中考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)訓(xùn)練專(zhuān)題28 定弦定角(解析版)

專(zhuān)題28定弦定角模型的概述：因?yàn)橥瑘A或等圓中等弦所對(duì)的圓周角相等，所以當(dāng)弦的長(zhǎng)度保持不變和弦所對(duì)應(yīng)的角度大小固定時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡就是圓或者圓弧。如圖，已知AB為定線(xiàn)段，P為動(dòng)點(diǎn)，且∠APB=α，則A、B、P三點(diǎn)必共圓，或稱(chēng)為點(diǎn)P一定在以AB為弦的某一個(gè)圓上，且這個(gè)圓是固定的，圓心在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡為關(guān)于線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的圓弧上（①∠APB<90°，在線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)②∠APB>90°，在線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的劣弧上運(yùn)動(dòng)），但不包括A、B兩點(diǎn)。定弦定角問(wèn)題常應(yīng)用于求線(xiàn)段的“最值”，問(wèn)題的關(guān)鍵就在于找到運(yùn)動(dòng)過(guò)程中必存在的定線(xiàn)段，及這條線(xiàn)段關(guān)于某一動(dòng)點(diǎn)的張角為定值，由張角的變化，去尋找這三點(diǎn)所構(gòu)成的定圓?！揪毩?xí)】如圖，已知AB=2，點(diǎn)C為動(dòng)點(diǎn)，且∠ACB=30°、45°、60°，畫(huà)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡，求△ABC外接圓半徑?！敬鸢浮繄A心為兩邊垂直平分線(xiàn)交點(diǎn)。△ABC外接圓半徑根據(jù)垂徑定理自行求解。動(dòng)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)軌跡為關(guān)于線(xiàn)段AB對(duì)稱(chēng)的優(yōu)弧上，但不包括A、B兩點(diǎn)。【提問(wèn)】在△ABP中,∠P=α,AB=2x.1）求△ABP中AB邊所對(duì)的高的最值。2）求△ABP面積的最值?！咎崾尽窟@個(gè)模型就是我們所謂的定角定弦模型,也就是在一個(gè)三角形中一個(gè)角和它的對(duì)邊保持不變,在AB邊固定的同時(shí),雖然∠P的大小不變,但頂點(diǎn)P的位置可以發(fā)生變化P,由于同弧所對(duì)的圓周角不變,故頂點(diǎn)P可以在△ABP的外接圓的BC這段弦所對(duì)的圓弧上運(yùn)動(dòng)（不包括B,C兩點(diǎn)）。當(dāng)高線(xiàn)PD過(guò)圓心時(shí)有最大的高,即h≤OP1+OD.思路：作△ABP的外接圓圓O∵∠AP1B=α∴∠AOB=2α而△AOD≌△BOD∴∠AOD=∠BOD=αAD=BD=x在Rt△AOD中，AO=ADsinα=xsinαDO=AOPC≤P1D=OP1+OD=xsinα+xcosαsinα=xsinS△ABP=12?PC?AB≤12?P1D?AB=12?xsinα(1+cosα【培優(yōu)過(guò)關(guān)練】1．（2023秋·江蘇常州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，同一個(gè)圓中的兩條弦、相交于點(diǎn)E．若，，則與長(zhǎng)度之和的最小值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，以為邊作等邊，則，而，則E在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，記，所在的圓為，連接，，，，證明，再證明，（當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），再利用弧長(zhǎng)公式進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：如圖，以為邊作等邊，則，而，則E在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，記，所在的圓為，連接，，，，∴，，∴，∵結(jié)合三角形的三邊關(guān)系可得：，（當(dāng)，，三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)取等號(hào)），當(dāng)時(shí)，半徑最小，此時(shí)半徑為，∴此時(shí)與的和最小，最小值為：．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查的是等邊三角形的性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系的應(yīng)用，三角形外接圓的含義，圓周角定理的應(yīng)用，弧長(zhǎng)的計(jì)算，確定弧長(zhǎng)和取最小值時(shí)圓心O的位置是解本題的關(guān)鍵．2．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，點(diǎn)在半圓上，半徑，，點(diǎn)在弧上移動(dòng)，連接，作，垂足為，連接，點(diǎn)在移動(dòng)的過(guò)程中，的最小值是______．【答案】【分析】先確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，再根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可得取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置，然后利用圓周角定理、線(xiàn)段的和差即可得．【詳解】如圖，設(shè)AD的中點(diǎn)為點(diǎn)E，則由題意得，點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡在以點(diǎn)E為圓心，EA為半徑的圓上由點(diǎn)與圓的位置關(guān)系得：連接BE，與圓E交于點(diǎn)H，則此時(shí)取得最小值，連接BDAB為半圓O的直徑故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，依據(jù)題意，確定點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)軌跡，從而得出BH取最小值時(shí)，點(diǎn)H的位置是解題關(guān)鍵．3．（2021秋·四川成都·九年級(jí)成都嘉祥外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，，，過(guò)點(diǎn)作的平行線(xiàn)，為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，為的外接圓，直線(xiàn)交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】2【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC=120°，根據(jù)定弦定角，可得點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最?。驹斀狻拷猓喝鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC=∠ACB=60°，∴∠CEP=∠CAP=60°，∴∠BEC=120°，,為定值，則點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡為一段圓弧如圖，點(diǎn)E在以M為圓心，MB為半徑的上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作∴中優(yōu)弧度數(shù)為=240°，則劣弧度數(shù)為120°∴△BMC是等腰三角形，∠BMC=120°，∵∠BCM=30°，BC=，∴MB=MC=8，∴連接MA交于E′，此時(shí)AE′的值最小．∵∠ACB=60°，∠BCO=30°，∴∠ACM=90°，∴MA==，∴AE的最小值為=．故答案為：2【點(diǎn)睛】本題考查三角形的外接圓與外心、平行線(xiàn)的性質(zhì)、圓周角定理、勾股定理，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造輔助圓解決問(wèn)題．4．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考一模）如圖，已知為等邊三角形，，將邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，連接，點(diǎn)E為上一點(diǎn)，且．連接，則的最小值為_(kāi)_________________．【答案】/【分析】過(guò)E作，交于H，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得到，進(jìn)而得到，根據(jù)平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理，得到，得到，取的中點(diǎn)P，連接，可得點(diǎn)E在以H為圓心，為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B、E、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)B作于Q，利用勾股定理求出，即可得到的最小值．【詳解】解：如圖，過(guò)E作，交于H，為等邊三角形，，將邊繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到線(xiàn)段，，，，，，，，，，，，取的中點(diǎn)P，連接，，即點(diǎn)H為的中點(diǎn)，，，點(diǎn)E在以H為圓心，為直徑的弧上運(yùn)動(dòng)，為定值2，當(dāng)B、E、H三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，的長(zhǎng)最小，過(guò)點(diǎn)B作于Q，為等邊三角形，，，，，，即的最小值為故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例定理等知識(shí)，根據(jù)題意正確作出輔助線(xiàn)是解題關(guān)鍵．5．（2023·江蘇蘇州·蘇州市立達(dá)中學(xué)校?？家荒＃┤鐖D，是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D在內(nèi)，，則______；現(xiàn)將繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)1周，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值是______．【答案】75【分析】第一個(gè)問(wèn)題證明，推出，可得．第二個(gè)問(wèn)題，如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)T．證明，推出點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，求出可得結(jié)論．【詳解】解：∵都是等邊三角形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴．如圖1中，設(shè)交于點(diǎn)T．同法可證，∴，∵，∴，∴點(diǎn)F在的外接圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)最小時(shí)，的值最小，此時(shí)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴的最小值，故答案為：75，．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，軌跡，解直角三角形，等邊三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問(wèn)題．．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？计谀緦W(xué)習(xí)心得】小雯同學(xué)在學(xué)習(xí)完“圓”這一章內(nèi)容后，感覺(jué)到一些幾何問(wèn)題如果添加輔助圓，運(yùn)用圓的知識(shí)解決，可以使問(wèn)題變得非常容易．例如：如圖，在中，，，D是外一點(diǎn)，且，求的度數(shù)．若以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑作輔助圓，則C，D兩點(diǎn)必在上，是的圓心角，是的圓周角，則．(1)【初步運(yùn)用】如圖，在四邊形中，，，求的度數(shù)；(2)【方法遷移】如圖，已知線(xiàn)段和直線(xiàn)，用直尺和圓規(guī)在上作出所有的點(diǎn)，使得（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(3)【問(wèn)題拓展】①如圖，已知矩形，，，為上的點(diǎn)．若滿(mǎn)足的點(diǎn)恰好有兩個(gè)，則的取值范圍為_(kāi)_____．②如圖，在中，，是邊上的高，且，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析(3)①；②【分析】（1）如圖所示，取中點(diǎn)E，連接，，則，即可得到A、B、C、D在以E為圓心，為半徑的圓心，則；（2）先作等邊三角形，再以O(shè)為圓心，的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧與直線(xiàn)l的交點(diǎn)即為所求；（3）①如圖所示，在上截取一點(diǎn)F使得，連接，以為直徑作圓O，過(guò)點(diǎn)F作交于E，過(guò)點(diǎn)O作交于H交圓O于G，過(guò)點(diǎn)G作圓O的切線(xiàn)分別交，于K、Q，則當(dāng)時(shí)滿(mǎn)足題意，據(jù)此求解即可；②如圖所示，作的外接圓，過(guò)圓心O作于E，于F，連接，，，則四邊形是矩形，分別求出、即可得到答案．【詳解】（1）如圖所示，取中點(diǎn)E，連接，，∵，E為的中點(diǎn)，∴，∴A、B、C、D在以E為圓心，為半徑的圓心，∴；（2）如圖所示，、即為所求；（3）①如圖所示，在上截取一點(diǎn)F使得，連接，以為直徑作圓O，過(guò)點(diǎn)F作交于E，過(guò)點(diǎn)O作交于H交圓O于G，過(guò)點(diǎn)G作圓O的切線(xiàn)分別交，于K、Q，則四邊形為正方形∵四邊形是矩形，∴，∴B在圓O上，，∴，∵OH⊥EF，∴，∴，∴，∴，∴，即．②如圖所示，作的外接圓，過(guò)圓心O作于E，于F，連接，，，則四邊形是矩形∵，∴，在直角中，∴，∵OE⊥BC，∴，∴，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理等等，熟練掌握?qǐng)A的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．7．（2022秋·江蘇鹽城·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【問(wèn)題提出】我們知道：同弧或等弧所對(duì)的圓周角都相等，且等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半，那么，在一個(gè)圓內(nèi)同一條弦所對(duì)的圓周角與圓心角之間又有什么關(guān)系呢？【初步思考】(1)如圖1，是的弦，，點(diǎn)、分別是優(yōu)弧和劣弧上的點(diǎn)，則______°，______°．(2)如圖2，是的弦，圓心角，點(diǎn)P是上不與A、B重合的一點(diǎn)，求弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)（用m的代數(shù)式表示）____________．【問(wèn)題解決】(3)如圖3，已知線(xiàn)段，點(diǎn)C在所在直線(xiàn)的上方，且，用尺規(guī)作圖的方法作出滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C所組成的圖形（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【實(shí)際應(yīng)用】(4)如圖4，在邊長(zhǎng)為的等邊三角形中，點(diǎn)E、F分別是邊、上的動(dòng)點(diǎn)，連接、，交于點(diǎn)P，若始終保持，當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是______．【答案】(1)，(2)或(3)見(jiàn)詳解(4)【分析】（1）根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案；（2）根據(jù)圓周角定理及圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)即可得到答案；（3）根據(jù)圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可得對(duì)角為，根據(jù)圓心角等于圓周角兩倍即可得到圓心角為畫(huà)出圓心角即可得到圓心與半徑再畫(huà)圓弧即可得到答案；（4）根據(jù)題意易得，即可得到，即可得到答案．【詳解】（1）解：∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，故答案為：，；（2）解：當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧上點(diǎn)為，在劣弧上的點(diǎn)為，∵，∴，∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，綜上所述：弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)為或；（3）解：∵，∴AB所在直線(xiàn)的下方點(diǎn)M，存在，即A、B、P、M四點(diǎn)共圓，作垂直平分線(xiàn)交于點(diǎn)N，以點(diǎn)N為圓心為半徑畫(huà)下圓弧交垂直平分線(xiàn)于一點(diǎn)即為圓心O點(diǎn)，以O(shè)為圓心為半徑畫(huà)圓??；如圖所示，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)C所組成的圖形為以O(shè)為圓心、OA為半徑的．（4）解：由題意可，∵三角形是等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴點(diǎn)P的路徑是以為弦的圓弧，∴弦所對(duì)圓周角為，圓心角為，半徑為，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是：．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，涉及到了輔助圓的知識(shí)、一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半、一條弦所對(duì)的圓周角相等或互補(bǔ)、圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)、尺規(guī)作圖——作垂線(xiàn)等內(nèi)容，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找到定角，確定動(dòng)點(diǎn)軌跡．8．（2021·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)，，D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，交直線(xiàn)l：于點(diǎn)E，AP交DE于點(diǎn)F，交y軸于點(diǎn)Q．（1）求拋物線(xiàn)的表達(dá)式；（2）設(shè)的面積為，的面積為，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）連接BQ，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸上（位于第一象限內(nèi)），且，在點(diǎn)P從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M也隨之運(yùn)動(dòng)，直接寫(xiě)出點(diǎn)M的縱坐標(biāo)t的取值范圍．【答案】（1）；（2）；（3）．【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法將，代入，即可求得答案；（2）利用配方法可求得拋物線(xiàn)頂點(diǎn)坐標(biāo)，由得，再根據(jù)與的面積相等，可得，故點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，設(shè)，，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式建立方程求解即可；（3）根據(jù)題意，分別求出t的最大值和最小值：①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，以為圓心，為半徑作，交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，運(yùn)用勾股定理即可求得答案，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，連接OM，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，運(yùn)用勾股定理即可求得答案．【詳解】解：（1）拋物線(xiàn)交x軸于點(diǎn)，，將A、B坐標(biāo)分別代入拋物線(xiàn)解析式得：，解得：，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：；（2）如圖，D是拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)，拋物線(xiàn)的表達(dá)式為：，，交直線(xiàn)l：于點(diǎn)E，P是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，，設(shè)，，又的面積為，的面積為，，，，，即點(diǎn)F分別是AP、ED的中點(diǎn)，又，，，，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得：，解得：（與“”不符，應(yīng)舍去），，，，；（3）①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)O重合，此時(shí)t的值最大，如圖2，以O(shè)B為斜邊在第一象限內(nèi)作等腰直角，則，，以為圓心，為半徑作，交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)H，則，，，，，②當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合，此時(shí)t的值最小，如圖3，連接BC，以O(shè)為圓心，OB為半徑作交拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)M，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，連接OM，設(shè)拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸交x軸于點(diǎn)E，則，，，，，綜上所述，．【點(diǎn)睛】此題屬于二次函數(shù)綜合題，考查代數(shù)計(jì)算問(wèn)題，涉及勾股定理，三角形全等，二元一次方程和一元二次方程的解及圓的相關(guān)知識(shí)，屬于壓軸題類(lèi)型．9．（2023·陜西西安·校考二模）[發(fā)現(xiàn)]如圖（1），為的一條弦，點(diǎn)在弦所對(duì)的優(yōu)弧上，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)（填“變”或“不變”）；若，則．愛(ài)動(dòng)腦筋的小明猜想，如果平面內(nèi)線(xiàn)段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，那么點(diǎn)是不是在某一個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？[研究]為了解決這個(gè)問(wèn)題，小明先從一個(gè)特殊的例子開(kāi)始研究．如圖（2），若，直線(xiàn)上方一點(diǎn)滿(mǎn)足，為了畫(huà)出點(diǎn)所在的圓，小明以為底邊構(gòu)造了一個(gè)等腰，再以為圓心，為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)在上．請(qǐng)根據(jù)小明的思路在圖中完成作圖（要求尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡，并用2B鉛筆或黑色水筆加黑加粗）．后來(lái)，小明通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論，即：若線(xiàn)段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，則點(diǎn)一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱(chēng)之為“定弦定角”模型．[應(yīng)用]（1）如圖（3），，平面內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足，則面積的最大值為．（2）如圖（4），已知正方形，以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，點(diǎn)是的內(nèi)心．①；②連接，若正方形的邊長(zhǎng)為2，求的最小值．【答案】[發(fā)現(xiàn)]不變，75[研究]補(bǔ)全圖形如圖1所示，見(jiàn)解析[應(yīng)用]（1）（2）①135②【分析】[發(fā)現(xiàn)]根據(jù)題意，直接得出答案，利用圓周角定理求出；[研究]先作出的垂直平分線(xiàn)，再以垂足為圓心，的一半為半徑確定出圓心，即可得出結(jié)論；[應(yīng)用]（1）先確定出的外接圓的半徑，再判斷出點(diǎn)到的最大距離為3，即可得出結(jié)論；（2）①先確定出，再判斷出，，最后用三角形的內(nèi)角和定理，即可得出結(jié)論；②先作出的外接圓，進(jìn)而求出外接圓的半徑，進(jìn)而判斷出最小時(shí)，點(diǎn)的位置，最后構(gòu)造直角三角形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：[發(fā)現(xiàn)]根據(jù)圓周角性質(zhì)，的度數(shù)不變，∵，∴，故答案為：不變，；[研究]補(bǔ)全圖形如圖1所示，[應(yīng)用]（1）如圖2，設(shè)的外接圓的圓心為，連接，，∵，∴，∵，∴，過(guò)點(diǎn)作于，∴，在中，設(shè)的半徑為，則，根據(jù)勾股定理得，即，解得或（舍去），∴，，∵點(diǎn)到的最大距離為，∴．故答案為：；（2）①∵，∴，∴，∵點(diǎn)是的內(nèi)心，∴，分別是和的角平分線(xiàn)，∴，，∴；故答案為：；②如圖3，作的外接圓，圓心記作點(diǎn)，連接，，在優(yōu)弧上取一點(diǎn)Q，連接，，則四邊形是的圓內(nèi)接四邊形，在和中，，∴，∴，∴，∴，∴，連接，與相交于點(diǎn)此時(shí)，是的最小值，過(guò)點(diǎn)作于，，交的延長(zhǎng)線(xiàn)于，則四邊形是正方形，∴，∴，在中，，∴．【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，主要考查了圓周角定理，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)心、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，理解題意，正確構(gòu)造出所需圓是解本題的關(guān)鍵．10．（2023·安徽合肥·合肥壽春中學(xué)?？家荒＃締?wèn)題提出】如圖1，為的一條弦，點(diǎn)C在弦所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)不變．愛(ài)動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線(xiàn)段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，那么點(diǎn)C是不是在某個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【問(wèn)題探究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，小芳先從一個(gè)特殊的例子開(kāi)始研究．如圖2，若，線(xiàn)段上方一點(diǎn)C滿(mǎn)足，為了畫(huà)出點(diǎn)C所在的圓，小芳以為底邊構(gòu)造了一個(gè)，再以點(diǎn)O為圓心，為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)C在上．后來(lái)小芳通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論．即：若線(xiàn)段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，則點(diǎn)C一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱(chēng)之為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】(1)若，平面內(nèi)一點(diǎn)C滿(mǎn)足，若點(diǎn)C所在圓的圓心為O，則__________，劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)_________．(2)如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)F，若點(diǎn)P是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長(zhǎng)為4，求的最小值．【答案】(1)；(2)；【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過(guò)作,求得，進(jìn)而求得，根據(jù)可求得，根據(jù)即可求出劣弧的長(zhǎng)度；（2）①根據(jù)已知條件可得，證明，即可求得，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，根據(jù)勾股定理即可求得，，從而求得最小值．【詳解】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過(guò)作,，，，，，，，∴劣弧的長(zhǎng)為故答案為：，；（2）①，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，平分，，，，，，∴；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓心為，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，，設(shè)優(yōu)弧所對(duì)的圓心角優(yōu)角為，則，，，，，，，四邊形是正方形，∴，，，∵，，，，．的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了“定弦定角”模型，圓周角定理，解直角三角形，線(xiàn)段最短距離，勾股定理正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．11．（2023春·廣西南寧·九年級(jí)校考階段練習(xí)）【問(wèn)題提出】如圖1，為的一條弦，點(diǎn)在弦所對(duì)的優(yōu)弧上運(yùn)動(dòng)時(shí)，根據(jù)圓周角性質(zhì)，我們知道的度數(shù)不變．愛(ài)動(dòng)腦筋的小芳猜想，如果平面內(nèi)線(xiàn)段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，那么點(diǎn)是不是在某個(gè)確定的圓上運(yùn)動(dòng)呢？【問(wèn)題探究】為了解決這個(gè)問(wèn)題，小芳先從一個(gè)特殊的例子開(kāi)始研究．如圖2，若，線(xiàn)段上方一點(diǎn)滿(mǎn)足，為了畫(huà)出點(diǎn)所在的圓，小芳以為底邊構(gòu)造了一個(gè)，再以點(diǎn)為圓心，為半徑畫(huà)圓，則點(diǎn)在上．后來(lái)小芳通過(guò)逆向思維及合情推理，得出一個(gè)一般性的結(jié)論．即：若線(xiàn)段的長(zhǎng)度已知，的大小確定，則點(diǎn)一定在某一個(gè)確定的圓上，即定弦定角必定圓，我們把這樣的幾何模型稱(chēng)之為“定弦定角”模型．【模型應(yīng)用】（1）若，平面內(nèi)一點(diǎn)滿(mǎn)足，若點(diǎn)所在圓的圓心為，則________，半徑的長(zhǎng)為_(kāi)_______．（2）如圖3，已知正方形以為腰向正方形內(nèi)部作等腰，其中，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，若點(diǎn)是的內(nèi)心．①求的度數(shù)；②連接，若正方形的邊長(zhǎng)為，求的最小值．【答案】（1）；（2）①；②【分析】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過(guò)作,求得，進(jìn)而求得，根據(jù)即可求得；（2）①根據(jù)已知條件可得，證明，即可求得；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，根據(jù)勾股定理即可求得，，從而求得最小值．【詳解】（1）由“定弦定角”模型，作出圖形，如圖，過(guò)作,，，，，，，，故答案為：；（2）①，，，點(diǎn)是的內(nèi)心，平分，，，，，；②如圖，作的外接圓，圓，連接，過(guò)作交的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)，由題意的由“定弦定角”模型，可知,,作出的外接圓，圓心為，設(shè)圓的半徑為，則的最小值即為，，設(shè)優(yōu)弧所對(duì)的圓心角優(yōu)角為，則，，，，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，．的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查了“定弦定角”模型，圓周角定理，解直角三角形，線(xiàn)段最短距離，勾股定理正方形的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，理解題意作出圖形是解題的關(guān)鍵．12．（2023·吉林長(zhǎng)春·?？级＃┤鐖D，在中，，，，點(diǎn)P在邊上（點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合），連結(jié)，過(guò)點(diǎn)C作射線(xiàn)于點(diǎn)Q．(1)當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)，求長(zhǎng)的取值范圍．(2)連結(jié)，則長(zhǎng)的最小值為．(3)當(dāng)是等腰三角形時(shí)，求的面積．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)(3)或(4)或【分析】（1）根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)，，求出時(shí)，的長(zhǎng)，即可；（2）根據(jù)射線(xiàn)，可得點(diǎn)Q在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取的中點(diǎn)O，連接，，則當(dāng)點(diǎn)A，Q，O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短，即可；（3）分兩種情況討論：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，即可求解；（4）分兩種情況討論：當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)；當(dāng)點(diǎn)Q在外部時(shí)，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)，，∵，，，∴，當(dāng)，即時(shí)，有，∴，解得：，∴，∴當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)，長(zhǎng)的取值范圍為；（2）解：∵射線(xiàn)，∴，∴點(diǎn)Q在以為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，如圖，取的中點(diǎn)O，連接，，則當(dāng)點(diǎn)A，Q，O三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，最短，∴，，∴，即長(zhǎng)的最小值為；故答案為：（3）解：當(dāng)時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q為的中點(diǎn)，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)D，由（1）得：，∴，∴；當(dāng)時(shí)，設(shè)交圓O于點(diǎn)E，連接，∵為圓O的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；∴；綜上所述，當(dāng)是等腰三角形時(shí)，的面積為或；（4）解：如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在內(nèi)部時(shí)，設(shè)交圓O于點(diǎn)F，連接，∵為圓O的直徑，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；如圖，當(dāng)點(diǎn)Q在外部時(shí)，設(shè)交圓O于點(diǎn)F，連接，∵為圓O的直徑，∴，，∵，∴，∴，∴，由（1）得：，，∴，∴；綜上所述，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，圓周角定理，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，利用分類(lèi)討論思想解答是解題的關(guān)鍵．13．（2023春·重慶江津·九年級(jí)校聯(lián)考期中）在△中，，，為上一點(diǎn)．(1)如圖1，過(guò)作于，連接．若平分，，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，以為直角邊，點(diǎn)為直角頂點(diǎn)，向右作等腰直角三角形△，將△繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，取線(xiàn)段的中點(diǎn)，連接．猜想、的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由：(3)如圖3，連接，將△沿翻折至△處，在上取點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)，連接，若，，當(dāng)取得最小值時(shí)，求△的面積．【答案】(1)(2)，理由見(jiàn)解析(3)【分析】（1）過(guò)D作于F，根據(jù)角平分線(xiàn)的性質(zhì)得出，證明是等腰直角三角形，求出，，的長(zhǎng)度，也是等腰直角三角形，求出的長(zhǎng)，再求出的長(zhǎng)，用勾股定理求出即可；（2）延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，連接，證明，，N是線(xiàn)段的中點(diǎn)，利用三角形的中位線(xiàn)的性質(zhì)得出，即可證明．（3）連接，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)S，則垂直平分，再證明是等腰直角三角形，再證得，可得，從而得到，，可得得到是等邊三角形，，∴點(diǎn)G在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)O，連接，交圓O于點(diǎn)G，則此時(shí)最小，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)T，則，再由等邊三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)可得，，然后根據(jù)三角形的面積公式求出面積即可．【詳解】（1）解：如圖，過(guò)D作于F，平分，，，，，中，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，，，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得，；（2）解：，理由如下：延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使得，連接，是等腰直角三角形，，，，，，又，，，又，N是線(xiàn)段的中點(diǎn)，是的中位線(xiàn)，，；（3）解：如圖，連接，過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)P，交于點(diǎn)S，則垂直平分，，即，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，，，由折疊的性質(zhì)得：，，，，是等邊三角形，，即，點(diǎn)G在以為直徑的圓上，取的中點(diǎn)O，連接，交圓O于點(diǎn)G，則此時(shí)最小，過(guò)點(diǎn)G作于點(diǎn)T，則，，，，，，的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圖形翻折變換的性質(zhì)，圓周角定理等，正確畫(huà)出輔助線(xiàn)及熟練掌握幾何相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．14．（2023·江蘇蘇州·統(tǒng)考一模）在邊長(zhǎng)為8的等邊三角形中，為的中點(diǎn)，分別為上任意一點(diǎn)，連接，將線(xiàn)段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線(xiàn)段，連接交于點(diǎn)，連接．(1)如圖1，點(diǎn)與點(diǎn)重合，且的延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，證明：四邊形是菱形；(2)如圖2，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(3)如圖3，為的中點(diǎn)，連接為直線(xiàn)上一動(dòng)點(diǎn)，連接，將沿翻折至所在平面內(nèi)，得到，連接，直接寫(xiě)出線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)【分析】（1）邊三角形與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證明是等邊三角形，得到，再證明，得，，從而得是等邊三角形，得到，則有，即可得出結(jié)論；（2）過(guò)點(diǎn)E作，交于H，連接，證是等邊三角形，得到，不規(guī)則證明，得到，然后利用等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)求解即可；（3）先求出，由折疊知，，則點(diǎn)是在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的上，再由旋轉(zhuǎn)可知，，所以點(diǎn)G在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)，與互相垂直平分的線(xiàn)段上，所以的最小值為，要使最小，則最大，又點(diǎn)F為上的點(diǎn)，所以點(diǎn)F在點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，最大，即最大，最大值為，即可求解．【詳解】（1）證明：∵是等邊三角形，∴，，即，由旋轉(zhuǎn)可得，，，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，，∵，，∴∵為的中點(diǎn)，是等邊三角形，，∴，，∴，∴∴是等邊三角形，∴，∴∴四邊形是菱形；（2）解：過(guò)點(diǎn)E作，交于H，連接，如圖，∵是等邊三角形，∴∵∴，，∴是等邊三角形，∴，由（1）可知，，∵為的中點(diǎn)，等邊三角形，∴，∵，∴垂直平分，∴，∴，

設(shè)，則，，∴∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：解：∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∴，由折疊知，，∴點(diǎn)是在以點(diǎn)E為圓心，為半徑的上，由旋轉(zhuǎn)可知，，∵點(diǎn)F為上的點(diǎn)，∴點(diǎn)G在以的中點(diǎn)為端點(diǎn)，與互相垂直平分的線(xiàn)段上，∴的最小值為，要使最小，則最大，∵點(diǎn)F為上的點(diǎn)，∴點(diǎn)F在點(diǎn)D或點(diǎn)A時(shí)，最大，即最大，如圖，最大值為，∴線(xiàn)段長(zhǎng)度的最小值為．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，最短路徑問(wèn)題，本題屬三角形綜合題目，有一定難度，屬中考試壓軸題