地下水動力學地下水流基本微分方程及定解條件

第二章地下水流基本微分方程及定解條件基本理論：連續(xù)性假設+達西定律+水均衡原理對各種水流問題建立基本微分方程及數(shù)學模型：

●按空間維數(shù)：一維、二維（平面二維、剖面二維）、三維●按含水層類型：承壓水流、潛水流、多層（越流聯(lián)系）等求解數(shù)學模型（利用解析法），得到一些典型解析解：

●裘布依穩(wěn)定井流模型

●無越流承壓含水層中的完整井流（泰斯模型）

●無越流潛水含水層中的完整井流（博爾頓模型-考慮滯后給水、紐曼模型-考慮流速垂直分量和彈性儲量）

●越流系統(tǒng)中的承壓完整井流模型應用：●預測抽水條件下的水頭變化；●利用抽水試驗資料求含水層參數(shù)。第二章地下水流基本微分方程及定解條件教學目標：準確理解滲流連續(xù)性概念掌握達西定律和質量守恒原理的應用掌握建立地下水基本微分方程的思想方法幾種典型的地下水流方程的推導

●潛水剖面二維流、平面二維流

●承壓水二維流●三維流邊界條件概化，初始條件確定方法與原則能夠用數(shù)學模型描述實際問題第二章地下水流基本微分方程及定解條件主要內容：建立連續(xù)性方程分析含水層與巖石、流體壓縮性關系建立不同含水層地下水流微分方程討論邊界條件及初始條件用數(shù)學模型描述實際問題

2.1水和多孔介質的壓縮性水的壓縮方程（地下水的狀態(tài)方程)假定水近似地符合彈性變形，依虎克定律，有

p

為水壓；

V

為水的體積；β為水的體積彈性壓縮(或膨脹)系數(shù)E為體積彈性模量。V隨p增大而減小，即dV/dp<0

積分壓縮系數(shù)：單位壓力變化時引起的液體單位體積的變化量，單位為平方米每牛。其倒數(shù)為體積模量，單位為帕斯卡。水體壓縮系數(shù)與壓力和溫度有關。水的壓縮方程按Taylor級數(shù)展開由于

很小，且p變化不大，故水的壓縮方程由于V~V0變化不大，故由于水的壓縮方程多孔介質的壓縮方程假定多孔介質近似地符合彈性變形，依虎克定律，有

α為巖土的體積彈性壓縮系數(shù)。如果上部荷載不變，則由于骨架部分體積不變Vv＝nVb；Vs＝(1-n)VbVv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb式中——多孔介質固體顆粒壓縮系數(shù)，表示多孔介質中固體顆粒本身的壓縮性的指標，

s<<

p；

——多孔介質中孔隙壓縮系數(shù)（Compressibilityoftheporesofaporousmedium），表示多孔介質中孔隙的壓縮性的指標。n——多孔介質的孔隙度。

1-8因，故。1-9說明本節(jié)假設：假定多孔介質變形符合彈性規(guī)律，對研究含水層釋水時可用；但對研究地面沉降問題時，應用有所差異。水的壓縮方程多孔介質的壓縮方程2.2水和多孔介質的壓縮性地下水彈性儲存概念取一典型處于平衡狀態(tài)的飽和地層柱體來研究，這里只考慮垂直一維壓密，忽略側面上粒間力(包括內聚力和摩擦力)的作用。含水層上覆巖土體、地表建筑物和大氣壓力等荷載形成的總壓應力

由粒間應力的垂向分量

s和孔隙水應力p兩者來平衡.

為單位水平面積中顆粒間接觸面積的水平投影.由于<<1，令（K.Terzaghi)Terzaghi有效應力公式多孔介質總應力有效應力孔隙水應力有效應力公式分析p減少

地下水體積膨脹，從而釋放出部分地下水；p減少

地下水對上覆巖土體浮力降低，為維持平衡，這部分力將轉嫁到多孔介質固體骨架上，增大有效應力，壓縮多孔介質，結果使含水層介質厚度變薄和空隙率n變小，同時從孔隙中釋放地下水；p減少

多孔介質固體顆粒也會膨脹,而有效應力增大又會影響固體顆粒的變形。綜合起來，這種現(xiàn)象比較復雜?？紤]到固體顆粒的壓縮性比多孔介質要小得多，因此通常忽略多孔介質固體顆粒的壓縮性。水壓p減少，將引起以下作用:地下水彈性儲存物理意義：彈性儲存與重力儲存不同；給水機制不同彈性儲存更宜理解為“變形儲存”；彈性儲存這種性質不僅承壓含水層具備，層間弱透水層也有彈性儲存彈性儲存：當?shù)叵滤^（水壓）降低(或升高）時，含水層、弱透水層釋放（或儲存）地下水的性質因Vs=constant，故只在垂直方向上有壓縮，故上兩式表示垂直厚度變化、孔隙度變化與水的壓強變化的關系。水頭降低時含水層釋出水的特征，取面積為1m2、厚度為lm(即體積為lm3)的含水層，考察當水頭下降1m時釋放的水量。此時，有效應力增加了

H＝

g×1=

g。介質壓縮體積減少所釋放出的水量（dVb）為與水體積膨脹所釋放出的水量（dV）之和（1-12）（1-13）上述二者之和所釋放出的水量為或式中

s——貯水率[釋水率]（specificstorativity），量綱[L-1]，為彈性釋水[貯水]；式中M——含水層厚度(m)；

*——貯水系數(shù)（storativity）。 *=sM貯水系數(shù)*和貯水率

s都是表示含水層彈性釋水能力的參數(shù)，在地下水動力學計算中具有重要的意義。（1-14）貯水率表示含水層水頭變化一個單位時，從單位體積含水層中，因水體積膨脹（壓縮）以及骨架的壓縮（或伸長）而釋放（或儲存）的彈性水量。單位1/L。貯水系數(shù)又稱釋水系數(shù)或儲水系數(shù)，為含水層水頭變化一個單位時，從底面積為一個單位，高度等于含水層厚度的柱體中所釋放（或貯存）的水量；指面積為一個單位、厚度為含水層全厚度M的含水層柱體中，當水頭改變一個單位時彈性釋放或貯存的水量，無量綱。既適用于承壓含水層，也適用于潛水含水層。

貯水率是描述地下水三維非穩(wěn)定流或剖面二維流中的水文地質參數(shù)，既適用于承壓水也適用于潛水。對于平面二維非穩(wěn)定流地下水運動，當研究整個含水層厚度上的釋水情況時，用貯水系數(shù)來體現(xiàn)。上述兩參數(shù)之間的不同，還在于潛水含水層存在滯后疏干現(xiàn)象。彈性釋水與重力給水:對于含水層而言，由于受埋藏條件的限制，抽水時，水的給出存在著不同。潛水含水層在抽水過程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位變動帶（飽水帶）和包氣帶兩部分，由于包氣帶的存在，使得飽水帶中水的釋放存在延滯和滯后現(xiàn)象。當水頭下降時，可引起二部分水的排出。在上部潛水面下降部位引起重力排水，用給水度

表示重力排水的能力；在下部飽水部分則引起彈性釋水，用貯水率*表示這一部分的釋水能力。必須區(qū)分兩者之間的不同，潛水含水層還存在滯后疏干現(xiàn)象。 承壓含水層抽水時，水的釋放是由于壓力減少造成的，這一過程是瞬時完成的。只要水頭下降不低到隔水頂板以下，水頭降低只引起含水層的彈性釋水，可用貯水系數(shù)*表示這種釋水的能力。導壓系數(shù)描述含水層水頭變化的傳導速度的參數(shù)，其數(shù)值等于含水層的導水系數(shù)與貯水系數(shù)之比或滲透系數(shù)與貯水率之比。量綱為L2T-1。2.2滲流連續(xù)性方程水均衡的基本思想：對某一研究對象，

流入－

流出＝

V研究對象可以是大區(qū)域的，也可以是微分單元體大區(qū)域的水均衡計算經常用于區(qū)域的水資源評價本課程基于微分單元體做水均衡，推導滲流連續(xù)性方程。連續(xù)性方程就是質量守恒方程，也稱為水均衡方程為反映含水層地下水運動的普遍規(guī)律，我們選定在各向異性多孔介質中建立地下三維不穩(wěn)定流動連續(xù)性方程。X方向流入X方向流出X方向流入流出差圖2-1-1多孔介質單元水均衡要素圖假設：水是可壓縮的，多孔介質骨架在垂直方向可壓縮，但在水平方向不可變形。均衡的含義：在

t時段內從x,y,z三個方向共6個單元界面上流入流出水的凈總質量等于單元體內儲存量的變化。滲流連續(xù)性方程推導X方向流入流出差y方向流入流出差z方向流入流出差單元體內地下水質量變化量滲流連續(xù)性方程推導X方向流入流出差y方向流入流出差z方向流入流出差單元體內地下水質量變化量地下水連續(xù)性方程滲流連續(xù)性方程水和多孔介質的壓縮方程總水頭和孔隙水壓力關系意義：反映了滲流場內任何一個“局部”所必須滿足的質量守恒定律。2.3滲流基本微分方程本節(jié)：利用達西定律，并綜合上述各式，將滲流連續(xù)性方程轉化為以水頭H為因變量的滲流基本微分方程。（一）化簡滲流連續(xù)性方程化簡由含水層狀態(tài)方程，==因為所以有，Z為定值，則則可得到：（1-70）（1-69）于是連續(xù)性方程（1-65）變?yōu)椋簞t:

令則1-65式變?yōu)椋簞t有：即：1-65式變?yōu)椋海ǘ┗喎匠套蠖隧棶敐B流滿足達西定律，且取坐標與各向異性主軸方向一致，有由于在一般情況下，水的密度變化很小，可視

近似不變，故滲流連續(xù)性方程化簡（二）化簡方程左端項同理兩邊代入水均衡方程，有滲流連續(xù)性方程化簡兩邊同除以物理意義：表示在達西流動條件下，單位體積、單位時間的水均衡關系。且令得到各向異性含水層地下水三維流的基本微分方程均質含水層，忽略含水介質在壓縮過程所引起介質滲透性的變化：

各種形式對于等厚承壓含水層，且屬于平面二維流

Txx和Tyy為主方向的含水層導水系數(shù)(L2/T)；M為承壓含水層厚度(L)；*為承壓含水層的儲水系數(shù)或彈性給水度。其物理意義是：單位水平面積承壓含水層柱體，當水頭下降一個單位時所釋放的水量(無量綱)。

極坐標下均質、等厚、各向同性承壓含水層軸對稱流(徑向流)穩(wěn)定流條件當存在源匯項時

和W分別為三維流和平面二維流的源匯。分別定義為單位體積含水層和單位水平面積含水層柱體中，單位時間內產生（為正值）或消耗（為負值）的水量?？偨Y各種形式，當存在源匯項時左端加上

原形均質二度各向異性軸對稱問題各向同性介質穩(wěn)定流條件原形均質二度各向異性軸對稱問題各向同性介質穩(wěn)定流條件2.4潛水流動的布西涅斯克微分方程滲流的垂直分流速度vz遠遠小于水平分流速度vx和vy,可忽略vz,既假定等水頭面是鉛垂面。一、裘布依假定(DupuitAssumption):裘布依微分方程對于剖面二維流，其中H僅僅隨x而變，與z無關，即H=H(x,t)。對于單寬流量qx,有裘布依微分方程應用裘布依假定的應用:使剖面二維流問題(x,z)降階為水平一維問題近似處理使三維問題(x,y,z)降階為水平二維(x,z)問題處理使?jié)撍孢吔缣幚淼暮唵位?直接近似地在微分方程中處理裘布依假定的局限性:

當潛水面存在垂向補給、排泄或潛水呈不穩(wěn)定流時，即使?jié)撍嫫露群苄?，能否引出裘布依假定而將等水頭面視為鉛垂面則要視條件具體分析二、布西涅斯克(Boussinesq)微分方程假定:研究的潛水流滿足裘布依假定水和骨架不可壓縮（含義：無彈性儲存）

=const,

s=0潛水層隔水底板水平潛水面上存在水量的交換WW>0，入滲W<0，蒸發(fā)W定義為潛水面處單位水平面積、單位時間的入滲量布西涅斯克方程推導研究剖面二維流（x-z)均衡單元體：長度為

x，寬度為1個單位的含水層柱體均衡

V=

流入－

流出均衡時段

tx方向流入流出差z方向流入上邊界－－潛水面邊界下邊界－－隔水邊界V=0x,z方向流入流出差單元體內水體積的增量表現(xiàn)為水位在該時段內的上升或下降水均衡方程:布西涅斯克方程推導注意:

d為重力給水度，是在重力作用下單位水平面積的潛水含水層柱體在其潛水面下降或上升單位水頭時釋放或儲存的水量。上述推導運用了裘布依假定，忽略垂向分流速，因此可近似用

x代替

s.布西涅斯克方程將刻畫潛水面邊界問題簡單化為用W直接表示。布西涅斯克微分方程線性化布西涅斯克方程線性化布西涅斯克方程線性化布西涅斯克方程2.5地下水流動定解條件及數(shù)學模型地下水流動控制微分方程潛水二維不穩(wěn)定流動控制方程承壓水二維不穩(wěn)定流動控制方程定解條件邊界條件初始條件2.5地下水流動定解條件及數(shù)學模型1數(shù)學模型的有關概念 同一形式的偏微分方程代表了整個一大類的地下水流的運動規(guī)律，而對于不同邊界性質、不同邊界形狀的含水層，水頭的分布是不同的。而且對于偏微分方程而言，方程本身并不包含反映特定滲流區(qū)條件的全部信息，方程可能存在無數(shù)個解，如需要從大量的可能解中求得與特定區(qū)域條件相對應的唯一特解，就必須提供反映特定區(qū)域特征的信息。這些信息包括：（1）微分方程中的有關參數(shù)，當這些參數(shù)確定后，微分方程才能被確定下來。（2）滲流區(qū)范圍和形狀，當微分方程所對應的區(qū)域被確定之后才能對方程求解。（3）邊界條件(boundaryconditions)：表示滲流區(qū)邊界所處的條件，用以表示水頭H（或滲流量q）在滲流區(qū)邊界上所應滿足的條件，也就是滲流區(qū)內水流與其周圍環(huán)境相互制約的關系。（4）初始條件(initialconditions)：表示滲流區(qū)的初始狀態(tài)，某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內水頭H的分布情況。 將邊界條件和初始條件并稱為定解條件,指水頭、流量等滲流運動要素在流場邊界上的已知變化規(guī)律，這種變化規(guī)律是由流場外部條件引起的，但它不斷地影響流場內部的滲流過程并在整個期間一直起作用。微分方程和定解條件一起構成滲流場的數(shù)學模型。

數(shù)學模型：描述某一研究區(qū)地下水流運動的數(shù)學方程與其定解條件共同構成的表示某一實際問題的數(shù)學結構。亦即從物理模型出發(fā)，用簡潔的數(shù)學語言，即一組數(shù)學關系式來刻畫它的數(shù)量關系和空間形式，從而反映所研究地質體的地質、水文地質條件和地下水運動的基本特征，達到復制或再現(xiàn)一個實際水流系統(tǒng)基本狀態(tài)的目的的一種數(shù)學結構。其中微分方程表示地下水的流動規(guī)律，定解條件表明研究對象所處的特定環(huán)境條件，即所研究的地下水流的真實狀態(tài)。定解問題是給定了方程（或方程組）和相應定解條件的數(shù)學物理問題。建立模型是指建立數(shù)學模型的過程。二、定解條件

(1)第一類邊界條件(Dirichlet條件)：如果在某一部分邊界(設為S1或Γ1)上，各點在每一時刻的水頭都是已知的，則這部分邊界就稱為第一類邊界或給定水頭的邊界，表示為:或

給定水頭邊界不一定就是定水頭邊界。 可以作為第一類邊界條件來處理的情況：①河流或湖泊切割含水層，兩者有直接水力聯(lián)系時，這部分邊界就可以作為第一類邊界處理。此時，水頭φ是一個由河湖水位的統(tǒng)計資料得到的關于t的函數(shù)。但要注意，某些河、湖底部及兩側沉積有一些粉砂、亞粘土和粘土，使地下水和地表水的直接水力聯(lián)系受阻，就不能作為第一類邊界條件來處理。 ②區(qū)域內部的抽水井、注水井或疏干巷道也可以作為給定水頭的內邊界來處理。此時，水頭通常是按某種要求事先給定，例如給定抽水井的允許降深等。上面介紹的都只是給定水頭的邊界。注意，給定水頭邊界不一定是定水頭邊界。③排泄地下水的溢出帶、沖溝或排水渠的邊界也可近似看作給定水頭邊界。

(2)第二類邊界條件(Neumam條件)：當知道某一部分邊界(設為S2或Γ2)單位面積(二維空間為單位寬度)上流入(流出時用負值)的流量q時，稱為第二類邊界或給定流量的邊界。相應的邊界條件表示為:式中，n為邊界S2或Γ2的外法線方向。q1和q2則為已知函數(shù)，分別表示S2上單位面積和Γ2上單位寬度的側向補給量。常見的這類邊界條件：①隔水邊界（流線、分水嶺）：②抽水井或注水井：③補給或排泄地下水的河渠邊界上，如已知補給量。（3）第三類邊界條件：某邊界上H和的線性組合是已知的，即有：又稱混合邊界條件，，為已知函數(shù)。邊界為弱透水層（滲透系數(shù)為K1，厚度或寬度為m1），（1-108）（1-109）在s3上,在Γ3上,浸潤曲線的邊界條件：當浸潤曲線下降時，從浸潤曲線邊界流入滲流區(qū)的單位面積流量q為：式中，

為給水度，

為浸潤曲線外法線與鉛垂線間的夾角。（1-110）（1-111）（1-112）（1-113）

一、定解條件潛水面邊界三維條件下

3)初始條件 初始條件:某一選定的初始時刻(t=0)滲流區(qū)內水頭H的分布情況?；蚱渲校琀0為D上的已知函數(shù)。（1-114）（1-115）

(1)線性、非線性模型 模型由線性方程所組成，稱為線性模型，如均質各向同性承壓二維流方程。模型由非線性方程所組成，稱為非線性模型，如潛水模型方程。

(2)靜態(tài)、動態(tài)模型根據(jù)模型中未知變量與時間的關系進行劃分，若未知變量與時間無關，如穩(wěn)定流模型，稱為靜態(tài)模型，反之，則為動態(tài)模型。

(3)集中、分布參數(shù)模型 模型中不含有空間坐標變量的模型，稱為集中參數(shù)模型，如抽水井流量與降深之間的經驗公式。模型中含有空間坐標變量的模型，稱為分布參數(shù)模型。(4)確定性與隨機性模型

確定性模型：數(shù)學模型中各變量之間有嚴格的數(shù)學關系的模型。

隨機性模型：數(shù)學關系式中含有一個或多個隨機變量的模型。三、滲流數(shù)學模型的分類用確定性模型來描述實際地下水流時，如前述，必須具備下列條件：①有一個(或一組)能描述這類地下水運動規(guī)律的偏微分方程；同時，確定了相應滲流區(qū)的范圍、形狀和方程中出現(xiàn)的各種參數(shù)值。②給出相應的定解條件。對所建立的模型進行檢驗，即把模型預測的結果與通過抽水試驗或其它試驗對含水層施加某種影響后所得到的實際觀測結果或一個地區(qū)地下水動態(tài)長期觀測資料進行比較，看兩者是否一致。若不一致，就要對模型進行校正，即修正條件(1)和(2)直至滿意擬合為止。這一步驟稱為識別模型或校正模型。

經過校正后的模型，能代表所研究的地質體，或者說是實際水流系統(tǒng)的復制品了，因而可以根據(jù)需要，用這個模型進行計算或預測，例如預測礦床疏干時的涌水量及地下水污染情況預測等。③解(即滿足條件①和②的解)是存在的(存在性)；④解是唯一的(唯一性)；要求所提問題的解存在和唯一是不言而喻的。 ⑤解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的(穩(wěn)定性)。即穩(wěn)定性的要求，意味著當參數(shù)或定解條件發(fā)生微小變化時，所引起的解的變化也是很微小的。只有有了這條保證，當參數(shù)和定解條件的數(shù)據(jù)有某些誤差時，所求得的解才能仍然接近于真解；否則，解是不可信的，并應該認為此時的數(shù)學模型是有毛病的。在實際工作中，原始數(shù)據(jù)有某種誤差，在所難免，所以這個條件很重要。

適定問題（Well–posedproblem）是指數(shù)學模型滿足（1）解是存在的（存在性），（2）解是唯一的（唯一性），（3）解對原始數(shù)據(jù)是連續(xù)依賴的（穩(wěn)定性）這三個條件的問題。只要有一條不滿足就是不適定問題。正問題是根據(jù)數(shù)學模型、給定的含水層水文地質參數(shù)和定