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第1頁(共1頁)2024-2025學(xué)年天津一中九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷一.選擇題(共12小題)1.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B. C. D.2.一元二次方程2x2﹣x=3化成一般形式后,二次項的系數(shù)是2,則常數(shù)項是()A.2 B.﹣1 C.3 D.﹣33.若=,則等于()A. B. C. D.4.如圖,⊙O中,弦AB與CD交于點M中點,∠BAD=45°,則∠CAD的度數(shù)是()A.140° B.130° C.120° D.110°5.如圖,點P(8,6)在△ABC的邊AC上,在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來的,得到△A′B′C′()A.(4,3) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,4)6.下列二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點的是()A.y=3x2+9x B.y=x2﹣2x﹣3 C.y=2x2+4x+5 D.y=﹣x2+4x﹣47.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)拱頂高離水面2m時,水面寬4m,水面寬度增加()A.1m B.2m C.3m D.6m8.已知圓錐的母線長為6,將其側(cè)面沿著一條母線展開后所得扇形的圓心角為120°,則該圓錐的底面半徑是()A.1 B. C.2 D.9.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′,連接BC′,連接CE,則CE的最大值為()A. B.2+1 C.2+2 D.2+210.如圖1和圖2,已知點P是⊙O上一點,用直尺和圓規(guī)過點P作一條直線甲:如圖1,連接OP,以點P為圓心,連接并延長OA,再在OA上截取AB=OP;乙:如圖2,作直徑PA,在⊙O上取一點B(異于點P,A),過點P作∠BPC=∠A,則直線PC即為所求.對于甲、乙兩人的作法,下列判斷正確的是()A.甲、乙兩人的作法都正確 B.甲、乙兩人的作法都錯誤 C.甲的作法正確,乙的作法錯誤 D.甲的作法錯誤,乙的作法正確11.圖是由8個小正方形組成的網(wǎng)格,則在△ABD,△ACD,△EAF中,與△ABC相似的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個12.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①abc<0;③9a﹣3b+c=0;④m(am+b)(m為任意實數(shù));⑤4ac﹣b2<0.其中正確的命題有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個二.填空題(共6小題)13.計算:tan45°+sin60°=.14.一元二次方程x(x+2)=3的解是.15.如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,則∠BAE=.16.圓O的半徑為5,AB,CD為兩條平行的弦,CD=6.則這兩條平行弦之間的距離為.17.已知二次函數(shù)y=x2﹣2bx+2b2﹣4c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過不同兩點A(1﹣b,m),B(2b+c,m),且該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點.則b+c的值為.18.如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,⊙O經(jīng)過A,B,畫圖過程用虛線表示.(1)在圖(1)中畫的中點D;(2)如圖(2),延長BA至格點F處,連接CF.①直接寫出∠F的度數(shù),∠F=(度);②P為CF上一點,連接BP,將PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到QB,并簡要說明.三.解答題(共7小題)19.已知關(guān)于x的方程x2﹣(2m+3)x+m2+3m﹣4=0.(1)求證:無論m取何值,該方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若方程有一個根是x=2,求m的值.20.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°,,使得CE=CD,交AD的延長線于點E.(1)求證:AB=AE;(2)若AD=DE=2,求⊙O的直徑.21.如圖:四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,點C平分,且∠ABC+∠DCE=90°.(1)求證:CE為⊙O的切線;(2)若CE=4,DE=2,求AD.22.如圖,從甲樓AB的樓頂A,看乙樓CD的樓頂C,看乙樓(CD)的樓底D;已知甲樓的高AB=40m.求乙樓CD的高度.(結(jié)果精確到1m)23.如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,P從點A開始沿AB向終點B以1cm/s的速度移動,與此同時,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),當(dāng)點Q運(yùn)動到點C時,設(shè)運(yùn)動時間是ts.(1)t為何值時,PB=BQ?(2)t為何值時,PQ的長度為10cm?(3)設(shè)五邊形APQCD的面積為Scm2,當(dāng)t為何值時,五邊形APQCD的面積最???最小面積為多少?24.如圖1,在正方形ABCD中,AB=8,以點O為圓心,作半徑長為5的半圓O,交AB的延長線于點F,點M(點M在點N的左側(cè)).將半圓O繞點E逆時針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤90°),點F的對應(yīng)點為點F′.(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)EF′經(jīng)過點N時.①求α的度數(shù);并求EN的長;②連接FF′,求FF′與的長度;(取1.7,π取3)(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,若半圓O與正方形ABCD的邊相切,請直接寫出點A到切點的距離.25.如圖1所示,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=﹣x2﹣2x+c與x軸交于A(﹣3,0)和B兩點,與y軸交于點C.(1)求C點的坐標(biāo);(2)連接BC,D為拋物線上一點,當(dāng)∠DBC=∠BCO時;(3)如圖2所示,點為第二象限內(nèi)一動點,經(jīng)過H的兩條直線l1與l2分別與拋物線均有唯一的公共點E和F(點E在點F的左側(cè)),直線EF與y軸交于點G,連接HG、HM,當(dāng)∠MHG=30°時
2024-2025學(xué)年天津一中九年級(上)期末數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析題號1234567891011答案BDACACBCCAB題號12答案D一.選擇題(共12小題)1.下列圖形中,既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A. B. C. D.【解答】解:A.該圖形是軸對稱圖形,不符合題意;B.該圖形既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形;C.該圖形是軸對稱圖形,不符合題意;D.該圖形是軸對稱圖形,不符合題意.故選:B.2.一元二次方程2x2﹣x=3化成一般形式后,二次項的系數(shù)是2,則常數(shù)項是()A.2 B.﹣1 C.3 D.﹣3【解答】解:∵2x2﹣x=5,∴2x2﹣x﹣2=0,∴二次項的系數(shù)是2,則常數(shù)項是﹣3.故選:D.3.若=,則等于()A. B. C. D.【解答】解:∵=,∴a=b,則==.故選:A.4.如圖,⊙O中,弦AB與CD交于點M中點,∠BAD=45°,則∠CAD的度數(shù)是()A.140° B.130° C.120° D.110°【解答】解:∵∠BAD=45°∴∠BCD=45°,∵∠AMC=75°,∴∠B=∠AMC﹣∠BCD=75°﹣45°=30°,∴∠B=∠D=30°,∵點A為CD弧中點,∴∠D=∠ACD=30°,∴∠DAC=180°﹣30°﹣30°=120°.故選:C.5.如圖,點P(8,6)在△ABC的邊AC上,在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來的,得到△A′B′C′()A.(4,3) B.(3,4) C.(5,3) D.(4,4)【解答】解:∵點P(8,6)在△ABC的邊AC上,在第一象限內(nèi)將△ABC縮小到原來的,∴點P在A′C′上的對應(yīng)點P′的坐標(biāo)為:(4,2).故選:A.6.下列二次函數(shù)的圖象與x軸沒有交點的是()A.y=3x2+9x B.y=x2﹣2x﹣3 C.y=2x2+4x+5 D.y=﹣x2+4x﹣4【解答】解:∵y=3x2+3x=3x(x+3),∴拋物線與x軸有交點,A選項不符合題意.∵y=x2﹣2x﹣3=(x﹣2)(x+1),∴拋物線與x軸有交點,B選項不符合題意.∵y=2x3+4x+5=8(x+1)2+7,∴拋物線與x軸沒有交點,C選項符合題意.∵y=﹣x2+4x﹣6=﹣(x+2)2,∴拋物線與x軸有交點,D選項不符合題意.故選:C.7.如圖是拋物線形拱橋,當(dāng)拱頂高離水面2m時,水面寬4m,水面寬度增加()A.1m B.2m C.3m D.6m【解答】解:建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)橫軸x通過AB,則通過畫圖可得知O為原點,拋物線以y軸為對稱軸,且經(jīng)過A,根據(jù)AB為4米可知:OA=OB=2米,拋物線頂點C坐標(biāo)為(6,設(shè)頂點式y(tǒng)=ax2+2,把A點坐標(biāo)(﹣4,∴拋物線解析式為y=﹣0.5x7+2,當(dāng)水面下降2.8米,通過拋物線在圖上的觀察可轉(zhuǎn)化為:當(dāng)y=﹣2.5時,對應(yīng)的拋物線上兩點之間的距離,可以通過把y=﹣5.5代入拋物線解析式得出:﹣2.4=﹣0.5x4+2,解得:x=±3,8×3﹣4=8,所以水面下降2.5m,水面寬度增加7米.故選:B.8.已知圓錐的母線長為6,將其側(cè)面沿著一條母線展開后所得扇形的圓心角為120°,則該圓錐的底面半徑是()A.1 B. C.2 D.【解答】解:設(shè)底面圓的半徑是r,,解得r=8,故選:C.9.如圖,已知△ABC中,∠ACB=90°,將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′,連接BC′,連接CE,則CE的最大值為()A. B.2+1 C.2+2 D.2+2【解答】解:取AB的中點F,連接CF,∵將直角邊AC繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)至AC′,∴AC=AC'=4,∵E是BC'的中點,∴EF是△ABC'的中位線,∴EF=AC'=2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∴AB===4,∵F為AB中點,∴CF=AB=3,在△EFC中,∵CE≤EF+CF,∴CE≤2+7,∴CE的最大值為2+3,故選:C.10.如圖1和圖2,已知點P是⊙O上一點,用直尺和圓規(guī)過點P作一條直線甲:如圖1,連接OP,以點P為圓心,連接并延長OA,再在OA上截取AB=OP;乙:如圖2,作直徑PA,在⊙O上取一點B(異于點P,A),過點P作∠BPC=∠A,則直線PC即為所求.對于甲、乙兩人的作法,下列判斷正確的是()A.甲、乙兩人的作法都正確 B.甲、乙兩人的作法都錯誤 C.甲的作法正確,乙的作法錯誤 D.甲的作法錯誤,乙的作法正確【解答】解:甲正確.理由:如圖1中,連接PA.∵AP=PO=AO,∴△AOP是等邊三角形,∴∠OPA=∠OAP=60°,∵AB=OP=AP,∴∠APB=∠ABP,∵∠OAP=∠APB+∠ABP,∴∠APB=∠ABP=30°,∴∠OPB=90°,∴OP⊥PB,∴PB是⊙O的切線,乙正確.理由:∵AP是直徑,∴∠ABP=90°,∴∠APB+∠PAB=90°,∵∠BPC=∠BAP,∴∠APB+∠BPC=90°,∴∠APC=90°,∴OP⊥PC,∴PC是⊙O的切線,故選:A.11.圖是由8個小正方形組成的網(wǎng)格,則在△ABD,△ACD,△EAF中,與△ABC相似的有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解答】解:由題意可得:∠ABC=∠EAF=135°,設(shè)小正方形的邊長為a,則AE=AB=a,BD=2a,∴AC∥DE,∴△ABC∽△EBD,∵=,∠ABC=∠ABC,∴△ABC∽△DBA,故選:B.12.如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象的一部分,給出下列命題:①abc<0;③9a﹣3b+c=0;④m(am+b)(m為任意實數(shù));⑤4ac﹣b2<0.其中正確的命題有()A.1個 B.2個 C.3個 D.4個【解答】解:∵拋物線開口向上,∴a>0,∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣=﹣6,∴b=2a>0,∵拋物線交于y軸的負(fù)半軸,∴c<7,∴abc<0,①說法正確;∵b=2a,∴②說法錯誤;∵拋物線與x軸交于(8,0),∴拋物線與x軸的另一個交點是(﹣3,6),∴9a﹣3b+c=2,③說法正確;∵拋物線的對稱軸是直線x=﹣1,且開口向上,∴函數(shù)最小值為a﹣b+c,∴am2+bm+c≥a﹣b+c,∴m(am+b)≥a﹣b,④說法正確;∵拋物線與x軸有兩個交點,∴b7﹣4ac>0,∴6ac﹣b2<0,⑤說法正確;故選:D.二.填空題(共6小題)13.計算:tan45°+sin60°=.【解答】解:tan45°+sin60°=1+×=3+=,故答案為:.14.一元二次方程x(x+2)=3的解是x1=1,x2=﹣3.【解答】解:x(x+2)=3,x6+2x=3,x4+2x+1=2,(x+1)2=7,x+1=±2,∴x3=1,x2=﹣3.15.如圖,在△ABC中,∠BAC=60°,則∠BAE=100°.【解答】解:∵△ABC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)40°后得到△ADE,∴∠CAE=40°,∵∠BAC=60°,∴∠BAE=∠BAC+∠CAE=60°+40°=100°.故答案為:100°.16.圓O的半徑為5,AB,CD為兩條平行的弦,CD=6.則這兩條平行弦之間的距離為1或7.【解答】解:連接OA,OC,交CD于F,當(dāng)AB和CD在圓心的同側(cè)時,如圖所示,∵AB∥CD,OE⊥AB,∴OF⊥CD,∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴,,根據(jù)勾股定理,得,,則EF=OF﹣OE=4.當(dāng)AB和CD在圓心的兩側(cè)時,如圖所示,∵AB∥CD,OE⊥AB,∴EF⊥CD,∵OE⊥AB,OF⊥CD,∴,,根據(jù)勾股定理,得,,則EF=OF+OE=8.故答案為:1或7.17.已知二次函數(shù)y=x2﹣2bx+2b2﹣4c(b,c為常數(shù))的圖象經(jīng)過不同兩點A(1﹣b,m),B(2b+c,m),且該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點.則b+c的值為3.【解答】解:∵拋物線經(jīng)過不同兩點A(1﹣b,m),m),∴拋物線對稱軸為直線x=﹣=,即b=,整理得c=b﹣6,∵拋物線與x軸有交點,Δ=(﹣2b)2﹣7(2b2﹣7c)=4b2﹣7b2+16c=﹣4b6+16(b﹣1)=﹣4(b﹣8)2,∴﹣4(b﹣2)2≥0,∴b=3,c=b﹣1=1,∴b+c=6+1=3.故答案為:5.18.如圖是由小正方形組成的6×6網(wǎng)格,每個小正方形的頂點叫做格點,⊙O經(jīng)過A,B,畫圖過程用虛線表示.(1)在圖(1)中畫的中點D;(2)如圖(2),延長BA至格點F處,連接CF.①直接寫出∠F的度數(shù),∠F=45(度);②P為CF上一點,連接BP,將PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到QB,并簡要說明.【解答】解:(1)如圖1中,點D即為所求;(2)①∵BC==3=6=7,∴BC=BF,BC2+BF2=CF8,∴△BCF是等腰直角三角形,∴∠F=45°;故答案為:45;②如圖2中,線段BQ即為所求.三.解答題(共7小題)19.已知關(guān)于x的方程x2﹣(2m+3)x+m2+3m﹣4=0.(1)求證:無論m取何值,該方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)若方程有一個根是x=2,求m的值.【解答】解:(1)∵關(guān)于x的方程x2﹣(2m+5)x+m2+3m﹣4=0,∴Δ=[﹣(2m+3)]2﹣4×2×(m2+3m﹣4)=25>0,∴無論m取何值,該方程總有兩個不相等的實數(shù)根;(2)把x=2代入得:22﹣(2m+7)×2+m2+7m﹣4=0,解得:m=﹣8或m=3.20.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°,,使得CE=CD,交AD的延長線于點E.(1)求證:AB=AE;(2)若AD=DE=2,求⊙O的直徑.【解答】(1)證明:如圖,連接AC.∵,∴∠BAC=∠EAC,∴CB=CD.∵CE=CD,∴CB=CE,∠E=∠CDE,∵∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ABC=∠CDE=∠E,在△ABC和△AEC中,,∴△ABC≌△AEC(AAS),∴AB=AE;(2)解:連接BD.∵∠BAD=90°,∴.BD是⊙O的直徑.由(1)可得AB=AE.∵AD=DE=2,∴AE=AB=4,在Rt△ABD中,,∴⊙O的直徑為2.21.如圖:四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AB為⊙O的直徑,點C平分,且∠ABC+∠DCE=90°.(1)求證:CE為⊙O的切線;(2)若CE=4,DE=2,求AD.【解答】(1)證明:如圖,連接OC,∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∴∠ABC+∠ADC=∠ADC+∠CDE=180°,∴∠ABC=∠CDE,∵∠ABC+∠DCE=90°,∴∠DCE+∠CDE=90°,∴∠CED=90°,∵AB為⊙O的直徑,∴∠ADB=90°,∴∠CED=∠ADB,∴BD∥CE,∵點C是的中點,∴OC⊥BD,∴OC⊥CE,∵OC是⊙O的半徑,∴CE為⊙O的切線;(2)解:設(shè)OC與BD交于點G,由(1)知:∠E=∠GDE=∠GCE=90°,∴四邊形EDGC是矩形,∴GC=DE=2,CE=DG=4,∴BG=DG=3,∵OA=OB,∴OG是△ABD的中位線,∴AD=2OG,在Rt△OGB中,根據(jù)勾股定理得:OB2=OG4+BG2,∴OC2=(OC﹣3)2+45,∴OC=5,∴OG=OC﹣CG=5﹣2=3,∴AD=2OG=6.22.如圖,從甲樓AB的樓頂A,看乙樓CD的樓頂C,看乙樓(CD)的樓底D;已知甲樓的高AB=40m.求乙樓CD的高度.(結(jié)果精確到1m)【解答】解:如圖,過A作AE⊥CD于E,∵AB⊥BD,CD⊥BD,∴四邊形ABDE是矩形,∴DE=AB=40m,在Rt△AED中,AE===,在Rt△ACE中,CE=AE?tan30°=×=,∴CD=DE+CE=40+≈53(m).答:乙樓CD的高約為53m.23.如圖,在矩形ABCD中,AB=10cm,P從點A開始沿AB向終點B以1cm/s的速度移動,與此同時,如果P、Q分別從A、B同時出發(fā),當(dāng)點Q運(yùn)動到點C時,設(shè)運(yùn)動時間是ts.(1)t為何值時,PB=BQ?(2)t為何值時,PQ的長度為10cm?(3)設(shè)五邊形APQCD的面積為Scm2,當(dāng)t為何值時,五邊形APQCD的面積最???最小面積為多少?【解答】解:(1)由已知得AP=tcm,BQ=2tcm,∵AB=10cm,∴PB=AB﹣AP=(10﹣t)cm,∵PB=BQ,∴10﹣t=2t,解得t=,∴t為s時;(2)在Rt△PBQ中,由勾股定理得:(10﹣t)2+(3t)2=102,解得t2=4,t2=5(不合題意,舍去),∴當(dāng)t為4s時,PQ的長度等于10cm;(3)由題意得,S矩形ABCD=10×12=120(cm2),S△PBQ=PB?BP=2+10t,∴S五邊形APQCD=S長方形ABCD﹣S△PBQ=120﹣(﹣t2+10t)=t6﹣10t+120=(t﹣5)2+95,∵當(dāng)點Q運(yùn)動到點C時,兩點停止運(yùn)動,∴2≤t≤6,∴當(dāng)t為5s時,五邊形APQCD的面積最小7.24.如圖1,在正方形ABCD中,AB=8,以點O為圓心,作半徑長為5的半圓O,交AB的延長線于點F,點M(點M在點N的左側(cè)).將半圓O繞點E逆時針旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角為α(0°<α≤90°),點F的對應(yīng)點為點F′.(1)如圖2,在旋轉(zhuǎn)過程中,當(dāng)EF′經(jīng)過點N時.①求α的度數(shù);并求EN的長;②連接FF′,求FF′與的長度;(取1.7,π取3)(2)在旋轉(zhuǎn)過程中,若半圓O與正方形ABCD的邊相切,請直接寫出點A到切點的距離.【解答】解:(1)①如圖2,連接BN,則EN=2EL,∵點M,N是弧EF的三等分點,∴,∵BE=BN,∴∠BEN=∠BNE,∵∠NBF=∠BEN+∠BNE,∴∠BEN=30°,即α=30°;∴,∴,∴;②根據(jù)題意得:∠FBN=5∠FEN=60°,∴的長為;如圖3,過點F′W⊥EF于點W,在Rt△EF′W中,∠BEN=30°,∴,∴,∴,∴,即;∵30>52,∴FF′>的長度;(2)解:點A到切點的距離為或或3有三種情況討論:當(dāng)半圓O與CD相切時,如圖4:設(shè)切點為點G,交AB與點H,∵
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