2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高一上冊1月期末數(shù)學(xué)綜合檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年山東省濟(jì)南市高一上學(xué)期1月期末數(shù)學(xué)綜合檢測試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的。1．“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．計(jì)算的結(jié)果等于（

）A． B． C． D．3．若命題“存在，使”是真命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．4．萊洛三角形以機(jī)械學(xué)家萊洛的名字命名，這種三角形應(yīng)用非常廣泛，不僅用于建筑和商品的外包裝設(shè)計(jì)，還用于工業(yè)生產(chǎn)中．萊洛三角形的畫法是：先畫正三角形，然后分別以三個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長長為半徑畫圓弧得到的三角形．如圖，若萊洛三角形的面積是，則弓形的周長為（

）A． B． C．6 D．5．函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．6．函數(shù)的零點(diǎn)所在區(qū)間為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若對任意的正數(shù)a，b，總有，則的最小值為（

）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則m的最小值為（

）A． B． C． D．二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得3分，有選錯(cuò)的得0分.）9．下列說法正確的是（

）A．若實(shí)數(shù)，滿足，則B．函數(shù)的最小值為C．已知，其中為第三象限角，則D．若函數(shù)，則對任意，有10．下列說法正確的是（

）A．函數(shù)（且）的圖象恒過定點(diǎn)B．若函數(shù)是奇函數(shù)，則函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱C．的單調(diào)遞增區(qū)間為D．若直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是11．群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識證明.群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對任意的a，，有；②對任意的a，b，，有；③存在，使得對任意的，有，e稱為單位元；④對任意的，存在，使，稱a與b互為逆元.則稱G關(guān)于“”新構(gòu)成一個(gè)群.則下列說法不正確的有（

）A．關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群B．自然數(shù)集關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群D．關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則．13．若函數(shù)，則不等式的解集為．14．不等式在上有解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是.四、解答題：本題共5小題，共77分。15．已知命題，使得，當(dāng)命題為真命題時(shí)，實(shí)數(shù)的取值集合為．(1)求集合；(2)設(shè)非空集合，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.16．已知函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求在區(qū)間上的最值．17．已知定義在上的函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且.(1)求的解析式；(2)判斷并用定義證明的單調(diào)性；(3)解不等式.18．已知定義在R上的函數(shù)滿足且，．(1)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a取值范圍；(2)設(shè)，若對任意的，存在，使得，求實(shí)數(shù)m取值范圍．19．已知函數(shù)為奇函數(shù)，且圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為.（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來的（縱坐標(biāo)變），得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域.（3）對于第（2）問中的函數(shù)，記方程在上的根從小到依次為，，，試確定的值，并求的值.數(shù)學(xué)答案題號12345678910答案CBBACCBDADABD題號11答案ABC1．C【分析】求出函數(shù)的定義域?yàn)镽時(shí)的范圍，再根據(jù)充要條件的定義判斷即可．【詳解】若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則當(dāng)，，符合要求；當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上所述，，故“”是“函數(shù)的定義域?yàn)镽”的充要條件.故選：C.2．B【分析】結(jié)合誘導(dǎo)公式，逆用兩角和的正弦公式求值即可.【詳解】.故選：B3．B【分析】根據(jù)特稱量詞命題的真假結(jié)合判別式求解，即得答案.【詳解】由題意知命題“存在，使”是真命題，即有實(shí)數(shù)解，故，即實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：B4．A【分析】設(shè)，利用萊洛三角形的面積求出R的值，即可求得答案.【詳解】設(shè)，則以點(diǎn)分別為圓心，圓弧所對的每個(gè)扇形面積均為，等邊的面積，所以萊洛三角形的面積是，則．，弓形的周長為．故選：A5．C【分析】利用定義判斷函數(shù)奇偶性，并判斷在上函數(shù)值符號，即可確定圖象.【詳解】由解析式，知的定義域?yàn)?，，所以為奇函?shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，BD不合題意，當(dāng)時(shí)，，，則，所以在上，結(jié)合各項(xiàng)函數(shù)圖象知，A選項(xiàng)不合題意，C選項(xiàng)滿足要求.故選：C6．C【分析】根據(jù)指對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷單調(diào)性，應(yīng)用零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【詳解】由解析式知，在上是增函數(shù)，且，，所以的零點(diǎn)所在區(qū)間為．故選：C7．B【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性可得，利用乘“1”法結(jié)合基本不等式運(yùn)算求解.【詳解】由題意可知：函數(shù)為定義域在上的奇函數(shù)，且為增函數(shù)，因?yàn)?，則，可得，即，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以的最小值為.故選：B.8．D【分析】由三角函數(shù)的圖象變換求得函數(shù)y=fx的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性，求得的取值，進(jìn)而求得的最小值.【詳解】由題意，將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，得到的圖象對應(yīng)的函數(shù)的圖象，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以且，解得，即，令，可得的最小值為.故選：D.9．AD【分析】對于A，利用基本不等式和冪的性質(zhì)可得恒成立；對于B，利用基本不等式求最值時(shí)，需要查驗(yàn)等號是否成立，而，故該函數(shù)取不到最小值為；對于C，注意到利用題設(shè)條件推得，求得，利用誘導(dǎo)公式即可求得，可判斷C項(xiàng)錯(cuò)誤；對于D，利用作差比較法推得，由即可推出.【詳解】對于A，由可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，又，故必有成立，故A正確；對于B，由，可得，故，因，故函數(shù)取不到最小值為，即B錯(cuò)誤；對于C，由題意，則，因，可得，故，而，故C錯(cuò)誤；對于D，因，，則由，因，則，即得,即,因，故得.故D正確.故選：AD.10．ABD【分析】根據(jù)可判斷A；利用奇函數(shù)的圖象的對稱性和函數(shù)圖象的平移可判斷B，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷C；通過畫函數(shù)圖象可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)，故A正確；對于B，因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象可由函數(shù)的圖象向右平移1個(gè)單位得到，所以函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱，故B正確；對于C，設(shè)，則，由，得或，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故C錯(cuò)誤；對于D，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象下圖所示，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象下圖所示，則當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以，故D正確.故選：ABD.11．ABC【分析】反例判斷A，B，C是否滿足④，對于D，對所有的，設(shè)，求出，依次看是否滿足要求.【詳解】A：由且，使，但，不存在，使，故A錯(cuò)誤；B：由且，都有，但，不存在，使，故B錯(cuò)誤；C：由且，使，但，不存在，使，故C錯(cuò)誤；D：對所有的，可設(shè)，則，①滿足加法結(jié)合律，即，有；②，使得，有；③，設(shè)，使，正確.故選：ABC.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對于D，對所有的，，求出.12．/【分析】根據(jù)終邊的點(diǎn)求三角函數(shù)值，即可求目標(biāo)式的值.【詳解】∵角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，∴，，，∴.故答案為.13．【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再把不等式化為，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)及解析式判斷時(shí)的單調(diào)性，最后利用奇偶性、單調(diào)性解不等式.【詳解】由，且定義域?yàn)镽，則為偶函數(shù)．則，由，可得，又，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知、在上單調(diào)遞增．所以，時(shí)單調(diào)遞增，所以，得，或，解得或．所以解集為故14．【分析】變形得到在上有解，換元后得到函數(shù)的最小值，從而得到.【詳解】，其中，故在上有解，令，則，其中在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，故，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故15．(1)(2)．【分析】（1）由題意可得方程有解，根據(jù)即可求解.（2）由題意得，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）由題意可得方程有解，所以，即，解得，所以．（2）因?yàn)槭堑谋匾獥l件，所以，又因?yàn)闉榉强占?，且，所以解得，所以?shí)數(shù)的取值范圍為．16．(1)；(2)答案見解析；(3)最小值為0，最大值為2.【分析】（1）先利用三角變換公式把化成的形式，利用求函數(shù)周期．（2）整體換元法求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.（3）整體換元法求函數(shù)的值域．【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以函?shù)的最小正周期為．（2）由得：．由得：．所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為．（3）因?yàn)?，所以．所以，函?shù)在上的最小值為0，最大值為2．17．(1)(2)在上單調(diào)遞增，證明見解析(3)【分析】（1）由關(guān)于原點(diǎn)對稱可得，再結(jié)合代入計(jì)算即可得；（2）借助單調(diào)性的定義證明即可；（3）結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)及函數(shù)單調(diào)性計(jì)算即可得.【詳解】（1）由題意可得為奇函數(shù)，，即，又，故，即，此時(shí)有，故為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，故；（2）在上單調(diào)遞增，證明如下：令，則，由，則，，，故，即在上單調(diào)遞增；（3）由題意可得為奇函數(shù)，則得，又在上單調(diào)遞增，則有，解得，故不等式的解集為.18．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，代入計(jì)算可得；（2）根據(jù)單調(diào)性得，分離參數(shù)求最值即可.（3）因?yàn)閷θ我獾?，存在，使得，等價(jià)于，先求的最小值，再分類討論對稱軸與區(qū)間的位置關(guān)系，使的最小值滿足小于等于1的條件，求解即可.【詳解】（1）由題意知，，即，所以，故.（2）由（1）知，，所以在R上單調(diào)遞增，所以不等式恒成立等價(jià)于，即恒成立.設(shè)，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.（3）因?yàn)閷θ我獾?，存在，使得，所以在上的最小值不小于在上的最小值，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，又的對稱軸為，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，解得，所以，綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍是.19．（1）；（2）；（3），.【詳解】（1）利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，利用正弦函數(shù)的周期，奇偶性求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的遞減區(qū)間；（2）利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得函數(shù)的值域；（3）由方程，得到，根據(jù)，求得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解.（1）由題意，函數(shù)因?yàn)楹瘮?shù)圖象的相鄰兩對稱軸間的距離為，所以，可得，又由函數(shù)為奇函數(shù)，可得，所以，因?yàn)椋?，所以函?shù)，令，解得，可函數(shù)的遞減區(qū)間為，再結(jié)合，可得函數(shù)的減區(qū)間為.（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度，可得