第二講證明不等式的基本方法知識歸納課件人教A選修4-5幻燈片資料

從近兩年的高考試題來看，不等式的證明主要考查比較法與綜合法，而比較法多用作差比較，綜合法主要涉及基本不等式與不等式的性質(zhì)，題目難度不大，屬中檔題．在證明不等式時，要依據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧進行證明．如果已知條件與待證結(jié)論之間的聯(lián)系不明顯，可考慮用分析法；如果待證的命題以“至少”“至多”“恒成立”等方式給出，可考慮用反證法．在必要的情況下，可能還需要使用換元法、放縮法、構(gòu)造法等技巧簡化對問題的表述和證明．

比較法證明不等式的依據(jù)是：不等式的意義及實數(shù)比較大小的充要條件．作差比較法證明的一般步驟是：①作差；②恒等變形；③判斷結(jié)果的符號；④下結(jié)論．其中，變形是證明推理中一個承上啟下的關(guān)鍵，變形的目的在于判斷差的符號，而不是考慮差能否化簡或值是多少，變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運用一切有效的恒等變形的方法．綜合法證明不等式的思維方向是“順推”，即由已知的不等式出發(fā)，逐步推出其必要條件(由因?qū)Ч?，最后推導(dǎo)出所要證明的不等式成立．綜合法證明不等式的依據(jù)是：已知的不等式以及邏輯推證的基本理論．證明時要注意的是：作為依據(jù)和出發(fā)點的幾個重要不等式(已知或已證)成立的條件往往不同，應(yīng)用時要先考慮是否具備應(yīng)有的條件，避免錯誤，如一些帶等號的不等式，應(yīng)用時要清楚取等號的條件，即對重要不等式中“當(dāng)且僅當(dāng)……時，取等號”的理由要理解掌握．[例2]已知a，b，c為△ABC的三條邊，求證：a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)分析法證明不等式的依據(jù)也是不等式的基本性質(zhì)、已知的重要不等式和邏輯推理的基本理論．分析法證明不等式的思維方向是“逆推”，即由待證的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的充分條件(執(zhí)果索因)，最后得到的充分條件是已知(或已證)的不等式．當(dāng)要證的不等式不知從何入手時，可考慮用分析法去證明，特別是對于條件簡單而結(jié)論復(fù)雜的題目往往更為有效．分析法是“執(zhí)果索因”，步步尋求上一步成立的充分條件，而綜合法是“由因?qū)Ч保鸩酵茖?dǎo)出不等式成立的必要條件，兩者是對立統(tǒng)一的兩種方法．一般來說，對于較復(fù)雜的不等式，直接用綜合法往往不易入手，因此，通常用分析法探索證題途徑，然后用綜合法加以證明，所以分析法和綜合法可結(jié)合使用．用直接法證明不等式困難的時候，可考慮用間接證法予以證明，反證法是間接證法的一種．假設(shè)欲證的命題是“若A則B”，我們可以通過否定來達到肯定B的目的，如果只有有限多種情況，就可用反證法．用反證法證明不等式，其實質(zhì)是