2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下冊單元速記·巧練（蘇科版）第十一章 反比例函數(shù)（單元重點綜合測試）（解析版）

第十一章反比例函數(shù)（單元重點綜合測試）單選題（共8題，每題3分，共24分）1．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了求反比例函數(shù)解析式，直接把點代入反比例函數(shù)解析式中進(jìn)行求解即可．【詳解】解：把代入中得，解得，故選B．2．下列問題中，兩個變量成反比例的是（

）A．商一定時（不為零），被除數(shù)與除數(shù)；B．等腰三角形周長一定時，它的腰長與它底邊的長；C．一個因數(shù)（不為零）不變時，另一個因數(shù)與它們的積；D．貨物的總價一定時，貨物的單價與貨物的數(shù)量．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)，正確區(qū)分正比例函數(shù)與反比例函數(shù)是解題關(guān)鍵．判斷一個函數(shù)是否是反比例函數(shù)，首先看看兩個變量是否具有反比例關(guān)系．兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系，兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系．根據(jù)定義分析即可．【詳解】解：A、商一定時（不為零），被除數(shù)和除數(shù)成正比例關(guān)系，故A錯誤；B、等腰三角形周長一定時，它的腰長與它底邊的長成一次函數(shù)關(guān)系；故B錯誤；C、一個因數(shù)（不為零）不變時，另一個因數(shù)與它們的積成正比例關(guān)系；故C錯誤；D、貨物的總價A一定時，貨物的單價a與貨物的數(shù)量x成反比例關(guān)系；故D正確．故選D3．函數(shù)與()在同一平面直角坐標(biāo)系中的大致圖象是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)的圖象綜合判斷，分和兩種情況進(jìn)行逐項判斷即可．【詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)的圖象位于第一、三象限，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限，當(dāng)時，函數(shù)的圖象位于第二、四象限，函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，故選項C符合，選項A、B、D不符合，故選：C．4．已知和是反比例函數(shù)圖象上的兩點，且，則與的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，當(dāng)時，反比例函數(shù)圖象位于第一、三象限，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而減小，當(dāng)時，反比例函數(shù)圖象位于第二、四象限，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，根據(jù)反比例函數(shù)中可得其函數(shù)圖象位于第二、四象限，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，根據(jù)，求解即可．【詳解】∵反比例函數(shù)中，∴其函數(shù)圖象位于第二、四象限，且在每一個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，∵，∴，故選：D．5．已知函數(shù)中，隨的增大而減小，那么反比例函數(shù)圖像在（

）A．第二、四象限內(nèi) B．第一、二象限內(nèi) C．第三、四象限內(nèi) D．第一、三象限內(nèi)【答案】A【分析】本題考查一次函數(shù)及反比例函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練掌握系數(shù)對一次函數(shù)及反比例函數(shù)圖像的影響是解決問題的關(guān)鍵．根據(jù)正比例函數(shù)圖像與性質(zhì)，由題意可知，從而可得函數(shù)的圖像在二、四象限．【詳解】解：函數(shù)中，隨的增大而減小，，反比例函數(shù)圖像在二、四象限，故選：A．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，反比例函數(shù)的圖像交矩形的邊于點，交邊于點，且．若四邊形的面積為，則值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形面積的計算、反比例函數(shù)的圖象與解析式的求法，連接，由矩形的性質(zhì)和已知條件得出，再求出的面積，即可得出k的值，熟練掌握矩形的性質(zhì)和反比例函數(shù)解析式的求法是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】連接，如圖所示：∵四邊形是矩形，∴，，∵、在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∵，∴，由，∴，故選：．7．教室里的飲水機(jī)接通電源就進(jìn)入自動程序，開機(jī)加熱時每分鐘上升，加熱到，停止加熱，水溫開始下降，此時水溫與開機(jī)后用時成反比例關(guān)系．直至水溫降至，飲水機(jī)關(guān)機(jī)．飲水機(jī)關(guān)機(jī)后即刻自動開機(jī)，重復(fù)上述自動程序．若在水溫為時，接通電源后，水溫和時間的關(guān)系如圖，為了在上午第一節(jié)下課時能喝到不超過的水，則接通電源的時間可以是當(dāng)天上午的（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用待定系數(shù)法求出開機(jī)加熱時一次函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出當(dāng)時的值，再求出關(guān)機(jī)降溫時反比例函數(shù)關(guān)系式，進(jìn)而求出當(dāng)時的值，觀察可知飲水機(jī)的一個循環(huán)周期為分鐘，每一個循環(huán)內(nèi)，在及時間段內(nèi)，水溫不超過，最后逐項判斷即可．【詳解】解：∵開機(jī)加熱時間每分鐘上升，∴從到需要分鐘．設(shè)一次函數(shù)關(guān)系式為，將點，代入，得，解得，∴一次函數(shù)關(guān)系式為，令，則，解得：，設(shè)反比例函數(shù)關(guān)系式為，將點代入關(guān)系式，得，解得，∴反比例函數(shù)關(guān)系式為，將代入，得，∴．令，解得，

∴飲水機(jī)的一個循環(huán)周期為分鐘，每一個循環(huán)內(nèi)，在及時間段內(nèi)，水溫不超過．∵至之間有85分鐘，，不在及時間段內(nèi)，A選項不符合題意；∵至之間有75分鐘，，不在及時間段內(nèi)，B選項不符合題意；∵至之間有60分鐘，，在及時間段內(nèi)，C選項符合題意；∵至之間有45分鐘，，不在及時間段內(nèi)，D選項不符合題意；．故選：C．【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的綜合應(yīng)用，求一次函數(shù)關(guān)系式，求反比例函數(shù)關(guān)系式，求自變量的值，從圖像中獲取信息是解題的關(guān)鍵．8．函數(shù)的圖象與過原點的直線l交于A、B兩點，現(xiàn)過A、B分別作x、y軸的平行線，相交于C點．則的面積為（

）．A．2 B． C．4 D．【答案】C【分析】本題考查了反比例函數(shù)中k的幾何意義，即過雙曲線上任意一點引x軸、y軸垂線，所得矩形面積為，根據(jù)反比例函數(shù)的中心對稱特點可知的是面積．【詳解】解：由于點A、B在反比例函數(shù)圖象上關(guān)于原點對稱，的面積等于兩個三角形加上一個矩形的面積和，則的面積．故選：C．二、填空題（每題3分，共10題，一共30分）9．若函數(shù)是反比例函數(shù)，則．【答案】【分析】本題考查反比例函數(shù)的定義，掌握反比例函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)的定義求解即可．【詳解】∵函數(shù)為反比例函數(shù)，∴且．解得．故答案是：．10．若反比例函數(shù)的圖象過點，則等于．【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，把點代入反比例函數(shù)解答即可，只需把所給點的坐標(biāo)代入函數(shù)即可，比較簡單．【詳解】解：把點代入反比例函數(shù)得：，∴，故答案為：．11．已知反比例函數(shù)，當(dāng)時，y的最大值為．【答案】/【分析】對反比例函數(shù)，在，隨的增大而減小，則在時取得最大值．【詳解】解：當(dāng)時，反比例函數(shù)的圖象隨的增大而減小，則在時取得最大值，．故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，重點是注意中的取值．12．已知點是反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像的交點，則．【答案】【分析】把點分別代入反比例函數(shù)與一次函數(shù)，求出與的值，將代數(shù)式根據(jù)完全平方公式變形再代入值進(jìn)行計算即可．【詳解】點是反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)的圖像的交點，，，故答案為：．【點睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，對于本題我們可以先分別把點代入兩個函數(shù)中，再對函數(shù)和所求的代數(shù)式進(jìn)行適當(dāng)變形，然后整體代入即可．13．如圖，一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像交于點，，則不等式的解集是．

【答案】或【分析】本題主要考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象的綜合判斷.利用函數(shù)圖象得到當(dāng)一次函數(shù)圖象不在反比例函數(shù)圖象上方時x的取值即可．【詳解】解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)一次函數(shù)圖象不在反比例函數(shù)圖象上方時，x的取值范圍是：或．故不等式的解集是：或，故答案為：或.14．如果點、點都在函數(shù)的圖象上，且，那么m的取值范圍是．【答案】/【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，根據(jù)題意可得在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大，據(jù)此可得，則．【詳解】解：∵點、點都在函數(shù)的圖象上，且，∴在每個象限內(nèi)y隨x增大而增大，∴，∴，故答案為：．15．如圖，矩形的頂點A和對稱中心均在反比例函數(shù)上，若矩形的面積為6，則k的值為．【答案】3【分析】本題考查反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，設(shè)矩形的對稱中心為E，連接、，過E作垂足為F，設(shè)，，利用矩形的面積，表示矩形的邊長，再根據(jù)對稱中心表示E的坐標(biāo)，由點A、E都在反比例函數(shù)的圖象上，由反比例函數(shù)k的幾何意義求解即可．【詳解】解：設(shè)矩形的對稱中心為E，連接、，過E作垂足為F，∵點E是矩形的對稱中心，∴，，設(shè)，，∵的面積為6，∴，，∴點，∵，∴，即：，故答案為：3．16．已知反比例函數(shù)上有兩點A、B，A點縱坐標(biāo)是B點縱坐標(biāo)的3倍，延長交曲線的另一支于C、D兩點，則圖中陰影部分的面積是．【答案】【分析】本題考查了已知比例系數(shù)求特殊圖形的面積，分別過點A、B作x軸的垂線，設(shè)，則，根據(jù)即可求解．【詳解】解：如圖，分別過點A、B作x軸的垂線，垂足分別為點E、F，設(shè)，則，則．∴圖中陰影部分的面積是：故答案為：17．如圖，點P是反比例函數(shù)圖象上一個動點，矩形的面積為a，直線分別交y軸、，x軸于點C，D，E，F(xiàn)，則．

【答案】【分析】本題考查了反比例函數(shù)綜合題，先求出反比例函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，可得，根據(jù)平行于軸的直線上的點的橫坐標(biāo)相等，平行于軸直線上的點的縱坐標(biāo)相等，可得，，根據(jù)勾股定理，可得、的長，再求解即可【詳解】解：設(shè)點坐標(biāo)為，由，即，所以反比例函數(shù)解析式為；一次函數(shù)中，當(dāng)時，，當(dāng)時，，∴即，，設(shè)橫坐標(biāo)為，縱坐標(biāo)為，則有，，則，，故答案為：18．如圖，分別過反比例函數(shù)圖象上的點，，作軸的垂線，垂足分別為，，，連接，，，再以，為一組鄰邊作平行四邊形，以，為鄰邊作平行四邊形，以此類推，則的縱坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為（用含n的代數(shù)式表示）

【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征求得點、的縱坐標(biāo)，由平行四邊形對邊平行且相等，求得點的縱坐標(biāo)是、的縱坐標(biāo)是、的縱坐標(biāo)是，據(jù)此可以推知點的縱坐標(biāo)是：．【詳解】解：點，在反比例函數(shù)的圖象上，，，，又四邊形，是平行四邊形，，，點的縱坐標(biāo)是：；同理求得，點的縱坐標(biāo)是：；點的縱坐標(biāo)是：；點的縱坐標(biāo)是：．故答案為：，．【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的圖象的綜合應(yīng)用．解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，求得點的縱坐標(biāo)為．三、解答題（一共8題，共86分）19．如圖，在直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點、．(1)點A、B的坐標(biāo)分別是、；(2)在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象；(3)垂直于軸的直線與函數(shù)、、的圖象分別交于點，、，、，，若，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)、(2)見解析(3)【分析】本題考查了正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象，解答過程中要注意數(shù)形結(jié)合．（1）聯(lián)立得，據(jù)此求解即可；（2）列表，描點，連線，即可畫出函數(shù)圖象；（3）函數(shù)、的圖象關(guān)于軸對稱，則的取值范圍即為的取值范圍．【詳解】（1）解：聯(lián)立得，即，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴點、坐標(biāo)為、；故答案為：、；（2）解：列表得x124y124描點，連線，函數(shù)圖象如圖，；（3）解：由圖象可知，若，垂直于軸的直線在軸與直線之間，函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，，由圖象，．20．已知，并且與成正比例，與x成反比例，當(dāng)時，；當(dāng)時，．(1)求y關(guān)于x的函數(shù)解析式；(2)求時的函數(shù)值．【答案】(1)；(2)3．【分析】（1）根據(jù)正比例和反比例函數(shù)的定義設(shè)表達(dá)式，再根據(jù)給出的自變量和函數(shù)的對應(yīng)值求出待定的系數(shù)則可；（2）將代入（1）中求值即可．此題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，設(shè)出解析式是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：設(shè)，，則，根據(jù)題意，得：，解得：，∴；（2）解：當(dāng)時，．21．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點，點．(1)填空：________，________，________；(2)請直接寫出不等式的解集______；(3)已知直線與x軸相交于點C，點P是反比例函數(shù)的圖象上一點，當(dāng)時，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)8；2；(2)或．(3)或【分析】（1）把點代入反比例函數(shù)可得反比例函數(shù)解析式，把點，代入一次函數(shù)，可得一次函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象，得出不等式的解集即可；（3）設(shè)點的縱坐標(biāo)為n，求出點的坐標(biāo)為，得出，根據(jù)三角形面積得出，求出或，最后求出點P的坐標(biāo)即可．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為，把點和點代入中，得，解得∴一次函數(shù)的表達(dá)式為；故答案為：8；2；．（2）解：根據(jù)函數(shù)圖象可知，當(dāng)或時，一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)圖象的上面，∴不等式的解集為：或．故答案為：或．（3）解：設(shè)點的縱坐標(biāo)為n，把代入直線得：，解得：，∴點的坐標(biāo)為，∴，∴，解得：或，∴點的坐標(biāo)為或【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，求一次函數(shù)解析，三角形面積的計算，求反比例函數(shù)解析，解題時注意：反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點坐標(biāo)同時滿足兩個函數(shù)解析式．22．越來越多的人選擇騎自行車這種低碳方便又健身的方式出行．某日，一位家住寶山的騎行愛好者打算騎行去上海蟠龍?zhí)斓?，記騎行時間為t小時，平均速度為v千米/小時（騎行速度不超過40千米/小時）．根據(jù)以往的騎行經(jīng)驗，v、t的一些對應(yīng)值如下表：v（千米/小時）15202530t（小時）21(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)，求出平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達(dá)式；(2)如果這位騎行愛好者上午8：30從家出發(fā)，能否在上午9：10之前到達(dá)上海蟠龍?zhí)斓?？請說明理由；(3)若騎行到達(dá)上海蟠龍?zhí)斓氐男旭倳r間t滿足，求平均速度v的取值范圍．【答案】(1)(2)不能，理由詳見解析(3)【分析】本題考查反比例函數(shù)的應(yīng)用，關(guān)鍵是求出反比例函數(shù)解析式．（1）由表中數(shù)據(jù)可得，從而得出結(jié)論；（2）把代入（1）中解析式，求出v，從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)和t的取值范圍得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)表中數(shù)據(jù)可知，，，平均速度v（千米/小時）關(guān)于行駛時間t（小時）的函數(shù)表達(dá)式；（2）騎行者在上午9：10之前不能到達(dá)上海蟠龍?zhí)斓?，理由：從上?：30到上午9：10，騎行者用時40分鐘，即小時，當(dāng)時，（千米/時），騎行速度不超過40千米/小時，騎行者在上午9：10之前不能到達(dá)上海蟠龍?zhí)斓兀唬?），當(dāng)時，，解得，平均速度v的取值范圍為．23．某水果生產(chǎn)基地在氣溫較低時，用裝有恒溫系統(tǒng)的大棚栽培一種新品種水果，如圖是試驗階段的某天恒溫系統(tǒng)從開啟到關(guān)閉后，大棚內(nèi)的溫度與時間之間的函數(shù)關(guān)系，其中線段、表示恒溫系統(tǒng)開啟后階段，雙曲線的一部分表示恒溫系統(tǒng)關(guān)閉階段，請根據(jù)圖中信息解答下列問題：(1)求這天的溫度y與時間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求恒溫系統(tǒng)設(shè)定的恒定溫度；(3)若大棚內(nèi)的溫度低于不利于新品種水果的生長，問這天內(nèi)，相對有利于水果生長的時間共多少小時？【答案】(1)；(2)；(3)小時．【分析】（）根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法即可求出函數(shù)解析式；（）由（）得，根據(jù)圖象即可求出恒定溫度；（）根據(jù)各時間段的函數(shù)解析式算出時的值，相減即可；此題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)和常函數(shù)解析式，解答時應(yīng)注意臨界點的應(yīng)用．【詳解】（1）設(shè)直線的函數(shù)解析式為：，根據(jù)圖象經(jīng)過點，∴，解得：，∴直線∴與時間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）由（）得與時間的函數(shù)關(guān)系式為；，則當(dāng)時，，∴恒定溫度為：；（3）設(shè)小時內(nèi)函數(shù)解析式為：，根據(jù)圖象經(jīng)過點∴，解得：，∴函數(shù)解析式為：，當(dāng)時，，解得：，當(dāng)時，，解得：，∴不低于時間共小時，即相對有利于水果生長的時間共17.5小時．24．在平面直角坐標(biāo)系中，正比例函數(shù)和反比例函數(shù)圖象都經(jīng)過點．(1)求的值；(2)點是軸上一點，且．①求的長；②如果點在直線上，當(dāng)?shù)拿娣e為時，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)①；②或【分析】本題考查了反比例函數(shù)的綜合題目，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，三角形的面積公式，勾股定理，（1）先把代入正比例函數(shù)中，求出點A的坐標(biāo)，再代入反比例函數(shù)解析式即可求解；（2）①過點A作軸于點H，設(shè)，根據(jù)勾股定理求解即可；②設(shè)，根據(jù)三角形面積公式求解即可；熟練掌握知識點并能根據(jù)題意畫出圖形是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）把代入正比例函數(shù)中，得，∴，再將代入，∴；（2）①如圖，過點A作軸于點H，∴，∵，∴，設(shè)，∴，∵，∴，∴，即，解得，∴，∴；②∵點在直線上，∴設(shè)，∵，∴，解得或，∴點C的坐標(biāo)為或．25．如圖，已知直線與雙曲線交第一象限于點．

(1)求點的坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；(2)將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至點，求直線的函數(shù)解析式；(3)在（2）的條件下，若點C是射線上的一個動點，過點作軸的平行線，交雙曲線的圖像于點，交軸于點，且，求點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】（1）代入直線解析式，可得出點的橫坐標(biāo)，再將點的坐標(biāo)代入反比例表達(dá)式即可求出；（2）根據(jù)題意，找出點的位置，過點作軸于點，過點作于點，可證，由此可得點的坐標(biāo)，由待定系數(shù)法求可求出直線的解析式；（3）根據(jù)題意作出圖形，由面積比可得設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由此表達(dá)點，的坐標(biāo)，進(jìn)而可得和的長度，得出關(guān)于的方程，解之即可.【詳解】（1）點在直線，，，∵點在第一象限，且點的縱坐標(biāo)為4，∴,將點代入直線，；（2）根據(jù)題意，找出點的位置，過點作軸于點，過點作于點，

，，，由旋轉(zhuǎn)可知，，，∴，∴直線的解析式為：；（3）如圖,，，

，，即，即，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，由（1）可知雙曲線的解析式為，，，，解得或(負(fù)值舍去)