【全程復習方略】2020年人教A版數(shù)學文(廣東用)課時作業(yè)：3.8應-用-舉-例

溫馨提示：此套題為Word版，請按住Ctrl,滑動鼠標滾軸，調(diào)整合適的觀看比例，答案解析附后。關閉Word文檔返回原板塊。課時提升作業(yè)(二十三)一、選擇題1.線段AB外有一點C，∠ABC=60°，AB=200km,汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運動開頭幾小時后，兩車的距離最小()（A）（B）1（C）（D）22.某水庫大壩的外斜坡的坡度為，則坡角α的正弦值為()3.在△ABC中，A=60°，且最大邊和最小邊是方程x2-7x+11=0的兩個根，則第三邊長為()(A)2(B)3(C)4(D)54.（2021·廣州模擬）據(jù)新華社報道，強臺風“珍寶”在廣東饒平登陸．臺風中心最大風力達到12級以上，大風、降雨給災區(qū)帶來嚴峻的災難，不少大樹被大風折斷．某路邊一樹干被臺風吹斷后，折成與地面成45°的角，樹干也傾斜為與地面成75°的角，樹干底部與樹尖著地處相距20米，則折斷點與樹干底部的距離是()5.(2021·天津模擬)在△ABC中,角A，B,C所對應的邊分別為a，b，c,若角A，B，C依次成等差數(shù)列,且a=1,b=,則S△ABC=()6.某愛好小組要測量電視塔AE的高度H（單位：m).如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.該小組已測得一組α,β的值，算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,則H=()(A)100m(B)110m(C)124m(D)144m二、填空題7.（2021·揭陽模擬）若△ABC的面積為3，BC=2,C=60°，則邊長AB的長度等于_______.8.某人站在60米高的樓頂A處測量不行到達的電視塔的高度，測得塔頂C的仰角為30°,塔底B的俯角為15°，已知樓底部D和電視塔的底部B在同一水平面上，則電視塔的高為_______米.9.如圖，在坡度確定的山坡A處測得山頂上一建筑物CD的頂端C對于山坡的斜度為15°，向山頂前進100米到達B后，又測得C對于山坡的斜度為45°，若CD=50米，山坡對于地平面的坡角為θ，則cosθ=_______.三、解答題10.（2022·山東高考）在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a,b,c，已知sinB(tanA+tanC)=tanAtanC.（1）求證：a,b,c成等比數(shù)列.（2）若a=1,c=2，求△ABC的面積S.11.（2021·湛江模擬）在一個特定時段內(nèi)，以點E為中心的7海里以內(nèi)海疆被設為警戒水域.點E正北55海里處有一個雷達觀測站A.某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40海里的位置B，經(jīng)過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ(其中sinθ=,0°＜θ＜90°)且與點A相距10海里的位置C.（1）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）.（2）若該船不轉變航行方向連續(xù)行駛，推斷它是否會進入警戒水域，并說明理由.12.（力氣挑戰(zhàn)題）如圖，攝影愛好者S在某公園A處，發(fā)覺正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為米（將眼睛距地面的距離SA按米處理）.（1）求攝影者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB.（2）立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN，且MN繞其中點O在S與立柱所在的平面內(nèi)旋轉.在彩桿轉動的任意時刻，攝影者觀看彩桿MN的視角∠MSN（設為θ）是否存在最大值？若存在，懇求出∠MSN取最大值時cosθ的值；若不存在，請說明理由.答案解析1.【解析】選C.如圖所示，設過xh后兩車距離為ykm，則BD=200-80x，BE=50x，∴y2=(200-80x)2+(50x)2-2×(200-80x)·50x·cos60°，整理得y2=12900x2-42000x+40000(0≤x≤2.5)，∴當x=時y2最小，即y最小.2.【思路點撥】坡角的正切值是坡度，故利用此關系可解.【解析】選B.由tanα=，得sinα=cosα，代入sin2α+cos2α=1，得sinα=.3.【解析】選C.由A=60°知△ABC中最大邊和最小邊分別為b,c，故b+c=7，bc=11.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos60°=(b+c)2-3bc=72-3×11=16,∴a=4.4.【解析】選A.如圖，設樹干底部為O，樹尖著地處為B，折斷點為A，則∠ABO＝45°，∠AOB＝75°,∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，∴AO＝(米).5.【思路點撥】由角A，B，C成等差數(shù)列可得B，由正弦定理得A，從而得C，再用面積公式求解即可.【解析】選C.∵角A，B，C成等差數(shù)列,∴A+C=2B,∴B=60°.又a=1,b=,∴∴sinA=又∵a＜b,∴A＜B,∴A=30°,∴C=90°.∴S△ABC=【變式備選】在△ABC中三條邊a，b，c成等比數(shù)列，且b=，B=，則△ABC的面積為()【解析】選C.由已知可得b2=ac，又b=，則ac=3,又B=，∴S△ABC=6.【思路點撥】用H，h表示AD，AB，BD后利用AD=AB+BD即可求解.【解析】選Ｃ.由AB=,BD=,AD=及AB+BD=AD，得解得H==124（m）.因此，算出的電視塔的高度H是124m.【方法技巧】測量高度的常見思路解決高度的問題主要是依據(jù)條件確定出所利用的三角形，精確地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度相對應；分清已知和待求的關系，正確地選擇定理和公式，特殊留意高度垂直地面構成的直角三角形.7.【解析】由△ABC面積為3，得absin60°=3，得ab=4,又BC=a=2,故b=2,∴c2=a2+b2-2abcosC=4+12-2×2×2×=16-4，∴c=.答案：8.【解析】如圖，用AD表示樓高，AE與水平面平行，E在線段BC上，由于∠CAE=30°,∠BAE=15°,AD=BE=60,則AE＝在Rt△AEC中，CE＝AE·tan30°=(120+60)×=60+40,∴BC=CE+BE=60+40+60=120+40,所以塔高為(120+40)米.答案：120+409.【解析】在△ABC中，BC=在△BCD中，sin∠BDC==又∵cosθ=sin∠BDC，∴cosθ=-1.答案：-110.【思路點撥】（1）先利用切化弦，將已知式子化簡，再利用和角公式，三角形內(nèi)角和定理，正弦定理化成b2=ac.（2）利用（1）的結論和余弦定理及三角形面積公式求解.【解析】(1)由已知得:sinB(sinAcosC+cosAsinC)=sinAsinC,sinBsin(A+C)=sinAsinC,sin2B=sinAsinC.由正弦定理可得：b2=ac，所以a,b,c成等比數(shù)列.(2)若a=1,c=2,則b2=ac=2,∴cosB=sinB=∴△ABC的面積S=11.【解析】（1）如圖，AB=40，AC=10，∠BAC=θ,sinθ=.由于0°＜θ＜90°，所以cosθ=由余弦定理得BC=所以船的行駛速度為（海里/小時）.(2)船會進入警戒水域.方法一：如圖所示，以A為原點建立平面直角坐標系，設點B，C的坐標分別是B（x1,y1),C(x2,y2),BC與x軸的交點為D.由題設有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos∠CAD=10cos(45°-θ)=30,y2=ACsin∠CAD=10sin(45°-θ)=20.所以過點B，C的直線l的斜率k==2，直線l的方程為y=2x-40.又點E(0,-55)到直線l的距離d=所以船會進入警戒水域.方法二：如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于Q.在△ABC中，由余弦定理得，cos∠ABC=從而sin∠ABC=在△ABQ中，由正弦定理得，AQ=由于AE=55＞40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE-AQ=15.過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離.在Rt△QPE中，PE=QE·sin∠PQE=QE·sin∠AQC=QE·sin(45°-∠ABC)=15×＜7.所以船會進入警戒水域.【變式備選】如圖，當甲船位于A處時獲悉，在其正東方向相距20海里的B處有一艘漁船遇險等待營救．甲船馬上前往救援，同時把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C處的乙船，試問乙船應朝北偏東多少度的方向沿直線前往B處救援（已知sin41°≈，角度精確到1°）?【解析】連接BC,由余弦定理得BC2=202+102－2×20×10×cos120°=700.所以BC=10.∵∴sin∠ACB=,∵∠ACB<90°,∴∠ACB≈41°.∴乙船應朝北偏東71°方向沿直線前往B處救援.12.【解析】（1）如圖，作SC⊥OB于C,依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°.又SA=,故在Rt△SAB中，可求得AB==3,即攝影者到立柱的水平距離AB為3米.在Rt△SCO中，SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan30°=,又BC=SA=，故OB=2,即立柱的高度OB為2米.（2）如圖，以O為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系，連接SM,SN,設M(cosα,sinα)，α∈［0,2π),則N(-cosα,-sinα)，由(1)知S(3,-).故=(cosα-3,sinα+)，=(-cosα-3,-sinα