備戰(zhàn)2024高考一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)(理)-第五章-平面向量、復(fù)數(shù)-第三節(jié)-平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用

第三節(jié)平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義.2.了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系.3.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.4.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.5.會(huì)用向量的方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題.6.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題.1．平面向量數(shù)量積的有關(guān)概念2．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示3．平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律交換律a·b＝_____結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·cb·a(1)平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式①(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；②(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；③a2＋b2＝0?a＝b＝0.(2)有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論①兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b>0，反之不成立(因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立)；②兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b<0，反之不成立(因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立)．2．已知△ABC三頂點(diǎn)為A(－1，－4)，B(5,2)，C(3,4)，則△ABC是

(

)A．銳角三角形

B．直角三角形C．鈍角三角形

D．等腰三角形3．已知|a|＝2，|b|＝3，且a⊥b，則(a＋b)·(2a－b)＝________.答案：－15．(2021·北京高考)已知a＝(2,1)，b＝(2，－1)，c＝(0,1)，則(a＋b)·c＝________；a·b＝________.答案：0

3[一“點(diǎn)”就過(guò)]計(jì)算平面向量數(shù)量積的主要方法(1)利用定義：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐標(biāo)運(yùn)算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2.(3)活用平面向量數(shù)量積的幾何意義．3．(2022·新高考Ⅱ卷)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，則t＝

(

)A．－6 B．－5C．5 D．64．(2022·全國(guó)甲卷)已知向量a＝(m,3)，b＝(1，m＋1)．若a⊥b，則m＝______.5．(2021·全國(guó)甲卷)若向量a，b滿足|a|＝3，|a－b|＝5，a·b＝1，則|b|＝______.[方法技巧]解決涉及幾何圖形的向量的數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，可先利用向量的加、減運(yùn)算或數(shù)量積的運(yùn)算律化簡(jiǎn)后再運(yùn)算．但一定要注意向量的夾角與已知平面幾何圖形中的角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．

[方法技巧]解平面向量中有關(guān)最值問(wèn)題的思路形化利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷數(shù)化利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集、方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式、方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決解析：設(shè)a與b的夾角為θ，θ∈[0，π]．因?yàn)?a－b)⊥(3a－b)，所以(a－b)·(3a－b)＝0.整理可得3a2－4a·b＋b2＝0，即3|a|2－4a·b＋|b|2＝0.(2)已知e1與e2是兩個(gè)互相垂直的單位向量，若向量e1＋k