8a>9，即(a－9)(a＋1)>0，解得a<－1或a>9，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，－1)∪(9，＋∞).(2)若不等式f(x)＋|x－4|<a2－8a有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.求含絕對(duì)值函數(shù)的最值時(shí)，常用的方法有三種(1)利用絕對(duì)值的幾何意義.(2)利用絕對(duì)值的三角不等式，即|a|＋|b|≥|a±b|≥||a|－|b||.(3)利用零點(diǎn)分段法，轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最值.思維升華跟蹤訓(xùn)練2

已知函數(shù)f(x)＝|x＋m|－|x－2|，m∈R.(1)若m＝3，求不等式f(x)>1的解集；當(dāng)x<－3時(shí)，f(x)＝－5，則f(x)>1無解；當(dāng)－3≤x≤2時(shí)，令f(x)＝2x＋1>1，解得x>0，則0<x≤2；當(dāng)x>2時(shí)，f(x)＝5，則f(x)>1恒成立，則x>2.綜上所述，不等式f(x)>1的解集為(0，＋∞).故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(－∞，－6]∪[2，＋∞).(2)若對(duì)?x∈R，不等式f(x)＋2|x－2|≥4都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.絕對(duì)值不等式的綜合應(yīng)用例3

設(shè)函數(shù)f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)畫出y＝f(x)的圖象；題型三則y＝f(x)的圖象如圖所示.(2)當(dāng)x∈[0，＋∞)時(shí)，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值.由(1)知，y＝f(x)的圖象與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，且各部分所在直線斜率的最大值為3，故當(dāng)且僅當(dāng)a≥3且b≥2時(shí)，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上恒成立，因此a＋b的最小值為5.(1)解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問題的關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù).(2)數(shù)形結(jié)合是解決與絕對(duì)值有關(guān)的綜合問題的常用方法.思維升華跟蹤訓(xùn)練3

(2023·成都聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|－a|x＋1|.(1)當(dāng)a＝1時(shí)，求不等式f(x)<x的解集；當(dāng)a＝1時(shí)，f(x)＝|x－2|－|x＋1|，則不等式f(x)<x即為|x－2|－|x＋1|<x，即|x－2|<x＋|x＋1|，當(dāng)x≥2時(shí)，不等式為x－2<x＋x＋1，解得x>－3，所以x≥2；當(dāng)－1<x<2時(shí)，不等式為2－x<x＋x＋1，當(dāng)x≤－1時(shí)，不等式為2－x<x－x－1，解得x>3，此時(shí)無解.(2)當(dāng)a＝2時(shí)，若關(guān)于x的不等式f(x)>m＋1恰有2個(gè)整數(shù)解，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.由題意，函數(shù)f(x)＝|x－2|－2|x＋1|，則f(x)的圖象如圖所示.f(－3)＝1，f(－2)＝2，f(－1)＝3，f(0)＝0，因?yàn)殛P(guān)于x的不等式f(x)>m＋1恰有2個(gè)整數(shù)解，由圖可知，1≤m＋1<2，所以0≤m<1，故m的取值范圍為[0,1).課時(shí)精練第三部分1.已知函數(shù)f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；1234512345所以當(dāng)x<－1時(shí)，f(x)＝－1<0，不符合題意；當(dāng)－1≤x<0時(shí)，f(x)＝2x＋1≥0，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)＝1>0，符合題意.(2)若方程f(x)＝x有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.12345設(shè)u(x)＝|x＋1|－|x|，則由(1)知y＝u(x)的圖象和y＝x的圖象如圖所示.易知y＝u(x)的圖象向下平移1個(gè)單位長度內(nèi)(不包括1個(gè)單位長度)，與y＝x的圖象始終有3個(gè)交點(diǎn)，從而－1<a<0.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(－1,0).2.(2021·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)＝|x－2|，g(x)＝|2x＋3|－|2x－1|.(1)畫出y＝f(x)和y＝g(x)的圖象；1234512345作出f(x)和g(x)的圖象，如圖所示.(2)若f(x＋a)≥g(x)，求a的取值范圍.1234512345函數(shù)f(x＋a)的圖象即為將函數(shù)f(x)的圖象向左或向右平移|a|個(gè)單位長度得到的圖象，當(dāng)a≤0時(shí)，即為將函數(shù)f(x)的圖象向右平移|a|個(gè)單位長度得到f(x＋a)的圖象，此時(shí)函數(shù)f(x＋a)的圖象始終有部分圖象位于函數(shù)g(x)的圖象下方，無法滿足f(x＋a)≥g(x)，則要滿足f(x＋a)≥g(x)，需a>0，f(x＋a)＝|x＋a－2|，123451234512345(2)若f(x)≤0恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.12345當(dāng)且僅當(dāng)(x＋1)(x－1)≥0時(shí)取等號(hào)，又f(x)≤0恒成立，所以2＋2m≤0恒成立，解得m≤－1，即m的取值范圍為(－∞，－1].123454.已知函數(shù)g(x)＝|x－1|＋|x－1＋t|(t∈R).(1)當(dāng)t＝2時(shí)，求g(x)≥4的解集；由題意得g(x)＝|x－1|＋|x＋1|≥4，當(dāng)x≤－1