山東省青島市2024-2025學年高三上冊1月期末數(shù)學檢測試題（附解析）

山東省青島市2024-2025學年高三上學期1月期末數(shù)學檢測試題本試卷共6頁，19題.全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號，回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上的無效.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合，，則（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用對數(shù)函數(shù)的性質解集合A，再由交集的概念計算即可.【詳解】由，即.故選：C2.已知平面向量，則向量在向量上的投影向量是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)向量在向量上的投影向量公式：計算即得.【詳解】根據(jù)平面向量的投影向量的規(guī)定可得:向量在向量上的投影向量為：，即，因，則，，則向量在向量上的投影向量為.故選：D.3.若復數(shù)的共軛復數(shù)在復平面內對應的點位于第四象限，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】應用復數(shù)乘法化簡，再由所在象限的復數(shù)特征列不等式組求參數(shù)范圍.【詳解】由題設，可得，所以，對應的點位于第四象限，所以.故選：C4.已知函數(shù)的圖像關于原點中心對稱，則的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用余弦函數(shù)對稱中心求出的表達式，再賦值求得結果.【詳解】函數(shù)的圖像關于原點中心對稱,則，解得，因為，當時，取得最小值.故選：B5.展開式的常數(shù)項為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】利用二項展開式通項結合換底公式可求得結果.【詳解】的展開式通項為，由可得，且，所以，展開式中的常數(shù)項為.故選：C.6.橢圓任意兩條相互垂直的切線的交點軌跡為圓：，這個圓稱為橢圓的蒙日圓.在圓上總存在點，使得過點能作橢圓的兩條相互垂直的切線，財?shù)娜≈捣秶牵ǎ〢. B. C. D.【正確答案】D【分析】將在圓上總存在點能作橢圓的兩條相互垂直的切線轉化為圓與橢圓的蒙日圓總存在交點，然后列不等式求解即可.【詳解】由題意得橢圓的蒙日圓為，在圓上總存在點，則圓與總存在交點，即兩圓相切或相交，則，解得.故選：D.7.1551年奧地利數(shù)學家?天文學家雷蒂庫斯在《三角學準則》中首次用直角三角形的邊長之比定義正割和余割，在某直角三角形中，一個銳角的斜邊與其鄰邊的比，叫做該銳角的正割，用（角）表示；銳角的斜邊與其對邊的比，叫做該銳角的余割，用（角）表示，則（）A. B. C.4 D.8【正確答案】C【分析】根據(jù)給定的定義，利用銳角三角函數(shù)的定義轉化為角的正余弦，再利用二倍角公式、輔助角公式求解作答.【詳解】依題意，角可視為某直角三角形的內角，由銳角三角函數(shù)定義及已知得，所以.故選：C8.雙曲線的中心為原點，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，，經(jīng)過右焦點垂直于的直線分別交，于，兩點.已知、、成等差數(shù)列，且與反向.則雙曲線的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由題意為直角三角形，解出三邊后再由漸近線斜率求離心率【詳解】設，由勾股定理可得：得：，，由倍角公式，解得且，則，即，則離心率．故選:A二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分分.9.已知，則下列選項正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】對于A：直接觀察即可；對于B：做差法判斷；對于C：構造函數(shù)，確定函數(shù)單調性后可判斷；對于D：構造函數(shù)，確定單調性，然后通過化簡整理后可判斷.【詳解】對于A選項，不一定大于1，故A錯誤.對于B選項，因為，則，所以，故B正確.一題多解，根據(jù)糖水不等式，，，可知B正確.對于C選項，，令，則，則在上單調遞增.又因為，所以，即，故C正確.對于D選項，因為，所以，令，令，則在上恒成立，所以在上單調遞增，所以，即，則，即成立，故D正確.一題多解根據(jù)對數(shù)平均不等式，，可知D正確.故選：BCD.10.有一組樣本數(shù)據(jù)，添加一個數(shù)形成一組新的數(shù)據(jù)，且，則新的樣本數(shù)據(jù)（）A.眾數(shù)是1概率是B.極差不變的概率是C.第25百分位數(shù)不變的概率是D.平均值變大的概率是【正確答案】ABD【分析】根據(jù)題意計算出的每個可能的取值相應的概率，結合各選項的條件確定X可能的取值，即可求出相應的概率，即得答案.【詳解】由題意知，則，，，，對于A，眾數(shù)是1，說明添加的數(shù)為1，則，A正確；對于B，極差不變，說明添加的數(shù)，則極差不變的概率是，B正確；對于C，由于，故原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)均為第2個數(shù)，只要添加的數(shù)不為0，原數(shù)據(jù)和新數(shù)據(jù)從小到大排列后，第二個數(shù)相同，都為1，故第25百分位數(shù)不變的概率是，C錯誤；對于D，原樣本數(shù)據(jù)的平均值為，平均值變大，則添加的數(shù)要大于2，即，故平均值變大的概率是，D正確，故選：ABD11.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若是奇函數(shù)，，且對任意，，則（）A. B.C. D.【正確答案】ABD【分析】根據(jù)函數(shù)的性質和導函數(shù)的運算法則，結合賦值法可得相關結論.【詳解】因為，令得：，又因為，所以，故A正確；因為是定義域為的奇函數(shù)，所以，且為偶函數(shù).令，可得：①再用代替可得：②①②得：所以：，所以是周期為3的周期函數(shù)，所以：，故B正確.因為：，，所以：，所以：，故C錯誤；又因為亦為周期為3的周期函數(shù)，且為偶函數(shù)，所以令，可得：，所以.所以.故D正確.故選：ABD方法點睛：對于可導函數(shù)有：奇函數(shù)的導函數(shù)為偶函數(shù)；偶函數(shù)的導函數(shù)為奇函數(shù).若定義在上的函數(shù)是可導函數(shù)，且周期為，則其導函數(shù)也是周期函數(shù)，且周期也為.三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知正四棱臺的上?下底面邊長分別為2和4，若側棱與底面所成的角為，則該正四棱臺的體積為__________.【正確答案】##【分析】作出輔助線，根據(jù)側棱與底面所成角的大小求出臺體的高，利用臺體體積公式求出答案.【詳解】如圖，延長相交于點，連接，過點作⊥平面，交于點，則⊥平面于點，且點在上，其中，過點作⊥于點，則，所以，因為側棱與底面所成的角為，所以，故，則該正四棱臺的體積為.故13.某次會議中，籌備組將包含甲?己在內的4名工作人員，分配到3個會議廳工作，每個會議廳至少1人，每人只負責一個會議廳，則甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法共有__________種.（用數(shù)字作答）【正確答案】30【分析】先求出4名工作人員分配到3個會議廳的情況數(shù)，甲乙兩人分配到同一個會議廳的情況數(shù)，相減得到答案.【詳解】將4名工作人員分配到3個會議廳，方案有種情況，其中甲?乙兩人分配到同一個會議廳的情況為，從而甲?乙兩人不能分配到同一個會議廳的安排方法有種.故3014.某同學在研究構造新數(shù)列時發(fā)現(xiàn)：在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷構造出新的數(shù)列.將數(shù)列1，2進行構造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列；...第次得到數(shù)列；記，則__________；__________.【正確答案】①.②.【分析】找到規(guī)律，得到，，結合等比數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】，，，依次類推，得到，故.故42，-3四?解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.記的內角的對邊分別為，已知.（1）求的值；（2）若，且的周長為，求邊上的高.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結合切化弦可得，利用正余弦定理邊化角，可得，即可求得答案；（2）由題意可得，結合（1）即可求出，利用余弦定理求出，進而求得，結合邊上的高為，即可求得答案【小問1詳解】由，可得，所以，又由正弦定理和余弦定理，可得，整理得，所以.【小問2詳解】由，且的周長為，可得，又由（1）可知，，即，所以，聯(lián)立方程組，解得，所以，則，所以邊上的高為.16.如圖，底面是邊長為2的菱形，平面.（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先證平面，再證得,從而得平面，即得：平面平面；（2）通過（1）的條件建系，求出相關點的坐標，表示出兩平面的法向量，利用空間向量的夾角公式計算即得.【小問1詳解】平面平面..又底面是菱形，.平面平面，如圖，設交于，取的中點，連，則，因，則,故是平行四邊形.則因平面，平面，又因平面平面平面.【小問2詳解】以為坐標原點，所在直線分別為軸建立如圖空間直角坐標系因，則設平面的法向量為則故可取，又設平面的法向量則故可取.設平面與平面夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為.17.為檢驗預防某種疾病的兩種疫苗的免疫效果，隨機抽取接種疫苗的志愿者各100名，化驗其血液中某項醫(yī)學指標（該醫(yī)學指標范圍為，統(tǒng)計如下：該項醫(yī)學指標接種疫苗人數(shù)1050接種疫苗人數(shù)3040個別數(shù)據(jù)模糊不清，用含字母的代數(shù)式表示.（1）為檢驗該項醫(yī)學指標在內的是否需要接種加強針，先從醫(yī)學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人，再次抽血化驗進行判斷.從這8人中隨機抽取4人調研醫(yī)學指標低的原因，記這4人中接種疫苗的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；（2）根據(jù)（1）化驗研判結果，醫(yī)學認為該項醫(yī)學指標低于50，產(chǎn)生抗體較弱，需接種加強針，該項醫(yī)學指標不低于50，產(chǎn)生抗體較強，不需接種加強針.請先完成下面的列聯(lián)表，若根據(jù)小概率的獨立性檢驗，認為接種疫苗與志愿者產(chǎn)生抗體的強弱有關聯(lián)，求的最大值.疫苗抗體合計抗體弱抗體強疫苗

疫苗

合計

附：，其中.0.250.0250.0051.3235.0247.879【正確答案】（1）分布列見解析，（2）列聯(lián)表見解析，2【分析】（1）由抽樣調查性質可得抽取接種疫苗人數(shù)，計算出的所有可能取值的對應概率可得分布列，由分布列可計算期望；（2）結合計算公式計算出對應的范圍即可得.【小問1詳解】從醫(yī)學指標在的志愿者中，按接種疫苗分層抽取8人中，接種疫苗有2人，接種疫苗有6人，由題意可知，可能取值為，，的分布列為：234則；【小問2詳解】列聯(lián)表如下：疫苗抗體合計抗體弱抗體強疫苗100疫苗100合計60140200則，由題意可知，，整理得，，解得或，又，則，所以，故的最大值為2.18.已知橢圓的離心率，其上焦點與拋物線的焦點重合.（1）求橢圓的方程；（2）若過點的直線交橢圓T于點、，同時交拋物線于點、（如圖1所示，點在橢圓與拋物線第一象限交點上方），判斷與的大小關系，并證明；（3）若過點的直線交橢圓于點、，過點與直線垂直的直線交拋物線于點、（如圖2所示），判斷四邊形的面積是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，說明理由.【正確答案】（1）（2），證明見解析（3）存在，最小值為【分析】（1）求出拋物線焦點坐標，可得出的值，利用橢圓的離心率可得出的值，由此可計算出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設直線方程為，分析可知，將直線的方程分別與橢圓、拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達定理，利用弦長公式求出、，利用作差法可得出、的大小關系；（3）設、、、，對直線的斜率是否存在進行分類討論，在直線的斜率存在時，求出、的表達式，利用二次函數(shù)的基本性質可求得四邊形面積的取值范圍；在直線的斜率不存在時，直接求出四邊形的面積，綜合可得出四邊形面積的最小值.【小問1詳解】解：由題意可知，拋物線的焦點為，由題意可知，，，則，所以，，因此，橢圓的方程為.【小問2詳解】解：由題意，設橢圓與拋物線的交點為，聯(lián)立解得，即點，所以，直線的斜率為，若要產(chǎn)生如圖1中、、、四點的位置，可知，設直線方程，設、、、，聯(lián)立，消去得，，由韋達定理可得，，所以，拋物線方程為，聯(lián)立，消去得，，由韋達定理可得，，所以，所以，即.【小問3詳解】解：存在最小值，最小值為.設、、、，當直線的斜率存在且不為零時，設直線方程為，則直線方程為，由（2）可知：，由，以替換，可得，所以，因為，令，則函數(shù)在上單調遞減，當時，則，則，當直線的斜率不存在時，由可得，則，，所以.綜上所述：，所以四邊形面積的最小值為.方法點睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調性或三角函數(shù)的有界性等求最值.19.已知函數(shù).（1）若為奇函數(shù)，求此時在點處的切線方程；（2）設函數(shù)，且存在分別為的極大值點和極小值點.（i）求函數(shù)的極值；（ii）若，且，求實數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）（2）（i）答案見解析；（ii）.【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義,求出的值,然后利用導數(shù)求切線方程.（2）(i)對進行求導,將既存在極大值,又存在極小值轉化成必有兩個不等的實數(shù)根,利用導數(shù)得到的單調性和極值,進而即可求解;(ii)對進行求導,利用導數(shù)分析的極值,將恒成立轉化成,構造函數(shù),利用導數(shù)分類討論求解即可.【小問1詳解】為奇函數(shù)，有，則，經(jīng)檢驗知滿足題意，所以所以，，所以在點處的切線方程為.【小問2詳解】（i），因為函數(shù)既存在極大值，又存在極小值，則必有兩個不等的實根