2023-2024學年人教版八年級下學期期末數學試卷（一）

2023-2024學年八年級（下）期末數學試卷

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.（VS）3=V3B.&+夷=2C.Vs-V3=V2D.VsxV3=3

3

3.（3分）2021年5月22日，雜交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的團隊培育的第三代雜交水稻雙季

畝產突破3000斤.為了考察A、2兩塊試驗田中稻穗生長情況，從兩塊試驗田分別抽取了200株稻穗

進行單株稱重.若要選出稻穗生長更均衡的實驗田，需要關注以下哪個數據（）

A.平均數B.中位數C.方差D.眾數

4.（3分）勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿.在注水過程中，容器內水面高度隨時間r

變化的大致圖象是（）

5.（3分）在四邊形ABCD中，對角線AC,8。相交于點。，下列說法正確的是（）

A.如果AB=C￡?,AD//BC,那么四邊形ABC。是平行四邊形

B.如果AC=BD,ACLBD,那么四邊形ABC。是矩形

C.如果ACLBD,那么四邊形是菱形

D.如果AO=CO,BO=DO,BC=CD,ZABC=9Q°,那么四邊形ABC。是正方形

6.（3分）一次函數＞=-2023X+2024的圖象不經過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

7.如圖，在3X3的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,B,C都在格點上，為△ABC的高，則

AD的長為（）

14>/10C7同D.嚕

10,20

8.（3分）如圖，將平行四邊形ABC。沿對角線AC折疊，使點3落在點3處，若/1=N2=36°,ZB

為()

C.108°D.126°

9.（3分）如圖，正方形A8C。的對角線AC,交于點。，M是邊AD上一點，連接OM,過點。作

ONLOM,交CD于點、N.若四邊形MONZ）的面積是1,則A2的長為（）

A.1B.V2C.2D.272

10.（3分）己知直線人：>=依+6與直線/2：y=-ax+相都經過C（-旦，,直線八交y軸于點3（0,

255

4）,交無軸于點A,直線/2交y軸于點尸為y軸上任意一點，連接抬、PC,有以下說法：

,f6

y=kx+b乂=亍

①方程組,_1的解為，；

y=-2x+m卜得

②SAABD=6；

③當R1+PC的值最小時，點尸的坐標為（0,1）.

其中正確的說法是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

二、填空題（每小題3分，共21分）

11.（3分）若代數式/前有意義，則實數尤的取值范圍是.

12.（3分）點（-1,yi）、（2,”）是直線y=2x+b上的兩點，則yiy2（填“〉”或“=”或

13.（3分）如圖是氣象臺預報我區(qū)4月10日至4月19日每天的最高氣溫折線圖，由圖中信息可知我區(qū)

這10天最高氣溫的中位數為℃.

14.（3分）如圖，在團ABCQ兩對角線A,8。相交于點O,且AC+B￡>=36,AB=U,則△C。。的周長

是.

15.（3分）最簡二次根式/3a+l與我是同類二次根式,則。的取值為.

16.（3分）如圖，一次函數y=x+4與坐標軸分別交于A,3兩點，點尸，C分別是線段上的點,

且/OPC=45°,PC=PO,則點P的坐標為.

17.（3分）如圖，在△ABC,ZA=90°,AB=AC.在AABC內作正方形431clz）1,使點4,以分別

在兩直角邊AB,AC上，點。，在斜邊8C上，用同樣的方法，在△C1B1C內作正方形A282c2。2；

在△CB2c2作正方形A3B3C3D3…，若AB=1,則正方形A2021B202IC2021￡>2021邊長

為_______________________

三、解答題

18.（5分）計算：-22+71^-2X24（-3產

19.（7分）如果，3。是Rt^ABC斜邊上的中線，延長8。到點。，使。0=8。，連接A。，CD.四邊

形ABC。是矩形嗎？請說明理由.

20.（8分）為提高學生的愛國意識，陶冶愛國情操，某中學舉行了以“厲害了，我的國”為主題的書法

繪畫大賽，該校九年級共有三個班都參加了這次活動，三個班根據初賽成績分別選出了10名同學

參加決賽，這些選手的決賽成績（滿分100分）如下表所示：

收集數據：

決賽成績（單位：分）

九80868880889980749189

年

級

1

班

九85858797857688778788

年

級

2

班

九82807878819697879284

年

級

3

班

數據分析：

（1）請?zhí)顚懴卤恚?/p>

平均數（分）眾數（分）中位數（分）

九年級1班85.587

九年級2班85.585

九年級3班7883

得出結論：

（2）如果在每個班級參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽，你認為哪個班級的實力更強一些？

請簡要說明理由.

21.（9分）如圖，在中，ZACB=90°,。、E分別是邊AC、AB的中點，連接CE、DE,過。

點作DF//CE交BC的延長線于F點.

（1）證明：四邊形。ECP是平行四邊形；

（2）若AB=13cs,AC=5cm,求四邊形。ECF的周長.

A

D\E

FCB

22.（10分）某校開展愛心義賣活動，同學們決定將銷售獲得的利潤捐獻給福利院.初二某班的同學們準

備制作A、8兩款掛件來進行銷售.已知制作3個A款掛件、5個8款掛件所需成本為46元，制作5

個A款掛件、10個2款掛件所需成本為85元.已知A、B兩款掛件的售價如下表：

手工制品A款掛件8款掛件

售價（元/個）128

（1）求制作一個A款掛件、一個2款掛件所需的成本分別為多少元？

（2）若該班級共有40名學生.計劃每位同學制作2個A款掛件或3個8款掛件，制作的總成本不超

過590元，且制作8款掛件的數量不少于A款掛件的2倍.設安排機人制作A款掛件，銷售的總利潤

為w元.請寫出卬（元）與機（人）之間的函數表達式，求出自變量的取值范圍，并說明如何安排，使

得總利潤最大，最大利潤是多少？

23.（10分）已知在菱形ABC。中，點尸在CD上，連接AP.

（1）在BC上取點Q,使得/朋。=/8,

①如圖1,當API.CO于點尸時，線段AP與AQ之間的數量關系是.

②如圖2,當AP與不垂直時，判斷①中的結論是否仍然成立，若成立，請給出證明，若不成立，

則需說明理由.

（2）點尸、Q分別在CD和BC的延長線上，當時，CQ和DP會不會相等？如能相等請

直接寫出此時應滿足的條件，如不能相等這說明理由.

圖1圖2圖3

24.（12分）在平面直角坐標系中，BC//OA,BC=3,OA=6,AB=3娓.

（1）直接寫出點2的坐標；

（2）已知。、E（2,4）分別為線段。C、QB上的點，。。=5,直線。E交x軸于點F,求直線。E的

解析式；

(3)在(2)的條件下，點M是直線。E上的一點，在x軸上方是否存在另一個點M使以。、D、M、

N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由?

2023-2024學年八年級（下）期末數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每小題3分，共30分）

1.（3分）下列各式中，一定是二次根式的是（）

22

A.Va+1B.Va-1C.a-iD.a+2

【分析】根據形如4QN0）的式子叫做二次根式判斷即可.

【解答】解：A、當。+1<0時，孤石不是二次根式，故此選項不符合題意；

B、當。-1<0時，不是二次根式，故此選項不符合題意；

C、當。=0時，G2-1=-KO,J國二不是二次根式，故此選項不符合題意；

。、，/+2>0,]&2+2是二次根式,故此選項符合題意；

故選：D.

2.（3分）下列計算正確的是（）

A.（VS）3=V3B.&+?上c.V5-V3V2D.V3xV3=3

3

【分析】直接利用立方根的性質、二次根式的乘除運算法則、二次根式的加減運算法則分別化簡，進而

得出答案.

【解答】解：4（病）3=3,故此選項不合題意；

B.a小舊=逅，故此選項不合題意；

3

C.返-我無法合并，故此選項不合題意；

D.aX?=3,故此選項符合題意；

故選：D.

3.（3分）2021年5月22日，雜交水稻之父袁隆平院士因病去世，他的團隊培育的第三代雜交水稻雙季

畝產突破3000斤.為了考察A、8兩塊試驗田中稻穗生長情況，從兩塊試驗田分別抽取了200株稻穗

進行單株稱重.若要選出稻穗生長更均衡的實驗田，需要關注以下哪個數據（）

A.平均數B.中位數C.方差D.眾數

【分析】根據方差的意義求解即可.

【解答】解：二.要選出稻穗生長更均衡的實驗田，

需要關注數據的方差,

故選：C.

4.（3分）勻速地向如圖所示的容器內注水，直到把容器注滿.在注水過程中，容器內水面高度〃隨時間r

變化的大致圖象是（）

【分析】根據圖象可知，物體的形狀為首先小然后變大最后又變小.故注水過程的水的高度是先快后慢

再快.

【解答】解：因為根據圖象可知，物體的形狀為首先小然后變大最后又變小，

所以注水過程的水的高度是先快后慢再快，且第三段的上升速度比第一段慢，故選項C正確.

故選：C.

5.（3分）在四邊形A8CD中，對角線AC,8D相交于點0,下列說法正確的是（）

A.如果42=8,AD//BC,那么四邊形是平行四邊形

B.如果AC=BD,ACLBD,那么四邊形ABCD是矩形

C.如果ACLBD,那么四邊形是菱形

D.如果AO=CO,BO=DO,BC=CD,ZABC=90°,那么四邊形ABC。是正方形

【分析】根據各個選項中的說法可以判斷是否正確，并對錯誤的舉出反例即可.

【解答】解：如果AB=CQ,AD//BC,那么四邊形ABC。是不一定是平行四邊形，如等腰梯形，故選

項A不符合題意；

如果AC=B。，ACLBD,那么四邊形ABC。不一定是矩形，如等腰梯形中的對角線可能相等且垂直，

故選項B不符合題意；

如果AB=BC,AC±BD,那么四邊形ABC。不一定是菱形，如直角梯形，故選項C不符合題意；

如果AO=C。，BO=DO,BC=CD,ZABC=90°,那么四邊形ABCD是正方形，故選項。符合題

思；

故選：D.

6.（3分）一次函數y=-2023尤+2024的圖象不經過的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】根據一次函數圖象與系數的關系進行解答即可.

【解答】解：?在一次函數y=-2023尤+2024中，-2023<0,b=2024>0,

一次函數經過第一、二、四象限，不經過第三象限.

故選：C.

7.如圖，在3X3的網格中，每個小正方形的邊長均為1,點A,BC,都在格點上，為△ABC的高，則

AD的長為（）

14V10C入》D.嚕

10-20

【分析】根據題意利用割補法求得△4BC的面積，利用勾股定理算出8C的長，再利用等面積法即可求

得A。的長.

【解答】解：由題可得:

1117

SAABC=3X3-lX3Xy-2X3Xy-iX2Xy^

BC=712+32=V10-

ADXA/10

解得：仙堂回，

10

故選：D.

8.（3分）如圖，將平行四邊形ABC。沿對角線AC折疊，使點8落在點B處，若/1=N2=36°,ZB

為（）

A

A.36°B.144°C.108°D.126°

【分析】根據翻折可得N8'AC=ZBACf根據平行四邊形可得所以N84C=NDCA,從而

可得N1=2N5AC,進而求解.

【解答】解：根據翻折可知：NVAC=ZBAC,

,/四邊形ABCD是平行四邊形，

：.DC//AB,

：.ZBAC=ZDCA,

：.ZBAC=ZDCA=ZBrAC,

VZ1=ZBZAC+ZDCA,

：.Z1=2ZBAC=36°,

：.ZBAC=18°,

AZB=180°-ABAC-Z2=180°-18°-36°=126°,

故選：D.

9.（3分）如圖，正方形ABC。的對角線AC,BD交于點O,M是邊A。上一點，連接OM,過點。作

ON±OM,交CD于點、N.若四邊形MOND的面積是1,則AB的長為（）

A.1B.V2C.2D.272

【分析】根據正方形的性質，可以得到△DOM之△CON,然后即可發(fā)現(xiàn)四邊形MOND的面積等于△

QOC的面積，從而可以求得正方形A3CD的面積，從而可以求得A3的長.

【解答】解：?.?四邊形ABC。是正方形，

ZMDO=ZNCO=45°,OD=OC,ZDOC=90°,

：.ZDON^-ZCON=90°,

'：ONLOM,

:./MON=90°,

:.NDON+/DOM=90°,

：.ZDOM=ZCON,

在△QOM和△CON中，

'NDOM=NCON

?OD=OC，

ZMDO=ZNCO

：./\DOM^/\CON（ASA）,

?/四邊形MOND的面積是1,四邊形MOND的面積=△￡>0M的面積+ZXOON的面積，

四邊形MOND的面積=z\CON的面積+ZV30N的面積=zM）OC的面積，

...△QOC的面積是1,

正方形ABCD的面積是4,

.\AB2=4,

：.AB^2,

故選：C.

10.（3分）己知直線/i：y=fcr+6與直線/2：y=-L+"都經過C（-旦，晟），直線人交y軸于點2（0,

255

4）,交x軸于點A,直線/2交y軸于點。，尸為y軸上任意一點，連接加、PC,有以下說法：

（（6

y=kx+b乂=方

①方程組（_1的解為，；

y=-2x+m[y=f

②SAABD=6；

③當抬+PC的值最小時，點P的坐標為（0,1）.

其中正確的說法是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【分析】根據一次函數圖象與二元一次方程的關系，利用交點坐標可得方程組的解；求得8。和AO的

長，根據三角形面積計算公式，即可得到△48。的面積；根據軸對稱的性質以及兩點之間，線段最

短，即可得到當%+PC的值最小時，點尸的坐標為（0,1）.

【解答】解：①,直線/i：y=kx+6與直線/2：y=-L+切都經過C（一旦，—）,

255

6

y=kx+bx~5

，方程組1的解為，&,故①正確，符合題意;

y=-^-x+in

yT

②把C(-—,—)代入直線fo：y=--x+m,可得m=l,

552

y=-L;+l中，令x=0,貝!]y=l,

-2

：.D(0,1),

：.BD=4-1=3,

在直線/i：y=2x+4中，令y=0,貝Ux=-2,

AA(-2,0),

：.AO=2,

.'.SAABZ)=—X3X2=3,故②錯誤，不符合題意；

2

③點A關于y軸對稱的點為A（2,0）,

由點C、A'的坐標得，直線CV的表達式為：y^-lx+1,

2

令x=0,貝!]y=l,

當朋+PC的值最小時，點尸的坐標為（0,1）,故③正確，符合題意;

故選：B.

二、填空題（每小題3分，共21分）

11.（3分）若代數式J嬴有意義，則實數尤的取值范圍是G-5.

【分析】根據被開方數為非負數進行解題即可.

【解答】解：：代數式J前有意義，

；.x+520,

解得：了2-5,

故答案為：x2-5.

12.（3分）點（-1,yi）、（2,*）是直線y=2x+6上的兩點，則vi<y2（填“>”或“="或）.

【分析】利用一次函數的增減性判斷即可.

【解答】解：在一次函數y=2x+b中，

,:k=2>0,

隨x的增大而增大，

V-1<2,

.'.vi<y2,

故答案為：<.

13.（3分）如圖是氣象臺預報我區(qū)4月10日至4月19日每天的最高氣溫折線圖，由圖中信息可知我區(qū)

這10天最高氣溫的中位數為16.5℃.

【解答】解：把這10天最高氣溫從小到大排列，排在中間的兩個數分別為16,17,故中位數為近且工

2

=16.5（℃）,

故答案為：16.5.

14.（3分）如圖，在團A3CQ兩對角線A,相交于點O,且AC+8O=36,AB=llf則△COO的周長

是29

【分析】根據平行四邊形的對角線互相平分可得出OC+OO=」（AC+B。），再由平行四邊形的對邊相

等可得AB=C￡）=11,繼而代入可求出△08的周長.

【解答】解：：四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AB=CD^U,

：.OC+OD=1.（.AC+BD）=18,

2

:.△OCD的周長=OC+OO+CZ）=18+11=29.

故答案為：29.

15.（3分）最簡二次根式圾巨與血是同類二次根式，則a的取值為1.

一3一

【分析】根據最簡二次根式及同類二次根式的定義列方程求解.

【解答】解：：最簡二次根式后了與我是同類二次根式，

；.3a+l=2,解得：a=—.

3

16.（3分）如圖，一次函數y=x+4與坐標軸分別交于A,8兩點，點P,C分別是線段A8,03上的點,

且NOPC=45°,PC=P0,則點P的坐標為（-2J5,4-2亞）_.

【分析】先根據一次函數的解析式，可以求得點A和點8的坐標，依據等腰三角形的性質以及全等三

角形的判定和性質，即可得到點尸的坐標.

【解答】解：：一次函數>=丈+4與坐標軸交于A、8兩點，

y=x+4中，令冗=0,貝!Jy=4；令y=0,貝!!x=-4,

：.AO=BO=4,

???AAOB是等腰直角三角形，

AZABO=45°,

過尸作尸DL0C于O,則△5。尸是等腰直角三角形，

9：ZPBC=ZCPO=ZOAP=45°,

：.ZPCB+ZBPC=135°=N0B4+NBPC,

：.ZPCB=ZOPAf

在△PCB和△0E4中，

，ZPBC=ZOAP

'ZPCB=ZOPA>

,OP=PC

：.^PCB^AOPA(A4S),

，A0=BP=4,

尸中，BD=PD=^=2近,

V2

：.OD=OB-BD=4-2V2，

,:PD=BD=2近,

：.P(-2V2，4-2V2),

故答案為(-2加，4-2&).

17.(3分)如圖，在△ABC,ZA=90°,AB=AC.在△ABC內作正方形AiBiCiDi,使點Ai,81分別

在兩直角邊AB,AC上，點Ci,在斜邊BC上，用同樣的方法，在△C181C內作正方形A282c2。2；

在△CB2c2作正方形A323c3。3…，若42=1,則正方形4202出2021。2021。2021邊長為（2^1.）2021.

一3

BD]gB2D3C3C

【分析】從特殊到一般探究規(guī)律后，利用規(guī)律即可解決問題;

【解答】解：：正方形481C1O1的邊長為亞，

3

正方形4282c2。2的邊長為」X2=2=（乂2）2

3393

正方形A3B3C3D3的邊長為工義2乂近=亞=（亞）3

39333

正方形A202132021C2021O2021的邊長為（*±_）2021.

3

故答案為：（亞）2021.

3

三、解答題（本大題共8小題，共72分）

18.（5分）計算：-22+71^-2X24（-3）2.

【分析】先算乘方，開方，再算乘法，最后算加減即可.

【解答】解：-22+V16-2X2V（-3）2

=-4+4-2X6

=-4+4-12

=-12.

19.（7分）如果，80是RtZXABC斜邊上的中線，延長5。到點。，使。0=80,連接AO,CD.四邊

形A8C。是矩形嗎？請說明理由.

【分析】由8。是RtaABC斜邊上的中線，根據直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半，可得0A=0C

=OB,又由。0=8。，即可證得四邊形A8CD是平行四邊形，AC=BD,則可證得四邊形ABCD是矩

形.

【解答】解：四邊形ABC。是矩形.

理由：:與。是RtA42C斜邊上的中線，

：.OA=OC=OB,

'：DO=BO,

，四邊形ABC。是平行四邊形，且AC=8。，

四邊形ABC。是矩形.

20.（8分）為提高學生的愛國意識，陶冶愛國情操，某中學舉行了以“厲害了，我的國”為主題的書法

繪畫大賽，該校九年級共有三個班都參加了這次活動，三個班根據初賽成績分別選出了10名同學

參加決賽，這些選手的決賽成績（滿分100分）如下表所示：

收集數據:

決賽成績（單位：分）

九80868880889980749189

年

級

1

班

九85858797857688778788

年

級

2

班

九82807878819697879284

年

級

3

班

數據分析：

（1）請?zhí)顚懴卤?

平均數（分）眾數（分）中位數（分）

九年級1班85.587

80

九年級2班85.58586

九年級3班7883

85.5

得出結論：

（2）如果在每個班級參加決賽的選手中分別選出3人參加總決賽，你認為哪個班級的實力更強一些?

請簡要說明理由.

【分析】（1）分別根據眾數、中位數以及算術平均數的定義與計算方法解答即可;

（2）根據平均數和中位數的意義解答即可（答案不唯一）.

【解答】解：（1）在九年級1班10名同學的決賽成績中80分出現(xiàn)的次數最多，故眾數為80分；

把九年級2班10名同學的決賽成績從小到大排列，排在中間的兩個數分別是85分，87分，故中位數

為85+87=86（分）；

2

九年級3班的平均數為：（82+80+78+78+81+96+97+87+92+84）+10=85.5（分）；

故答案為：80,86,85.5；

（2）我認為九年級1班的實力更強一些，理由如下：

因為三個班的平均數相同，但九年級1班的中位數比其他兩個班高，所以九年級1班的實力更強一

些.（答案不唯一）.

21.（9分）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,D、E分別是邊AC、AB的中點，連接“、DE,過。

點作DF//CE交BC的延長線于F點.

（1）證明：四邊形DECP是平行四邊形；

（2）若A8=13c/",AC=5cm,求四邊形。ECF的周長.

【分析】（1）證DE是△ABC的中位線，得DE〃:BC,由平行四邊形的判定即可得出結論；

（2）先由勾股定理得BC=12,再由三角形中位線定理得。E=2BC=6,然后由平行四邊形的性質得

2

DE=CF=6,DF=CE,再由勾股定理得。/=芷，即可得出答案.

2

【解答】（1）證明：：。、E分別是邊AC、AB的中點，

.,.OE是△ABC的中位線，

：.DE//BC,

：.DE//CF,

'JDF//CE,

四邊形DECF是平行四邊形；

（2）解：在Rt^ABC中，由勾股定理得：BC=7AB2-AC2=V132-52=12）

是△ABC的中位線,

.?.DE=LC=_1X12=6,

22

:四邊形DECF是平行四邊形，

：.DE=CF=6,DF=CE,

是邊AC的中點，

：.CD=1AC=1X5=^-,

222

VZACB=90°,CT是BC的延長線，

AZZ）CF=90°,

在RtZV）b中，由勾股定理得：—=也會2心2=4_|_）2+62=券,

.?.四邊形。ECF的周長=2（DE+DF）=2X（6+衛(wèi)）=25.

2

22.（10分）某校開展愛心義賣活動，同學們決定將銷售獲得的利潤捐獻給福利院.初二某班的同學們準

備制作A、B兩款掛件來進行銷售.已知制作3個A款掛件、5個B款掛件所需成本為46元，制作5

個A款掛件、10個B款掛件所需成本為85元.已知A、B兩款掛件的售價如下表：

手工制品A款掛件B款掛件

售價（元/個）128

（1）求制作一個A款掛件、一個2款掛件所需的成本分別為多少元？

（2）若該班級共有40名學生.計劃每位同學制作2個A款掛件或3個2款掛件，制作的總成本不超

過590元，且制作B款掛件的數量不少于A款掛件的2倍.設安排機人制作A款掛件，銷售的總利潤

為w元.請寫出w（元）與機（人）之間的函數表達式，求出自變量的取值范圍，并說明如何安排，使

得總利潤最大，最大利潤是多少？

【分析】（1）根據制作3個A款掛件、5個B款掛件所需成本為46元，制作5個A款掛件、10個8款

掛件所需成本為85元，可以列出相應的二元一次方程組，然后求解即可；

（2）根據表格中的數據和（1）中的結果，可以寫出w（元）與機（人）之間的函數表達式，再根據制

作的總成本不超過590元，且制作B款掛件的數量不少于A款掛件的2倍，可以列出相應的不等式組，

從而可以求出自變量的取值范圍，再根據一次函數的性質，可以求得w的最大值.

【解答】解：（1）設制作一個A款掛件的成本為x元，制作一個3款掛件的成本為y元，

由題意可得：儼+5丫=46,

|5x+10y=85

解得1'二了，

ly=5

答：制作一個A款掛件的成本為7元，制作一個2款掛件的成本為5元;

(2)設安排m人制作A款掛件，則安排(40-m)人制作B款掛件，

由題意可得：w—(12-7)X2m+(8-5)X3(40-m)=m+360,

.,.w隨m的增大而增大，

:制作的總成本不超過590元，且制作B款掛件的數量不少于A款掛件的2倍，

;f7X2m+5X3(40-m)<590,

'I3(40-m)>2X2m

解得10WmW172，

7

?.?根為整數，

10W?iW17且m為正整數，

當根=17時，w取得最大值，此時w=377,40-m=23,

答：w(元)與機(人)之間的函數表達式是w=〃z+360(10WmW17且加為正整數)，當安排17人制

作A款掛件，23人制作8款掛件時，總利潤最大，最大利潤為377元.

23.(10分)已知在菱形ABC。中，點P在CD上，連接AP.

(1)在BC上取點。，使得/B4Q=N2,

①如圖1,當APLCD于點尸時，線段AP與A。之間的數量關系是4尸=4。.

②如圖2,當AP與C￡>不垂直時，判斷①中的結論是否仍然成立，若成立，請給出證明，若不成立，

則需說明理由.

(2)點尸、Q分別在C。和BC的延長線上，當時，C。和。尸會不會相等？如能相等請

直接寫出此時應滿足的條件，如不能相等這說明理由.

圖1圖2圖3

【分析】(1)①由菱形的性質得出BC=C。，AB//CD,證明AQL8C,由菱形的面積公式可得出答案；

②過點A作AMLBC于M,ANLCZ)于M,證明G4AS),由全等三角形的性質可得

出答案；

(2)過點4作4知_18。于知，ANLCD于N,連接AC,可證△AM。也△A7VHA4S),可得MQ=NP,

又證可知AC=AD,即可得出答案.

【解答】解：(1)①AP=AQ,

???四邊形ABC。是菱形，

:?BC=CD,AB//CD,

.?.ZB+Z2CD=180°,

9：ZFAQ=ZB9

???NB4Q+NQCZ)=180°,

ZAPC+ZA2C=180°,

'CAPLCD,

???NAPC=90°,

ZAQC=90°,

：.AQLBC,

S菱形ABCQ=BC?AQ=C￡)>AP,

：.AP=AQ,

故答案為：AP=AQ；

②①中的結論仍然立，

證明：如圖2中，過點作AM_L5C于〃，ANLCD于N,

AD

BMQC

圖2

,四邊形ABC。是菱形，AMLBC,ANLCD,

：?S菱形ABCD=BC*AM=CD*AN,

?.?BC=CD,

：.AM=AN,

?.?AB//CD,

AZB+ZC=180°,

???NB4Q=N8

???NB4Q+NC=180°,

：