2024-2025學年廣東省東莞市高三上冊1月期末聯(lián)考數(shù)學檢測試題（附解析）

2024-2025學年廣東省東莞市高三上學期1月期末聯(lián)考數(shù)學檢測試題本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名?考號填寫在答題卷上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案：不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卷收回.一.單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.已知全集，集合A，B滿足，則下列關系一定正確的是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件，求得，再進行選擇即可.【詳解】因為集合A，B滿足，故可得，對A：當為的真子集時，不成立；對B：當為的真子集時，也不成立；對C：，恒成立；對D：當為的真子集時，不成立；故選：C.2.已知復數(shù)滿足，則（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】先根據(jù)復數(shù)的除法運算求出，再根據(jù)共軛復數(shù)的概念確定復數(shù)，最后根據(jù)的周期性求結果.【詳解】由已知，所以，.故選：C3.直線關于直線對稱的直線方程是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】作出圖象，找出一個對稱點和直線與直線的交點，即可求出對稱直線的方程.【詳解】由題意，在直線中，作出圖象如下圖所示，由圖可知，點關于直線對稱的點為,直線與直線的交點為,∴關于直線對稱的直線方程為：，即，∴關于直線對稱的直線方程是.故選：B.4.已知向量在方向上的投影向量的模為，向量在方向上的投影向量的模為1，且，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)投影向量的模長公式計算出，再由向量垂直關系列出方程，求出，得到夾角.【詳解】由題可得所以.因為，所以，所以，所以，即.因為，所以.故選：B.5.若橢圓的離心率為，則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】通過橢圓的離心率得出之間的關系，即可求出雙曲線的離心率.【詳解】由題意，在橢圓中，離心率，∴，即，在雙曲線中，∴雙曲線的離心率.故選：A.6.在平直的鐵軌上停著一輛高鐵列車，列車與鐵軌上表面接觸的車輪半徑為，且某個車輪上的點剛好與鐵軌的上表面接觸，若該列車行駛了距離，則此時到鐵軌上表面的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】針對實際問題建模轉化為圓的弧長與圓心角、半徑之間的關系，就圓心角的范圍進行分類,借助于直角三角形計算即得.【詳解】當列車行駛的距離為時，則車輪轉過的角度所對應的扇形弧長為，車輪轉過的角度為點的初始位置為，設車輪的中心為，當時，作，垂足為，如圖，則到鐵軌表面的距離為；當時，，作，垂足為，如圖，則，到鐵軌表面的距離為；當在其它范圍均可得到，點到鐵軌上表面的距離為.故選:B.7.若，則的大小關系為（）A. B.C. D.【正確答案】A【分析】由題意可得，構造函數(shù)，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值，作出函數(shù)的圖象，結合圖象即可得解.【詳解】由，可得，所以，故，所以，令，則，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，即，所以，當且僅當時取等號，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，可知.故選：A.8.數(shù)列的前項和，且，若，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】先把適度放縮，求出前項和的范圍，再進行判斷.【詳解】由已知得：，又，故當且時，，所以.故選：D方法點睛：數(shù)列的前項和沒法求，再者本題求的是前項和的取值范圍，所以要想到對數(shù)列要適度放縮，然后求和.二.多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多個選項是符合題目要求的，全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分）9.下列結論正確的是（）A.若，則B.若，則C.“”是“”成立的充分不必要條件D.若，則【正確答案】BD【分析】判斷與不等式有關結論的正確與否，一般可考慮以下方法：①取反例說明不成立，②利用不等式性質推理得到命題為真，③通過作差法判斷.【詳解】對于A項，若取，則，顯然A項錯誤；對于B項，因，又由知，故由不等式的性質易得B項正確；對于C項，當時，滿足，但，故推不出，即“”不是“”成立的充分條件，故C項錯誤；對于D項，因，先證當時,必有成立.即由可得：，因，有，故，即D項正確.故選：BD.10.已知圓，圓分別是圓與圓上的點，則（）A.若圓與圓無公共點，則B.當時，兩圓公共弦所在直線方程為C.當時，則斜率最大值為D.當時，過點作圓兩條切線，切點分別為，則不可能等于【正確答案】BC【分析】對于A，當兩圓內含時即可判斷錯誤；對于B，兩圓方程相減即可驗算；對于C，畫出公切線通過數(shù)形結合即可驗算；對于D，畫出圓兩條切線，通過數(shù)形結合即可驗算.【詳解】對于選項A，當兩圓內含時，可以無窮大，所以A不正確；當時兩圓相交，兩圓的方程作差可以得公共弦的直線方程為，所以B為正確選項；對于選項B，當時如圖，和為兩條內公切線，且，由平面幾何知識可知，所以可得，即斜率的最大值為，C選項正確；對于D選項，如圖，點P在位置時，點在位置時，所以中間必然有位置使得，故D錯誤.故選：BC.關鍵點睛：判斷CD兩選項的關鍵是準確畫出圖形，通過數(shù)形結合即可順利得解.11.已知函數(shù)，滿足有三個不同的實數(shù)根，則（）A.若，則實數(shù)的取值范圍是B.過軸正半軸上任意一點僅有一條與函數(shù)相切的直線C.D.若成等差數(shù)列，則【正確答案】ABD【分析】對于A，求導得函數(shù)單調性、極值，由此即可判斷；對于B，關于點中心對稱，由此即可判斷；對于C，由展開即可判斷；對于D，由結合C選項分析即可判斷.【詳解】因為，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，且，所以，當有三個不同的實數(shù)根時，，故A正確，關于點中心對稱，所以在此點處的切線方程為，結合圖象可知：當且僅當時，符合題意，所以B正確，由于方程有三個根，所以，展開可知，C不正確；由展開可知，當成等差數(shù)列時，所以，在中，令，得，所以，D正確.故選：ABD.12.已知正四面體的棱長為3，下列說法正確的是（）A.若點滿足，且，則的最小值為B.在正四面體的內部有一個可以任意轉動的正四面體，則此四面體體積可能為C.若正四面體的四個頂點分別在四個互相平行的平面內，且每相鄰平行平面間的距離均相等，則此距離為D.點在所在平面內且，則點軌跡的長度為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)空間向量共面的結論可判斷是平面上的一點，即可利用勾股定理求解四棱錐的高判斷A，根據(jù)正四面體與其外接球內切球以及所在的正方體的關系即可求解B，根據(jù)面面平行的性質即可求解C，根據(jù)球的截面性質即可求解D.【詳解】解：如圖：對于，因為點滿足且，可知點是平面上的一點.又因為正四面體是棱長為3，則三角形外接圓半徑滿足，故點到平面的距離為,故的最小值為點到平面的距離，即為,A正確；對于B，將正四面體放入到正方體中，則正方體的棱長為，因為正四面體的體積為立方體的體積減去四個小三棱錐的體積：，而正四面體四個面的面積都是設正四面體的內切球半徑為，解得，因為正四面體在正四面體的內部，且可以任意轉動，所以最大正四面體外接球直徑為，因此最大正四面體外接球也是棱長為的正方體的外接球，所以正四面體體積最大值為，故B不正確.對于C，在正方體內，過作平面，分別交于點，過作平面，分別交于點，且平面平面，由正四面體的四個頂點分別在四個互相平行的平面內，且每相鄰平行平面間的距離均相等，其中平面和平面為中間的兩個平面，易知為的中點，為的中點，因為正方體是棱長為，所以，所以點到的距離為，所以每相鄰平行平面間的距離為，故C正確；對于D選項：建立如圖所示的空間直角坐標系，設點，,由可得，化簡可得，可知點的軌跡是平面與以點為球心，2為半徑的球的截面圓上，,設平面法向量為，則，取則，所以點點到平面的距離為，截面圓的半徑為所以截面圓周長為，故選:ACD方法點睛：解決與球相關的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉化為平面幾何問題求解，其解題思維流程如下：（1）定球心：如果是內切球，球心到切點的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點的距離相等且為半徑；（2）作截面：選準最佳角度做出截面（要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素的關系），達到空間問題平面化的目的；（3）求半徑下結論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關于球的半徑的方程，并求解.三?填空題（本大題共4小題，共20.0分）13.雙曲線的漸近線方程________．【正確答案】【分析】先確定雙曲線的焦點所在坐標軸，再確定雙曲線的實軸長和虛軸長，最后確定雙曲線的漸近線方程．【詳解】∵雙曲線的a=2，b=1，焦點在x軸上而雙曲線的漸近線方程為y=±∴雙曲線的漸近線方程為y=±故答案為y=±本題考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的幾何意義，特別是雙曲線的漸近線方程，解題時要注意先定位，再定量的解題思想14.已知等差數(shù)列的前項和為Sn(n∈N*),，則的最小值為__________.【正確答案】【分析】設公差，由題意得到關于首項和公差的方程組，求解后代入等差數(shù)列的前項和公式，配方即得.【詳解】設等差數(shù)列的公差為，由題意得：解得：，則，因，故當或時，的最小值為.故答案為.15.已知函數(shù)的最小正周期為，且在上單調遞減，在上單調遞增，則實數(shù)的取值范圍是__________.【正確答案】【分析】先將函數(shù)降冪，由題設求出的值，再根據(jù)后續(xù)條件，考查所得函數(shù)在相應區(qū)間上的單調性，比較區(qū)間的包含關系計算即得.【詳解】由的最小正周期為，得,則，因當時，，此時函數(shù)單調遞減，即在上單調遞減；當時，，此時函數(shù)單調遞增，即在上單調遞增.由題知在上單調遞減，在上單調遞增，故須使，解得.故答案為.16.在同一平面直角坐標系中，分別是函數(shù)和函數(shù)圖象上的動點，若對任意，有恒成立，則實數(shù)的最大值為__________.【正確答案】【分析】由得，令，利用導數(shù)求得最大值，并得到，進而利用數(shù)形結合法可知，的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，再求出等號成立的條件，從而得到實數(shù)的最大值.【詳解】由，整理得，即在圓心，半徑為1的半圓上.，令，則，又，所以，當時，，則為單調遞增，當時，，則為單調遞減，綜上可知，在處取得極大值，也是最大值，即，于是，即，當且僅當時，等號成立，所以曲線一條切線為，數(shù)形結合可知，當分別為對應切點，且與兩切線垂直時取得最小值，即的最小值為圓心到直線的距離減去半徑，即的最小值為.過圓心與垂直的直線方程，所以，當且僅當即時取到最小值.綜上所述，，而恒成立，所以，則的最大值為.故答案為.1.利用導數(shù)求取值范圍時，當函數(shù)中同時出現(xiàn)與，通常使用同構來進行求解，本題變型得到，從而構造進行求解.2.在求圓上的動點到另一個曲線上的動點距離最值問題時，通常轉化為圓心到曲線上的動點距離最值問題，進而進行求解.四?解答題（本大題共6小題，共70.0分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知數(shù)列的前項和滿足.（1）求的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.【正確答案】17.；18.【分析】（1）根據(jù)前項和公式求通項公式，先確定，再求.（2）用錯位相減求和法求數(shù)列的前項和.【小問1詳解】由已知：當時兩式相減可得：，，又時，滿足上式，所以，.，.，又時，滿足上式，則；【小問2詳解】由（1）可得：，則，即，兩式相減可得：，即.18.在9道試題中有4道代數(shù)題和5道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.（1）求在第一次抽到幾何題的條件下第二次抽到代數(shù)題的概率；（2）若抽4次，抽到道代數(shù)題，求隨機變量的分布列和期望.【正確答案】（1）；（2）分布列見解析，【分析】（1）利用條件概率的公式求解或者利用縮小事件空間的方法求解；（2）先確定的所有取值，求出各自的概率，寫出分布列，利用期望的公式可得期望.【小問1詳解】（1）記表示事件“第次抽到代數(shù)題”，.方法一：由條件概率公式可得.所以第一次抽到幾何題的條件下，第二次抽到代數(shù)題的概率為；方法二：已知第一次抽到幾何題，這時還剩余代數(shù)題和幾何題各四道，因此）.【小問2詳解】由題意，隨機變量的可能取值為：；，，.的分布列為01234所以.19.已知函數(shù)，.（1）求的單調區(qū)間；（2）當時，與有公切線，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】19答案見解析20.【分析】（1）根據(jù)題意，求得，分類討論，即可求得函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設公切線與和的切點分別為，根據(jù)導數(shù)的幾何意義求得切線方程，轉化為，設，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調性與極值，得出函數(shù)的值域，即可求解.【小問1詳解】解：由函數(shù)，可得，當時，可得時，，單調遞減，時，，單調遞增；當時，可得時，，單調遞增，時，，單調遞減.【小問2詳解】解：設公切線與和的切點分別為，可得，可得切線方程為，即，即由，可得，則，所以切線方程為所以，可得，設，可得，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以，當時，函數(shù)取得極大值，極大值為，又由當時，；當時，，所以，所以時，即實數(shù)的取值范圍為.方法策略：利用導數(shù)研究參數(shù)問題的求解策略：1、分離參數(shù)法：根據(jù)不等式的基本性質將參數(shù)分離出來，得到一端是參數(shù)，一端是變量的表達式的不等式，轉化為求解含有變量的表達式對應的函數(shù)的最值問題，進而求得參數(shù)的范圍；2、構造函數(shù)法：根據(jù)不等式的恒成立，構造新函數(shù)，利用導數(shù)求得新函數(shù)的單調性，求出函數(shù)的最值（值域），進而得出相應的含參數(shù)的不等式，從而求解參數(shù)的取值范圍；3、圖象法：畫出不等式對應的函數(shù)的圖象，結合函數(shù)圖象的走勢規(guī)律，確定函數(shù)的極值點或最值點的位置，進而求得參數(shù)的取值范圍.20.如圖，在棱長為的正方體中，點是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉后，得到四棱錐.（1）若，求證：平面平面；（2）是否存在，使得直線平面，若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）證明見解析（2）不存在，理由見解析【分析】（1）當時，推導出二面角為直角，結合面面垂直的定義可證得結論成立；（2）假設存在，使得直線平面，以為原點，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，將的坐標用的表達式表示，設，可得出關于、的方程組，解之可得出結論.【小問1詳解】證明：若，則平面?平面為同一個平面.連接、，則是中點，是中點，所以平面與平面重合，平面與平面重合，由正方體性質可知平面，因為、平面，所以，，，為二面角的平面角，因為，，則，同理可得，所以，所以，平面平面【小問2詳解】解：假設存在，使得直線平面，以為原點，分別以、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標系，則、、，故、，設平面的法向量為，則，取，得是平面的一個法向量，取的中點，的中點，連接、，則，因為，則，同理可知，，因為，，，則四邊形為矩形，所以，，于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，是二面角的平面角.于是，因為，，，因為，則，所以，因為，，，、