學(xué)生如何學(xué)習(xí)乘除法

學(xué)生如何學(xué)習(xí)乘除法一些教師認(rèn)為，乘、除法是小學(xué)生學(xué)習(xí)了加減法后再學(xué)習(xí)的一種數(shù)學(xué)運(yùn)算，當(dāng)學(xué)生學(xué)習(xí)使用乘除法時(shí)，他們推理能力沒有大的改變，對(duì)于這種觀點(diǎn)，皮亞杰和他的同事提出了質(zhì)疑。皮亞杰等認(rèn)為，兒童在理解乘除法過程中，他們的數(shù)學(xué)系思維發(fā)生了重要的變化，學(xué)習(xí)乘除法應(yīng)該使小學(xué)和數(shù)學(xué)思維產(chǎn)生一次新的飛躍，通過學(xué)習(xí)乘除法，小學(xué)生不僅學(xué)會(huì)了運(yùn)算技能，而且拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)視野和應(yīng)用數(shù)學(xué)的空間。一、乘除法和新的數(shù)學(xué)情境乘法的基礎(chǔ)是什么？加法在某種程度上構(gòu)成了乘法的基礎(chǔ)，這種說法無疑是對(duì)的，因?yàn)榻鉀Q向乘法運(yùn)算的方法之一就是通過重復(fù)做加法，你可以將270加三次而得到270×3的答案，除法和減法也有類似的關(guān)系，計(jì)算270÷90也可通過從270中連續(xù)減去90直到差為0。但是，如果將乘法看成一種復(fù)雜的加法，將除法看成另一種形式的減法，這是不對(duì)的，原因之一是乘除法比簡(jiǎn)單的加減法需要更多的數(shù)學(xué)理解，兒童必須了解一套完整的新知識(shí)的含義，他們必須以新的思維方式進(jìn)行思考，另一方面我們把“經(jīng)驗(yàn)”作為小學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，就不難發(fā)出錯(cuò)乘除法和某些學(xué)生生活情境緊密聯(lián)系，這些情境是小學(xué)生理解乘除法知識(shí)的基礎(chǔ)。在本節(jié)中我們將介紹產(chǎn)生乘除法的三種具體情境。1．“一對(duì)多”的情境一對(duì)多的情境指一個(gè)與多個(gè)相對(duì)應(yīng)的現(xiàn)象，這是三咱情境中最簡(jiǎn)單和最基本的一種，日常生活中的這種例子比比皆是，如，1輛汽車有4個(gè)輪子（1與4對(duì)應(yīng)），那么3輛車有多少個(gè)輪子？結(jié)果為4乘3得12，1個(gè)桌子能坐6個(gè)人（1與6對(duì)應(yīng)），那么5張桌子可以坐多少人？等等，從一對(duì)多情境出發(fā)，乘法有以下重要意義和特點(diǎn)。第一，乘法表示兩個(gè)集合之間的一與多相對(duì)應(yīng)的恒定關(guān)系，這種一個(gè)與多個(gè)相對(duì)應(yīng)的恒定關(guān)系在生活中普遍存在，它的基礎(chǔ)上一個(gè)新的數(shù)學(xué)概念，這就是“比率”，為了保持這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，如一輛汽車對(duì)應(yīng)四個(gè)輪子，每將一輛汽車加入汽車集合，我們就必須將四個(gè)輪子加入到輪子的集合，也就是說，我們必須加放不同數(shù)目的物體到不同的集合，這種方法與加法運(yùn)算的思維方法上具有本質(zhì)區(qū)別，為了使一個(gè)比率保持不變，不是像加減法運(yùn)算中將數(shù)“分”與“合”，而是同乘一個(gè)數(shù)或同除一個(gè)數(shù)。第二，附著學(xué)生頭腦中有關(guān)“比率”意義的發(fā)展，另一種親的數(shù)學(xué)意義逐漸為他們所認(rèn)知，例如，如果我們剛開始有1輛車4個(gè)輪子，重復(fù)6次后，即4乘以6?！?”就是重復(fù)次數(shù)——稱為乘數(shù)（因數(shù)）。一個(gè)乘數(shù)既非車的數(shù)目也非輪子數(shù)目，它不是針對(duì)物體的數(shù)目，而是針對(duì)同種類型兩個(gè)集合數(shù)目的重復(fù)次數(shù)，“6”表示這種關(guān)系：1→6輛車和4→24個(gè)輪子，為使比率保持不變，同一個(gè)乘數(shù)要同時(shí)對(duì)兩個(gè)物體的集合產(chǎn)生作用，乘表示也變化過程一種確定的關(guān)系，數(shù)的含義與加減法中數(shù)的含義有所不同，這種新數(shù)學(xué)意義的產(chǎn)生據(jù)有關(guān)部門拓廣了學(xué)生的數(shù)學(xué)眼界和思維天地。一與多的情境涉及到兩個(gè)新數(shù)學(xué)意義，一是比率，二是乘數(shù)，無論是比率還是乘數(shù)，都和學(xué)生以前所認(rèn)識(shí)的數(shù)不一樣，兩個(gè)數(shù)都與測(cè)量單位無關(guān)，它們不是對(duì)現(xiàn)實(shí)物體數(shù)量概括，而是說明數(shù)之間的關(guān)系，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維涉及到不僅是對(duì)蝦的概括，而且涉及到數(shù)與數(shù)之間關(guān)系的概括，這是一個(gè)重要的飛躍。2．兩個(gè)變量“共變”的情境乘除法中蘊(yùn)涵著變化的思想，共變現(xiàn)象是指在一個(gè)情境中，一個(gè)量變化，另一個(gè)量也發(fā)生相應(yīng)的變化。在日常生活中，會(huì)發(fā)生兩個(gè)或兩個(gè)以上的變量一起變化的情境，這種變化具有因果關(guān)系，因果關(guān)系指的是一個(gè)變量對(duì)其他變量的影響，例如：1千克糖的價(jià)格是4.60元，則0.5千克糖的價(jià)錢就是2.30元，2千克糖的價(jià)格是9.20元，糖的數(shù)量與總價(jià)發(fā)生了“共變”，又如，在一根彈簧的下端掛上20克的重物，彈簧就會(huì)被拉長(zhǎng)15厘米，如果掛上10克的重物，彈簧就會(huì)被拉長(zhǎng)7.5厘米，重物的重量與彈簧的長(zhǎng)度發(fā)生了“共變”，共變是幾代人上變量的和種有規(guī)律的變化現(xiàn)象，在共變現(xiàn)象中，學(xué)生逐步體會(huì)了數(shù)量的有規(guī)律的變化，他們會(huì)逐步體悟一些不同的數(shù)學(xué)觀念。以上兩個(gè)例子的相同點(diǎn)是，當(dāng)解決有關(guān)兩個(gè)變量的關(guān)系問題時(shí)，都運(yùn)用了擴(kuò)大倍數(shù)和縮小倍數(shù)的方法，在共變現(xiàn)象中，隱含了“倍數(shù)”的含義，倍數(shù)是學(xué)生的一種生活經(jīng)驗(yàn)，如果你要買２０倍重量的糖，就應(yīng)付２０倍的錢，兩個(gè)變量之間的關(guān)系并不會(huì)因?yàn)閿?shù)量、倍數(shù)的增加而改變。當(dāng)論及糖的價(jià)錢時(shí)，我們就會(huì)提到“每千克糖的價(jià)格”?！皟r(jià)格”這個(gè)量既不是實(shí)際的價(jià)錢，也不是實(shí)際的重量，而是價(jià)錢與重量間的一種關(guān)系，當(dāng)重增加時(shí)，價(jià)錢也會(huì)增加，但“每千克糖的價(jià)格”是不變的，數(shù)量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以表述為：兩個(gè)因數(shù)和有關(guān)兩個(gè)變量的第三個(gè)變量，倍數(shù)、價(jià)格等都是第三個(gè)量。共變現(xiàn)象還應(yīng)包括多變量（兩個(gè)變量以上）的形式，例如，農(nóng)民在農(nóng)場(chǎng)里生產(chǎn)牛奶所賺的錢取決于許多變量——農(nóng)場(chǎng)所擁有牛的頭數(shù)，每天每只牛產(chǎn)牛奶的平均量，天數(shù)，還有牛奶的價(jià)格，不把這所有變量考慮在內(nèi)，農(nóng)民就不可能估計(jì)出他的收入，很明顯，涉及多變量的比例的問題更加復(fù)雜。3．平分的情境平分的活動(dòng)為學(xué)生提供了包括乘法推理的另一種情境，平分包括在一組受領(lǐng)人中平均發(fā)一組東西，例如，把20粒糖果平均分給4個(gè)學(xué)生，雖然也和加減法一樣，平分活動(dòng)涉及部分與總體之和，每一部分不需要相等，平分活動(dòng)中雖然也包括部分—整體的關(guān)系，但是要考慮三個(gè)因素：全體的大小，分為幾部分和每部分的大小，每部分必須相等，如果有20個(gè)糖果（整體）分給4個(gè)孩子（4部分），則每個(gè)孩子有5個(gè)糖果（每部分的大小，或數(shù)量）。因此，平分活動(dòng)是一種新的數(shù)學(xué)情境。對(duì)于平分活動(dòng)的描述也許會(huì)聯(lián)想到一對(duì)多的情境，但是兒童對(duì)這兩種情境的想法是不一樣的，平分對(duì)于兒童說來是一種很生動(dòng)的活動(dòng)。小學(xué)生在思考這種活動(dòng)時(shí)心理過程和一對(duì)多情境是不一樣的。在平分中，孩子們需要逐漸地了解三個(gè)變量之間的關(guān)系，糖果的總數(shù)、孩子的總數(shù)和每個(gè)孩子的糖果數(shù)，如果你保持孩子的數(shù)量不變，并且增加糖果數(shù)，則每個(gè)孩子得到的糖果數(shù)會(huì)增加；但是，如果你保持糖果數(shù)不變，并且增加孩子的數(shù)量，則每個(gè)孩子的數(shù)會(huì)減少，糖果的總數(shù)和每個(gè)孩子的糖果數(shù)之間有直接的關(guān)系，但是孩子的數(shù)量和糖果的數(shù)量之間則是反比例的關(guān)系。研究表明，學(xué)生對(duì)這種反比例關(guān)系的體悟（不是掌握?。┦抢斫獬ǖ闹匾獌?nèi)容，了解這種反比例的關(guān)系是越過簡(jiǎn)單的平分行為去理解除法含義的基本步驟，概括起來，平分情境是學(xué)生理解除法概念的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)，這種活動(dòng)使學(xué)生進(jìn)一步深入理解了部分—整體的關(guān)系，這種關(guān)系和加法的部分—整體的關(guān)系是不同的。當(dāng)平分活動(dòng)在一組或一個(gè)目標(biāo)中連續(xù)進(jìn)行時(shí)，我們稱為“連續(xù)分割”或“連續(xù)分配”。例如，一個(gè)被一分為二的巧克力蛋糕，如果對(duì)每塊進(jìn)行再次分割，將會(huì)有4塊，這三次分會(huì)有8塊，第四次分會(huì)有16塊，我們能容易地看出，在這種情境中，有三種數(shù)的含義，分割（或分配）的次數(shù)，每次分配的份數(shù)，和每部分的大小，我們分了四次，每次分為兩部分，每塊是全體的1/16，平分或者連續(xù)分配的活動(dòng)產(chǎn)生了一個(gè)表示變化比率的新的數(shù)（商數(shù)或者分?jǐn)?shù)）。總之，并不能說乘法僅僅是加法的重復(fù)，除法僅僅是減法的重復(fù)，顯然，加法和乘法是有必然聯(lián)系的，同樣，減法和除法也是有必然聯(lián)系的，乘法和除法的實(shí)際計(jì)算結(jié)果也可以由連加或連減導(dǎo)出，但是，我們必須注意，乘除法與學(xué)生生活經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，在乘除法推理中出現(xiàn)了新的數(shù)學(xué)觀念，小學(xué)生在乘除法的三種情境中，逐步發(fā)展其乘法推理能力，在小學(xué)生學(xué)習(xí)乘除法過程中，教師應(yīng)該充分向?qū)W生提供這些重要的情境，有目的地讓學(xué)生開展多種活動(dòng)，使學(xué)生有機(jī)會(huì)在學(xué)習(xí)乘除法過程中發(fā)展數(shù)感和數(shù)學(xué)思考的能力，而不是僅僅掌握運(yùn)算技能。二、小學(xué)生對(duì)乘除法問題的理解：乘法推理學(xué)生對(duì)乘除法理解的核心是他們乘法推理能力的發(fā)展，在這一過程中學(xué)生的邏輯思維能力得到了鍛煉，乘法推理也稱為增倍推理，它是指學(xué)生運(yùn)用倍數(shù)的概念進(jìn)行正向和逆向的應(yīng)用性推理，增倍推理有很多不同的水平層次，實(shí)際上，兒童很小的時(shí)候就在這一方面邁出了第一步。1.兒童何時(shí)產(chǎn)生乘法推理兒童的增倍推理是怎么開始的？皮亞杰認(rèn)為：兒童最初的乘法思想來自對(duì)應(yīng)思想在推理中的運(yùn)用。他推測(cè)，一個(gè)小孩子如果能理解一對(duì)一法則，就能掌握一對(duì)多法則，換言之，如果一個(gè)5-6歲的兒童明白：若A=B，且C=B，則A=C，那么他們就應(yīng)該也能理解若A=2B，且A=C，則C=2B。皮亞杰調(diào)查了兒童理解一比一的對(duì)應(yīng)和多組事物間的一比我的對(duì)應(yīng)，他先讓兒童在10個(gè)花瓶中插花，每個(gè)瓶中插一朵藍(lán)色小花；然后，粉色花也取出并成一束，這樣，兒童就知道藍(lán)花數(shù)（A）等于花瓶數(shù)（B），并且粉色花數(shù)量（C）也等于花瓶數(shù)，但是，藍(lán)花和粉色花大小不同，這樣兒童不能通過視覺輕而易舉地對(duì)比出兩種花的數(shù)量。兒童只有理解了一比一的對(duì)應(yīng)才能得出兩種花的數(shù)目相等。據(jù)皮亞杰說，兒童對(duì)這個(gè)問題的反應(yīng)有兩種：一種是兒童能夠發(fā)現(xiàn)兩束花的數(shù)目相等，并且理由是花和花瓶構(gòu)成對(duì)應(yīng)，另一種是兒童不能發(fā)現(xiàn)數(shù)目相等過一事實(shí)，接下來，皮亞杰給這些兒童第二個(gè)任務(wù)，這個(gè)任務(wù)需要有這樣的推理：若A=2B且C=A，則C=2B，接著問這些兒童，如果把那些粉色和藍(lán)色的花都插回花瓶，并且每個(gè)花瓶的花一樣，會(huì)出現(xiàn)什么結(jié)果呢？每個(gè)有多少朵花？如果兒童沒有弄清花（A）和瓶（B）的關(guān)系，他們可以動(dòng)手把花插回花瓶來看看，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，每個(gè)瓶里有兩朵花（A=2B）。這時(shí)，兒童的反映有三種。第一種反應(yīng)是，一些兒童沒料到每個(gè)瓶?jī)?nèi)有兩朵花，因此他們沒能理解瓶子和花之間的一比二的對(duì)應(yīng)關(guān)系。第二種反應(yīng)是：兒童知道每個(gè)瓶?jī)?nèi)的兩朵花，但他們沒想到瓶子的總數(shù)與花的總數(shù)之間是一比二的關(guān)系。第三種反應(yīng)，按皮亞杰所說的，就是意識(shí)到1對(duì)多的關(guān)系，根據(jù)這一反應(yīng)，皮亞杰認(rèn)為：5-6歲的兒童已經(jīng)能理解倍數(shù)關(guān)系的一些特征，當(dāng)然在這些問題上并不要求兒童求和，也就是說，兒童根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)獲得對(duì)乘法推理的理解，這種現(xiàn)象在5到6歲就開始了，這也進(jìn)一步說明，乘除法與學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)豐富有密切的關(guān)系。2．小學(xué)生如何解決乘法推理問題解決問題是學(xué)生運(yùn)用和展示數(shù)學(xué)思維能力的重要途徑，心理學(xué)家斯特芬（Steffe,L.）調(diào)查了8歲小學(xué)生怎樣解決乘法問題，結(jié)果發(fā)現(xiàn)學(xué)生思維的核心是運(yùn)用“倍數(shù)”解決問題，他讓一些物件被放在一對(duì)多關(guān)系中，而小學(xué)生卻只能看到其中的一部分，例如，有六排小車，每排三輛，其中只有一排是看得見的，另五排被遮了起來，他問兒童：我們的有六排小車，每排三輛小車，那么共多少輛？斯特花發(fā)現(xiàn)，解這種問題的小學(xué)生會(huì)指著第一輛小車，數(shù)出對(duì)應(yīng)的六排：他們邊在桌上點(diǎn)著小車，邊數(shù)著落6，12，18。斯特芬說明，小學(xué)生在解題時(shí)每一輛可見的小車都用以代表一個(gè)6的整體。這說明，學(xué)生已經(jīng)能運(yùn)用乘法推理解決日常的數(shù)學(xué)問題，他還說并非所有8歲的兒童都形成了這樣的倍數(shù)運(yùn)用技巧。斯特芬又提出如下更為復(fù)雜問題：一個(gè)女同學(xué)有3條不同的裙子，4件不同的襯衫，更換她的裙子和襯衫，她能有多少種穿法？這類問題是比較典型的一對(duì)多問題，在國(guó)外常被稱為“笛卡爾乘積問題”（Cartesinanproductproblen）。斯特芬發(fā)現(xiàn)，小學(xué)生解這種問題往往比其他的一對(duì)多的問題難得多。在另研究中，Bryant等在觀察了32名8歲和9歲的小學(xué)生解四道乘法題，其中兩道是簡(jiǎn)單的一對(duì)多關(guān)系問題，另兩道是笛卡爾乘積問題，在給兒童呈現(xiàn)問題的同時(shí)，也給他們一些用來解決問題的具體材料。例如，有一個(gè)笛卡爾乘積問題，它要求兒童算出通過改變6條短褲和4件T恤衫能有多少種搭配方法，研究者就給兒童不同顏色的短褲和T恤衫，讓他們盡量想出解決辦法。這個(gè)研究的結(jié)果表明，當(dāng)擁有整套材料輔助時(shí)，大多數(shù)八九負(fù)兒童能解答簡(jiǎn)單的一對(duì)多關(guān)系問題，但現(xiàn)當(dāng)他們沒有這些材料，而需要通過推理來解題時(shí)，小學(xué)生回答正確的人數(shù)不到一半，在解決笛卡爾乘積問題中，沒有用具體材料的輔助，對(duì)他們解決問題具有重要意義。兒童解決一對(duì)多的對(duì)應(yīng)關(guān)系的問題的能力表明解決問題絕對(duì)的數(shù)字要比有使用一些具體的情境難得多。具體情境可以幫助學(xué)生思考，但在學(xué)生發(fā)展的一定時(shí)候，問題可以逐步抽象化。上述研究結(jié)果對(duì)我們?nèi)绾芜M(jìn)行乘法內(nèi)容的教學(xué)具有一定啟示。首先，如果要使小學(xué)生有一個(gè)良好的對(duì)乘除法的理解，在他們解乘除法問題的之前，可以讓他們?cè)诮淌抑姓務(wù)摬@研這些關(guān)系，在具體的還必須境中體悟這些關(guān)系，而不是馬上進(jìn)行定量化的解題，這將提高小學(xué)生對(duì)于一對(duì)多的對(duì)應(yīng)關(guān)系的意識(shí)，第二我們可以讓小學(xué)生通過實(shí)物操作來解決問題，可以用實(shí)物模擬境，使他們對(duì)乘除法進(jìn)行充分的描述，建議有關(guān)的表象，逐步使他們形成乘法推理能力并以此來思考問題，當(dāng)然，最后還是要讓學(xué)生通過抽象推理來解決問題。三、與乘除法有關(guān)的數(shù)學(xué)思想的發(fā)展1．體驗(yàn)函數(shù)的思想小學(xué)生在學(xué)習(xí)乘除法時(shí)，對(duì)函數(shù)關(guān)系會(huì)有一定的體驗(yàn)，一般說來，小學(xué)生還不能理解函數(shù)關(guān)系，但是在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，滲透有關(guān)思想是必要的，比例關(guān)系就是一個(gè)特殊的函數(shù)，對(duì)小學(xué)生來說，需要考慮變量之間實(shí)際上如何的，這樣才能初步體會(huì)函數(shù)關(guān)系，小學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解，并不是符號(hào)化的理解，而是在現(xiàn)實(shí)活動(dòng)中的體驗(yàn)，小學(xué)生關(guān)于函數(shù)的體驗(yàn)是在日常的數(shù)學(xué)生活實(shí)踐的基礎(chǔ)上獲得的。它和問題情境緊密相關(guān)，例如，學(xué)生可以在價(jià)格與數(shù)量的關(guān)系中體驗(yàn)到函數(shù)思想，是因?yàn)樗麄儗?duì)這種情境比較熟悉，對(duì)于小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來說，學(xué)生對(duì)函數(shù)思想的體驗(yàn)是一種重要的過程性目標(biāo)。2．體驗(yàn)比例關(guān)系比例是小學(xué)生在日常生活中可以獲得較多體驗(yàn)的一種函數(shù)關(guān)系，和函數(shù)問題一樣，小學(xué)生是在現(xiàn)實(shí)問題中體驗(yàn)比例關(guān)系的，在學(xué)生的生活中，實(shí)際上有對(duì)“比例認(rèn)識(shí)的經(jīng)驗(yàn)，如買1千克糖果10元錢，買2千克糖果20元錢，買3千克糖果則要30元錢，高年級(jí)的小學(xué)生甚至還有了對(duì)”反比例“認(rèn)識(shí)的經(jīng)驗(yàn)。但解決這些問題的計(jì)算方法不是很簡(jiǎn)單的，許多學(xué)生會(huì)感到困難，這些困難，實(shí)際上形成學(xué)生學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的動(dòng)力。3．理解“不變量”我們強(qiáng)調(diào)總價(jià)和數(shù)量這兩個(gè)變量發(fā)生變化時(shí)，每千克價(jià)錢保持不變，如果你買5千克的馬鈴薯，花的錢和得到的馬鈴薯要比你買3千克時(shí)都多，每千克的價(jià)錢是一樣，每千克的價(jià)錢反映了購(gòu)買數(shù)量與價(jià)錢之間的關(guān)系，像這樣的量我們稱為不變量，小學(xué)生在他們生活經(jīng)驗(yàn)中對(duì)不變量有較多的體驗(yàn)，但是在不同的情境中，小學(xué)生反應(yīng)是有所不同的。在某一些情境中，小學(xué)生仍然不能理解。教師設(shè)計(jì)多種不同的情境讓學(xué)生加深理解是必要的，例如，濃縮桔子汁中的不變量問題，研究表明，小學(xué)生雖然對(duì)內(nèi)容極其熟悉，但仍然不能理解其中的不變量。四、學(xué)生運(yùn)算和解決問題策略的發(fā)展在學(xué)生學(xué)習(xí)乘除法時(shí)，由于運(yùn)算手段的增加，學(xué)生運(yùn)算策略也在不斷地發(fā)展，這些運(yùn)算策略包括估算、口算等，同時(shí)，小學(xué)生逐步形成了一些較廣泛的問題解決策略，這些策略性知識(shí)的發(fā)展對(duì)于小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的提高是有促進(jìn)作用的。1．估算策略數(shù)學(xué)教育界一致認(rèn)為，“估算是一個(gè)相當(dāng)重要的數(shù)學(xué)技能，我國(guó)數(shù)學(xué)教師在培養(yǎng)學(xué)生估算方面積累了許多經(jīng)驗(yàn)，估算和學(xué)生的思維活動(dòng)緊密相關(guān)，學(xué)生在計(jì)算中涉及合理猜測(cè)，對(duì)運(yùn)算結(jié)果范圍的估計(jì)以及靈活運(yùn)算等活動(dòng)，估算在一定程度上反映出學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，對(duì)于學(xué)生的思維有一定促進(jìn)作用，不僅如此，估算還涉及到學(xué)生反思與自我監(jiān)控的學(xué)習(xí)品質(zhì)，例如，學(xué)生先估算一個(gè)問題的答案，然后將此估計(jì)值與他實(shí)際計(jì)算所得的答案作比較，便能夠察覺出錯(cuò)誤并加以更正。估算具有重要的應(yīng)用價(jià)值，是學(xué)生應(yīng)該具有的一種重要的計(jì)算技能。隨著計(jì)算技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，大量的計(jì)算并不要求進(jìn)行精確的計(jì)算，一個(gè)人的日?；顒?dòng)中對(duì)應(yīng)付的錢數(shù)的估計(jì)，對(duì)家庭收入和支出的估計(jì)，對(duì)城市流動(dòng)人口的估計(jì)等等，往往都是用估算的方法，在小學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算教學(xué)中，與估算有關(guān)的內(nèi)容很多，如估計(jì)商的近似值、試商、估計(jì)小數(shù)乘法的結(jié)果、用估算進(jìn)行驗(yàn)算等。學(xué)生在估算中使用什么策略呢？小學(xué)生最常使用的三個(gè)策略分別是：簡(jiǎn)約、轉(zhuǎn)換及補(bǔ)償，這三種策略涉及了小學(xué)生在運(yùn)算過程中的分析與解決問題的思維過程。估算中，學(xué)生往往首先會(huì)想如何簡(jiǎn)化問題，學(xué)生進(jìn)行簡(jiǎn)化往往反映出一種估算的意識(shí)，對(duì)一些小的方面忽略不計(jì)，在簡(jiǎn)約的策略中，學(xué)生首先會(huì)把數(shù)簡(jiǎn)化成比較簡(jiǎn)單的形式，例如77338可以簡(jiǎn)約為77000，其次，學(xué)生會(huì)應(yīng)用轉(zhuǎn)換策略使問題進(jìn)一步簡(jiǎn)單化，舉例來說，當(dāng)要估算一個(gè)如下所示的加法問題的答案時(shí)：503+492+487一個(gè)好的估算者可能會(huì)把該問題轉(zhuǎn)換成一個(gè)乘法形式的題目，小學(xué)生會(huì)想“500乘以3是1500，所以答案應(yīng)該差不多是1500”。再次，小學(xué)生在使用補(bǔ)嘗策略時(shí)，會(huì)做出一些調(diào)整，來補(bǔ)嘗前面運(yùn)算中的不足，使運(yùn)算比較準(zhǔn)確，比方說在“503+492+487”這一問題中，小學(xué)生可能會(huì)說：“答案應(yīng)該是500乘以3，大約是1500，而且會(huì)稍小于1500，因?yàn)槲以趯⒚恳粋€(gè)數(shù)字簡(jiǎn)化成500時(shí)，用加的部分比用減的部分更多一點(diǎn)?！笔聦?shí)上，學(xué)生應(yīng)用這些策略的過程涉及到多種數(shù)學(xué)思維，在學(xué)習(xí)計(jì)算時(shí)發(fā)展學(xué)生估算意識(shí)和策略是必要的。2．口算策略“口算”指的是可以不必用紙筆，而在腦中便直接進(jìn)行計(jì)算的方法，一些好的估算策略也常被作為口算的策略，如“簡(jiǎn)化、轉(zhuǎn)換和補(bǔ)嘗”等都是重要的口算策略，但是，在口算中，計(jì)算的目的是要得到一個(gè)精確的答案，而非只是一個(gè)約略的估算?？谒阋卜Q為心算，在計(jì)算能力中占重要的位置，口算是筆算的基礎(chǔ)，筆算能力是在口能力的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，口算的熟練，特別是基本口算的熟練，對(duì)于筆算具有重要的作用，口算在日常生活中也有一定的用途，例如，學(xué)生在進(jìn)行購(gòu)物活動(dòng)時(shí)就要進(jìn)行一些口算，另外，口算還有利于促進(jìn)兒童注意力、記憶力的發(fā)展的功能，有利于發(fā)展小學(xué)生的思維的靈活性和創(chuàng)造性。對(duì)于小學(xué)生的口算來說，核心的內(nèi)容是基本口算，小學(xué)生是如何學(xué)習(xí)基本口算呢？Hope和Sherrill在1987年研究了熟練與不熟練口算者之間的差別，首先，他們?cè)O(shè)計(jì)一個(gè)口算測(cè)驗(yàn)，讓每一個(gè)小學(xué)生都去解這些新口算乘法題目，例如