2023-2024學(xué)年高一年級下冊數(shù)學(xué)人教版必修第二冊期末復(fù)習(xí)卷

期末復(fù)習(xí)卷-2023-2024學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019必修

第二冊

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的.

1.如圖所示的頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，則根據(jù)此圖作出以下判斷，正確的是（）

A.眾數(shù)C中位數(shù)＜平均數(shù)B.眾數(shù)＜平均數(shù)＜中位數(shù)

C.中位數(shù)＜平均數(shù)〈眾數(shù)D,中位數(shù)〈眾數(shù)＜平均數(shù)

2.已知向量Q4,OB，OC滿足：OA+OB+OC=Q＜且=|oc|=1,則三角形ABC

的形狀是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等邊三角形

3.設(shè)夕是兩個不同的平面，加，〃是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（）

A.若〃_zL〃，mA.a,nJI（3,則C尸

B.若〃?_L”，mLa,J■尸，貝!]a〃9

C.若加//〃，m±a,n1,則a〃/?

D.若mua,nu/3,則〃”歷

4.某數(shù)學(xué)興趣小組測量學(xué)校旗桿的高度，在旗桿底部。的正東方向A處，測得旗桿頂端尸

的仰角為60,在A的南偏西30方向上的8處，測得產(chǎn)的仰角為45（。，A,8在同一水平

面內(nèi)），A,B兩點間的距離為20m,則旗桿的高度OP約為（&*1.4,6=1.7）（）

A.10mB.14mC.17mD.20m

5.一個總體中共有10個個體，用簡單隨機抽樣的方法從中抽取一個樣本容量為3的樣本，

則某一個特定個體被抽到的概率為（）

6.用半徑為2石的半圓形鐵皮卷成一個圓錐筒，則該圓錐筒的高為（）

A.12B.6

C.9D.3

7.已知ABC是銳角三角形，若sin?A-sin?_B=sin8sinC,則，的取值范圍是（）

b

A.（0,2）B.（72,73）C.（形,2）D.（g,2）

8.我國古代《九章算術(shù)》將上下兩個平行平面為矩形的六面體稱為“芻童”.如圖，在芻童

ABCD-EFGH中,AB=4,AD=2,EF=8,EH=4,平面ABC。與平面EPG8之間的距離

為3,貝啦匕“芻童”的體積為（）

EF

A.36B.46C.56D.66

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.一只不透明的口袋內(nèi)裝有9張卡片，上面分別標有數(shù)字1,2,3,9.從袋中任意抽取

1張卡片，記“抽出的卡片號為1,4,7”為事件A,“抽出的卡片號小于7”為事件8,“抽出

的卡片號大于7”記為事件C.下列說法正確的是（）

A.事件A與事件C是互斥事件B.事件A與事件3是互斥事件

C.事件A與事件B相互獨立D.事件8與事件C是對立事件

10.設(shè)復(fù)數(shù)z=等，則下列命題結(jié)論不正確的是（）

2+1

A.z的虛部為1

B.|Z|=A/2

C.N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限

D.z是方程f一2元+2=0的根

試卷第2頁，共6頁

11.如圖，在正方體ABC。-AAGA中，若尸為棱2耳的中點，。點在側(cè)面ABBH（包括

邊界）上運動，且平面PCA，下面結(jié)論正確的是（）

A.。點的運動軌跡為一條線段

7T

B.直線。。與AD所成角可以為:

C.三棱錐尸-CRQ的體積是定值

9

D.若正方體的棱長為1,則平面PC。與正方體的截面的面積為3

O

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知復(fù)數(shù)z=l+2i（其中i為虛數(shù)單位），貝ijlmz=.

13.已知向量。=（-1,2）,則與〃垂直的單位向量的坐標為.

14.如圖，△O'A8'是水平放置的的斜二測直觀圖，若

O'A'=3,OB'=2>/2,XA'O'B'=45,則Q4B的面積為.

四、解答題：本題共5小題，第15小題13分，第16、17小題15分，第18、19小題17

分，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知向量d=（3,l）,b=（L4）（2eR）

⑴若求4的值;

（2）若求W的值.

16.已知復(fù)數(shù)z=(2—a)+(2+a)i,其中i為虛數(shù)單位，aeR

⑴若z-N=16,求實數(shù)”的值；

⑵求|z-N的最小值，并指出|z-2|取到最小值時實數(shù)a的值.

17.如圖，在平行四邊形ABC。中，已知A=q,AB=2,AD=1,E為線段A8的中點,

廠為線段BC上的動點(不含端點).記BF=mBC.

(1)若機=5,求線段EF的長；

(2)若根=；,設(shè)4B=KE+M>B,求實數(shù)％和，的值；

(3)若CE與交于點G,AG//EF,求向量GE與GF的夾角的余弦值.

試卷第4頁，共6頁

18.隨著社會經(jīng)濟的發(fā)展，物業(yè)管理這個行業(yè)發(fā)展迅猛，某小區(qū)居民代表組織居民對所屬物

業(yè)公司的服務(wù)進行問卷調(diào)查，隨機選取了200戶居民的問卷評分(得分都在50~100分內(nèi)，

滿分100分)，并將評分按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成5組，繪制成如

圖所示的頻率分布直方圖.

個頻率

0.030一…-....「

0.025...........................1

0.020------------r—

a-------------------

0.010--------r—

05060708090100分數(shù)/分

注：本次評分不低于80分的居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)；成績低于80分的居民支持更

換新物業(yè)公司.

⑴求這200戶居民本次問卷評分的中位數(shù)；

(2)若該小區(qū)共有居民1200戶，試估計該小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的有多少戶？

⑶按比例分配的分層隨機抽樣的方法從評分在[50,60),[90,100]內(nèi)的住戶中選取5戶，再從

這5戶中任意選取2戶，求這2戶中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率.

19.如圖，等腰梯形A8CD為圓臺的軸截面，E,尸分別為上下底面圓周上的點，且

E,D,歹四點共面.

E

⑴證明：BFDE.

(2)已知AD=2,BC=4,四棱錐C-8EZ中的體積為3.

①求三棱錐B-ADE的體積；

②當母線與下底面所成的角最小時，求二面角的正弦值.

試卷第6頁，共6頁

參考答案：

1.A

【分析】根據(jù)給定條件，利用眾數(shù)、中位數(shù)的意義，結(jié)合頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)時，

中位數(shù)與平均數(shù)的關(guān)系判斷即可.

【詳解】由頻率分布直方圖知，數(shù)據(jù)組的眾數(shù)為左起第2個小矩形下底邊中點值，

顯然在過該中點垂直于橫軸的直線及左側(cè)的矩形面積和小于05則眾數(shù)〈中位數(shù)，

由頻率分布直方圖呈現(xiàn)右拖尾形態(tài)，得中位數(shù)〈平均數(shù)，

所以眾數(shù)〈中位數(shù)〈平均數(shù).

故選：A

2.D

【分析】由三角形重心、外心性質(zhì)得到。是三角形ABC的重心、外心，從而得到三角形ABC

為等邊三角形.

【詳解】因為Q4+O8+OC=0,所以0是三角形ABC的重心，又因為|Q4|=|O4=|OC|=1,

所以。是三角形ABC的外心，

所以三角形ABC是等邊三角形.

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)空間中線線、線面、面面的位置關(guān)系一一判斷即可.

【詳解】對于A：若〃z_L",m±a,貝!|"ua或"〃a,又“//夕，則a〃6或a與夕相交，相

交也不一定垂直，故A錯誤；

對于B：若〃2J_〃，mA_a,貝！Jua或nila,

若nHa,則在平面a內(nèi)存在直線c,使得〃//c,又"工B,則c，尸，又cua,所以a，#；

若wua,又nl/3,所以尸；

綜上可得，由根_L〃，〃z_La,77，尸，可得。_L〃，故B錯誤；

對于C：若瘋/”，m±a,則〃_La,又〃a,夕是兩個不同的平面，則a〃￡,故C

正確；

對于D：若all/3,mua,nu/3,貝打九〃九或加與〃異面，故D錯誤.

故選：C.

4.C

【分析】利用仰角、方位角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.

答案第1頁，共13頁

【詳解】

hhii

如圖，設(shè)8=力米，則。A==亍米，OB=——=h^z.

tan60J3tan45

在.。AB中，由題意可得，ZOAB=60,

[7丫+20i

由余弦定理可得cosZOAB=W,------------=cos60=->

、h”2

2—產(chǎn)x20

V3

解得〃=log々17米.

故選：C.

5.A

【分析】根據(jù)古典概型的概率公式計算可得.

3

【詳解】依題意每個個體被抽到的概率均為5，

3

則某一個特定個體被抽到的概率為歷.

故選：A

6.D

【分析】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為心母線為/,依題意可得/、廠，再由勾股定理計算

可得.

【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為廣，高為心母線為/，依題意可得/=26，2.=2后,

所以r=石，則h=J產(chǎn)一產(chǎn)=_(6)=3.

故選：D

7.B

【分析】先利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換求得A=23,

答案第2頁，共13頁

再求得角8的范圍，結(jié)合正弦定理邊角變換與倍角公式即可得解.

【詳解】已知sin?A-sin?3=sin5sinC,由正弦定理得/一〃=反，得a?=及+兒,

22

由余弦定理儲=Z?+c-2bccosA,貝!J"+Z?c=b2+c2—2/?ccosA，§9b=c-2bcosA,

由正弦定理得sinB=sinC-2sinBcosA，

因為。=兀一(A+B),則sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB

所以sinB=sinAcosB-cosAsinB,即sinB=sin(A-B).

因為ABC為銳角三角形，則一<A—5<G，

2222

又y=sinx在［-卦］上單調(diào)遞增，所以3=A-6,則A=25,

0<B<-

2

TTTTJT

因為ABC為銳角三角形，0<A=22<7,解得

264

71

0<C=K-3B<-

［2

所以瞋包工=包至=2sin28s2=2cosBe(8,⑹,

bsinBsinBsinBv7

故選：B.

8.C

【分析】首先說明幾何體為四棱臺，再代入臺體體積公式，即可求解.

【詳解】由鈣〃￡F,ADIIEH,BC//FG,DC//HG,且理=絲=史=空，

EFEHFGHG

則區(qū)4,尸8。（7,“。交于同一點尸，該“芻童”為四棱臺，矩形"。。的面積為4、2=8,

矩形EFG〃的面積為8x4=32,

且上下底面的高為3,所以四棱臺的體積M=；（8+32+反互卜3=56.

故選：C

9.AC

答案第3頁，共13頁

【分析】根據(jù)題意利用列舉法求QA氏c和P（A）,尸（3）,結(jié)合互斥事件、獨立事件和對立

事件的定義逐項分析判斷.

【詳解】由題意可知:樣本空間。={1,2,3,4,5,6,7,8,9},A={1,4,7},8={1,2,3,4,5,6},C={8,9},

貝伊（。）=9,〃（4）=3,48）=6,可得尸解）=嵩=§，尸①）=扃=§，

對于選項A：因為AC=0,所以事件A與事件C是互斥事件，故A正確；

對于選項B：因為45={1,4}工0,所以事件A與事件B不是互斥事件，故B錯誤；

對于選項C：由選項B可知w（AB）=2,則尸（A8）=京『=

可知尸（AB）=P（A）尸（3）,所以事件A與事件B相互獨立，故C正確;

對于選項D：因為3uC={1,2,3,4,5,6,8,9}H。，

所以事件8與事件C不是對立事件，故D錯誤；

故選：AC.

10.BCD

【分析】利用復(fù)數(shù)的概念及運算就可以作出判斷.

l+3i_（l+3i）（2-i）_5+5i

【詳解】由2==l+i,可得:

2+i-（2+i）（2-i）-5

所以2的虛部為-1,即A是錯誤的；

由z=l+i,可知目=血，即B是正確的;

由N=l-i可知在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點（1,-1）在第四象限，即C是正確的；

由方程V-2x+2=0的根為生迎一1土i,即D是正確的；

2

故選：BCD.

11.ACD

【分析】不妨設(shè)正方體的棱長為1,對于A：可證平面DEb〃平面PCD-進而可知Qe跖，

即可得結(jié)果；對于B：分析可知直線〃。與AD所成角為且tanWQ=AQ,分析A。

的長度即可；對于C：分析可知麻〃平面PC2,根據(jù)平行的定值結(jié)合錐體體積公式分析判

斷；對于D：分析可知平面PCR與正方體的截面為四邊形CRGP,求長度即可得面積.

答案第4頁，共13頁

【詳解】不妨設(shè)正方體的棱長為1,

對于選項A：取AB,AA的中點E,尸，連接4仇。瓦。尸，

由題意可知：AA〃BC,且A2=3C,

可知ABCD］為平行四邊形，則A,B//CD,,

又因為E,尸分別為AB,A4的中點，則4出〃所，可得EF〃CR,

且EP.平面PCD-CPU平面PC。，可得E尸〃平面PCQ,

因為尸,P分別為AV網(wǎng)的中點，則FP〃AB,且FP=AB,

又因為CD〃A2,且CD=AB,可得FP〃CD,且尸P=CD,

可知EPCD為平行四邊形，則。尸〃CP,

且。FU平面PCQ,CPu平面PC。-可得。尸〃平面PCQ,

由EFIDF=F,平面DEF,可得平面DEF〃平面PCR,

若。Q〃平面PC2，可知。Qu平面?！晔?，

且。€側(cè)面AB4A，側(cè)面平面0￡尸=跖，可知Qe防，

所以。點的運動軌跡為一條線段E尸，故A正確；

對于選項B：因為。點的運動軌跡為線段E尸，

則直線DQ與AD所成角為NAOQ,

因為AD_L側(cè)面ABB^,OQu側(cè)面ABBtAt,則AD_L￡＞。，

在RtZXAOQ中，tanZA￡)Q=^=AQ,

AD

1jr

又因為A￡=A尸=5，NE4F=5,則有：

答案第5頁，共13頁

當。為線段所的中點時，AQ取到最小值正；

4

當。為線段班的端點時，AQ取到最大值

則叱悴』，即tanZADQ=A吟<1,可知NADQ<(,故B錯誤；

對于選項C：由選項A可知：平面￡>EF〃平面PCD-且EFu平面DEF,

則EF〃平面PC。，

且Qe所，可知點。到平面PCR的距離為定值，

即三棱錐Q-PCA的高/z為定值，且VPC?的面積心.四為定值，

所以三棱錐P-CD.Q的體積VP_CDiQ=VQ_PCDi=1/2.S2coi是定值，故C正確;

對于選項D：取4月的中點G,連接尸G,RG,

因為G,P分別為A片，2片的中點，則G尸〃AB,

由選項A可知：AB〃CA，則G尸〃C2，

所以平面PCD,與正方體的截面為四邊形CD.GP,

由題意可知：CD[=2GP=垃,D[G=CP=6,

答案第6頁，共13頁

_372

則等腰梯形CQGP的高d=

一丁'

所以截面的面積為(拒+\2二”，故D正確；

212J4o

故選：ACD.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵在于證明平面。跖〃平面PC2,結(jié)合面面平行的性質(zhì)分

析。點的運動軌跡，進而逐項分析求解.

12.2

【分析】根據(jù)虛部的定義直接求解即可.

【詳解】因為z=l+2i,所以Imz=2.

故答案為：2

13+［述/

【分析】設(shè)與向量a垂直的單位向量為b=(x,y),利用與向量￡垂直，且為單位向量得到關(guān)

于蒼y的方程組，再解方程組可得答案.

【詳解】設(shè)與向量a垂直的單位向量為6=(x,y),

2君275

X=------X=--------

—x+2y=05

則3=i,解得￡，或“

小

、

由I、］A(2非非2下

所以匕=—7-，—，或人丁F

(275

故答案為：士黃,

14.672

【分析】利用直觀圖與原圖形的面積比求解即可.

【詳解】由題意得S“?=Lx3x2應(yīng)x1=3,而色迎=也,

,22SOAB4

答案第7頁，共13頁

3、5f-

故—=（，解得5卸=60,故，。出的面積為6&.

'OAB4

故答案為：6夜

15.⑴;；

⑵而

【分析】（1）根據(jù)向量平行滿足的坐標關(guān)系即可求解,

（2）根據(jù)向量垂直滿足的坐標關(guān)系可得幾=-3,由模長公式即可求解.

【詳解】（1）由題意知3/l=ln4=g

(2)a-Lb>a-b=3+A=0^>A=—3>|^|=-^1+(—3)=>/10

16.⑴a=±2

⑵|z-2|最小值為行，止匕時a=-l

【分析】（1）化簡得至（jz.z=8+2/=16，求出Q=±2；

（2）|z-2卜j2（a+l『+2,從而得到a=-L時，|z-2|取得最小值，最小值為行.

【詳解】（1）z=（2-a）-（2+a）i,z-z=（2-a）2+（2+a）2=8+2a2=16,

解得a=±2,

經(jīng)檢驗，〃=±2滿足要求；

（2）|z-2|=|-^+（2+tz）i|=+（2+?）2=y/la2+46Z+4

=^2（a+l）2+2,

當a=-L時，|z-2|取得最小值，最小值為友,

故|z-2|最小值為后，此時a=-l.

17.⑴立

2

⑶當

答案第8頁，共13頁

【分析】(1)由向量的線性運算可得所兩邊平方可求解；

22

一3--1―

(2)由已知可得。尸=DC+C尸--AD,CE=CB+BE=-AD一一AB,可得結(jié)論；

42

1993

(3)利用向量的線性關(guān)系可得GE=-1AB-GF=--AD+—AB,計算可得結(jié)論.

【詳解】(1)若根=一，則JBE=--AB9

2222

所以￡F=5尸一3石=工4。+工43,

22

21.122117

兩邊平方可得砂一=-(AD+AB)2=-(AD+2AD.AB+AB")=-(I2+2xlx2x-+22)=-,

44'424

所以跖=立；

2

111.3

(2)若用=一，則5尸=-3C=-A。，所以。尸=一一AD

4444f

3.

DF=DC+CF=AB-一AD?,

4

CE=CB+BE=-AD-LAB②,

2

6X

由①②可得A3=-五CE+三。/；

(3)EF=EB+BF=-AB+mBC=-AB+mAD,

22

EC=EB+BC=-AB+BC=-AB+AD,

22

^EG=AEC=-AB+AAD,^AG=AE+EG=AE+-AB+AAD=^-^AB+AAD,

222

1

又AG〃所，所以=1①，

~T

由EGuaEC，可得GE=XCE，所以CE—C?=2CE,所以CG=(1-㈤CE,

1I-；

所以CG=(l-X)CE=(l—；l)(—5AB—5C)=(l—；l)C3+-^-C。，

由=機5C，可得。尸=(1—加)C5,CB=J-CF

1-m

1-21-2

所以CG=(1—X)CE=------CF+——CD,

1-m2

又，EG三點共線，所以；2+。=1②，

1-m2

答案第9頁，共13頁

聯(lián)立①②解2，加=;,

所以石G二」AB+」A。，所以G石=——,

4242

CG=-CB+-CD=--BC--DC=--AD--AB

242424f

GF=CF-CG=--AD-(--AD--AB)=--AD+-AB,

32464

<11V11A112121

所以GEG/=——AD+-AB-一一AB一一AD\=—ADAB+—AD——AB一一ADAB

I64八42J2412168

-241248-4,

.211121121113

又GE=(——AB——AD)92=—AB+-AB-AD+-AD=—+—+—=

4216444444

所以|GE|=立，同理可得|GF|=也，

26

所以cosGE,GF=上4幣=-^―,

【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第三問的關(guān)鍵是用基底表示向量后，求向量?；蛘邐A角就可以利

用公式直接計算.

18.⑴變.

3

(2)480

【分析】(1)在頻率分布直方圖中，所有小長方形面積之和等于1,解出。的值，再根據(jù)中

位數(shù)的公式計算得出結(jié)果；

(2)先計算小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率，在計算小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公

司延續(xù)服務(wù)的戶數(shù)；

(3)按比例分配的分層隨機抽樣的方法從評分在［50,60),［90,100］內(nèi)的住戶中選取的戶數(shù),

再從這5戶中任意選取2戶，利用古典概型，求這2戶中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)

服務(wù)的概率；

【詳解】(1)由圖知，10*(0.010+4+0.020+0.025+0.03。)=1,解得a=0.015.

評分在［50,70)的頻率為10x(0.010+0.020)=0.3<0.5；

答案第10頁，共13頁

評分在［50,80)的頻率為0.3+10x0.030=0.6>0.5,故中位數(shù)在［70,80)之間.

設(shè)這200戶居民本次問卷評分的中位數(shù)為x,

貝70)x0.03+0.3=0.5,

解得x二專，

故這200戶居民本次問卷評分的中位數(shù)為2旨30.

(2)由圖知，評分在［80,100］的頻率為1—0.6=0.4,

故可估計該小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率約為0.4,

估計該小區(qū)居民支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的有1200x0.4=480戶.

(3)由(1)知，評分在［50,60)的頻數(shù)為0.1x200=20,

評分在［90,100］的頻數(shù)為0.15x200=30.

按比例分配的分層抽樣的方法從中選取5戶，

on

則評分在［50,60)內(nèi)被抽取棄5=2戶，

an

分別記為4,%,評分在［90,100］內(nèi)被抽取2、5=3戶，分別記為4也也.

從中任意選取2戶，有。1%,。耳貼2，岫3，〃24，。282，。2%他2，姑3也，3，共1。種選法，

其中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的選法有

01bl,磔2，岫3，a2bl,a2b2,a2b3，b1b2,bxb3,b2b3,共9種，

Q

??.這2戶中至少有1戶支持所屬物業(yè)公司延續(xù)服務(wù)的概率P=

19.(1)證明見解析

(2)①；；②烏

23

【分析】(1)由面面平行的性質(zhì)定理即可證明；

(2)①將圓臺的母線延長交于一點P,連接尸E,延長PE交底面于點。，連接8。，CQ,

可推得SABOF=2SA8￡)E,從而得％—ADE=,求得結(jié)論；

②在等腰梯形ABCD中，過點。作邊BC的垂線DG,垂足為G,可證"CG為母線與下底

面所成角，由tan/OCG=DG可知，要使/DCG最小，只要DG最小即可，進而求得DG的

答案第11頁，共13頁

最小值，即可求得結(jié)論.

【詳解】(1)證明：在圓臺。。|中，平面AT>￡V/平面3PC,

因為平面BEDF'平面ADE=DE,平面BEDF平面BFC=BF,

所以BF//DE；

(2)①將圓臺。。?的母線延長交于一點尸，連接P