【同步輔導(dǎo)】2021高中數(shù)學(xué)北師大版必修四導(dǎo)學(xué)案：《二倍角的正弦、余弦和正切》

第5課時(shí)二倍角的正弦、余弦和正切1.能夠依據(jù)和角的正弦公式、余弦公式、正切公式導(dǎo)出二倍角的正弦公式、余弦公式和正切公式.2.能夠依據(jù)倍角公式得出半角公式,了解倍角公式和半角公式的內(nèi)在聯(lián)系.3.能夠使用倍角公式進(jìn)行簡(jiǎn)潔的三角恒等變換.2002年8月,在北京召開了國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì),大會(huì)會(huì)標(biāo)如圖所示,它是由四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形,若直角三角形中較小的銳角為θ,大正方形的面積是1,小正方形的面積是125,你能求出sin2θ-cos2θ的值嗎問題1:二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2α=(α為任意角);

(2)cos2α=cos2α-=-1=1-(α為任意角);

(3)tan2α=(α≠+kπ,且α≠π4+,k∈Z)問題2:半角的正弦、余弦、正切公式sinα2=;cosα2=tanα2===問題3:如何依據(jù)倍角公式導(dǎo)出半角公式?單角和倍角是相對(duì)的,α是α2的倍角,在問題1中假如使用這個(gè)關(guān)系,則得到cos2α2=1+cosα2,sin2α2=1-cosα2,把這個(gè)式子開方得cosα2=±1+cosα2,sinα2=±1-cosα2,再依據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系可得tanα2=±1問題4:二倍角公式與和(差)角公式有什么內(nèi)在聯(lián)系?1.sinπ12cosπ12的值為(A.14 B.34 C.122.1+cos2等于().A.-2cos1 B.2cos1 C.cos1-sin1 D.sin1-cos13.tan22.5°4.請(qǐng)回答《創(chuàng)設(shè)情境》中的問題.直接利用二倍角、半角等公式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值將下列三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值:(1)8sinπ48cosπ48cosπ24(2)11-tan(3)(sin5π12+cos5π12)(sin5二倍角或半角公式在三角函數(shù)中的綜合運(yùn)用已知sinα+cosα=355,α∈(0,π4),sin(β-π4)=35,β∈((1)求sin2α和tan2α的值;(2)求cos(α+2β)的值.已知角的某種三角函數(shù)值求值或角已知方程x2+4ax+3a+1=0(a>1)的兩根分別為tanα,tanβ,且α,β∈(-π2,π2),則tanα+將下列三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值:(1)2co(2)(1+sinθ+cosθ)(sin已知函數(shù)f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1,x∈R.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[π8,3π4已知tan(α-β)=12,tanβ=-17,且α,β∈(0,π),求2α-β1.已知sin2α=23,則cos2(α+π4)=(A.16 B.13 C.122.若△ABC的內(nèi)角A滿足sin2A=23,則sinA+cosA的值為()A.153 B.-153 C.533.化簡(jiǎn)cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-32cos2θ=4.函數(shù)f(x)=12cos2x+sinx,求f(x)在區(qū)間[-π4,π4(2022年·四川卷)已知函數(shù)f(x)=cos2x2-sinx2cosx2(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和值域;(2)若f(α)=3210,求sin2α考題變式(我來改編):

答案第5課時(shí)二倍角的正弦、余弦和正切學(xué)問體系梳理問題1:(1)2sinαcosα(2)sin2α2cos2α2sin2α(3)2tanα1-ta問題2:±1-cosα2±1+cosα2問題4:sin(α+β)cos(α+β)sin(α-β)cos(α-β)tan2αtan(α+β)tan(α-β)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)溝通1.Asinπ12cosπ12=12(2sinπ12cosπ12)=12sin(2×π12)2.B∵0<1<π2,∴cos1>0,∴1+cos2=1+(2cos23.12原式=12(2tan22.5°1-tan222.5°)=14.解:在Rt△BCG中,設(shè)|CG|=x,由于△BCG≌△ABF,所以|BF|=x.由題意知,|BC|=1,|GF|=15而|CG|2+|BG|2=|BC|2,∴x2+(15+x)2=1∴x=35,∴sinθ=x=3∴sin2θ-cos2θ=2sin2θ-1=2×(35)2-1=-7重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】(1)原式=4sinπ24cosπ24cosπ12=2sinπ12cosπ12=sin(2)原式=2tanα1-tan(3)原式=sin25π12-cos25π12=-cos【小結(jié)】三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值的主要過程是三角變換,要擅長(zhǎng)抓住已知條件與目標(biāo)之間的結(jié)構(gòu)聯(lián)系,找到解題的突破口與方向.由二倍角或半角公式可直接求值,留意公式的正確使用.探究二:【解析】(1)由題意得(sinα+cosα)2=95,即1+sin2α=95,∴sin2α=又2α∈(0,π2),∴cos2α=1-sin22α=35,∴(2)∵β∈(π4,π2),β-π4∈(0,π4),sin(β-π∴cos(β-π4)=4∴sin2(β-π4)=2sin(β-π4)cos(β-π4)又sin2(β-π4)=-cos2β,∴cos2β=-24又2β∈(π2,π),∴sin2β=7∵cos2α=1+cos2α2=45,α∈(0∴cosα=255,sinα=∴cos(α+2β)=cosαcos2β-sinαsin2β=255×(-2425)-55×【小結(jié)】在運(yùn)用二倍角或半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值時(shí),要留意角的范圍,以免消滅多解、漏解.探究三:【解析】由韋達(dá)定理得,tanα+tanβ=-4a,tanα·tanβ=3a+1,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-又∵tan(α+β)=2tanα+β整理,得2tan2α+β2+3tanα+β又α,β∈(-π2,π2),∴α+β∈(-π,∴α+β2∈(-π∴tanα+β2=-2或tanα[問題]tanα+β2=[結(jié)論]tanα+β2≠12,∵a>1,tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+∴tanα<0,tanβ<0,又由α,β∈(-π2,π2),得α,β∈(-π2,0),α+β∈(-π,0),則α+β2∈(于是,正確解答如下:由韋達(dá)定理得,a>1,tanα+tanβ=-4a<0,tanα·tanβ=3a+1>0,∴tanα<0,tanβ<0.又∵α,β∈(-π2,π2),得α,β∈(-π2∴α+β∈(-π,0),α+β2∈(-π2又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-4a1整理,得2tan2α+β2+3tanα+β解得tanα+β2=-2或tanα+β2【答案】-2【小結(jié)】一些不能直接求值的三角函數(shù),可通過變形或整體代換,再利用二倍角或半角公式等進(jìn)行變形、簡(jiǎn)化,達(dá)到求值的目的.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:(1)原式=1=cos22x4cos((2)由于0<θ<π,所以0<θ2<π所以原式=(=2cosθ2應(yīng)用二:(1)∵f(x)=2cosx(sinx-cosx)+1=sin2x-cos2x=2sin(2x-π4∴函數(shù)f(x)的最小正周期為2π2=(2)∵f(x)=2sin(2x-π4)在區(qū)間[π8,3π8]上為增函數(shù),在區(qū)間[3π8,3π4]上為減函數(shù),又f(π8)=0,f(3π8)=2,f(3π4)=2∴函數(shù)f(x)在區(qū)間[π8,3π4]上的最大值為2,最小值為應(yīng)用三:由于tan2(α-β)=2tan(α-所以tan(2α-β)=tan[2(α-β)+β]=tan2(α-又tanα=tan[(α-β)+β]=tan(α-由于α∈(0,π),所以0<α<π4,又π2<β<π,所以-π<2α-β<0,所以2α-β=-基礎(chǔ)智能檢測(cè)1.Acos2(α+π4)=1+cos(2α+π22.A∵sin2A=2sinAcosA=23,0<A<π,∴sinA>0,cosA>0,∴sinA+cosA=(sinA+cosA)23.1cos2(θ+15°)+cos2(θ-15°)-32cos2θ=1+cos2(θ+15°)2+1+cos2(θ-15°)2-32cos2θ=1+12[cos(2θ+30°)+cos(2θ-30°)]-32cos2θ=1+12[cos2θcos30°-sin2θsin30°+cos2θcos30°+sin2θsin30°4.解:f(x)=12cos2x+sinx=12(1-2sin2x)+=-sin2x+sinx+12=-(sinx-12)2+令t=sinx,則由-π4≤x≤π4得,-22≤t≤22,依據(jù)二次函數(shù)y=-(t-12)2+34的性質(zhì)得當(dāng)t=-22全新視角拓展(1)