【同步備課】2020年高中物理教學(xué)設(shè)計(新人教必修二)7.7《動能和動能定理》4

第7節(jié)動能和動能定理理解領(lǐng)悟本節(jié)課在上節(jié)探究功與物體速度變化關(guān)系的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步從理論上探究動能的表達(dá)式，以及做功與物體動能變化間的關(guān)系。要著重理解動能的概念，會用動能定理解決相關(guān)的物理問題?；A(chǔ)級

對三個具體問題的分析在本章第１節(jié)“追尋守恒量”中，我們已經(jīng)知道物體由于運動而具有的能量叫做動能。上一節(jié)又探究了功與物體速度變化的關(guān)系，物體的動能肯定與物體的運動速度的二次方成正比。那么，動能還與哪些因素有關(guān)呢？為了探究動能的表達(dá)式，讓我們來分析三個具體問題：圖5—40Fmlv1v2①

如圖5—40所示，在光滑的水平面上，一質(zhì)量為m、初速度為圖5—40Fmlv1v2解：由牛頓其次定律有

F=ma，由勻變速直線運動公式有

v22－v12=2al,圖5—41m圖5—41mv1hv2Fmg②

如圖5—41所示，將質(zhì)量為m的小球從離地h高處以初速度v1豎直向下拋出，所受空氣阻力恒為F，求小球落地時的速度v2。解：由牛頓其次定律有

mg－F=ma，由勻變速直線運動公式有

v22－v12=2ah,m圖5—42m圖5—42lv1v2FmgFNθm③

如圖5—42所示，用一水平力F將質(zhì)量為m的物塊推上傾角為θ的光滑斜面。物塊的初速度為v1，位移為l，求物塊的末速度v2。

解：由牛頓其次定律有Fcosθ－mgsinθ=ma，

由勻變速直線運動公式有

v22－v12=2al,解得。

動能表達(dá)式的確立將上述三個具體問題所得的結(jié)論適當(dāng)變換，可依次得到如下的表達(dá)式：①；②；③。認(rèn)真爭辯上述三個表達(dá)式，可以發(fā)覺它們有著相同的特點：第一，式中的與v相關(guān)，因而與動能Ek相關(guān)，且與v2成正比也與前面的探究相全都；其次，始末兩態(tài)的之差與力的功W相等，因而與前面重力勢能、彈性勢能的爭辯相全都，即功是它的變化的量度。可見，就是我們查找的動能的表達(dá)式。至此，我們可以定義質(zhì)量為m的物體，以速度v運動時的動能為Ek=。

對動能的深化理解關(guān)于動能，可從以下四方面來加深理解：動能具有相對性，參考系不同，速度就不同，所以動能也不等。一般都以地面為參考系描述物體的動能。動能是狀態(tài)量，是表征物體運動狀態(tài)的物理量。物體的運動狀態(tài)一旦確定，物體的動能就唯一地被確定了。物體的動能對應(yīng)于某一時刻運動的能量，它僅與速度的大小有關(guān)，而與速度的方向無關(guān)。動能是標(biāo)量，且恒為正值。由動能的表達(dá)式可知，動能的單位與功的單位相同，由于

1kg·(m/s)2=1(kg·m/s2)·m=1N·m=1J。

動能定理及其表達(dá)式在上述三個具體問題所得結(jié)論的變換式中，我們可以看到，式子左邊均為合力對物體所做的功，式子右邊均為物體動能的變化。這就是說，力（合力）在一個過程中對物體所做的功，等于物體在這個過程中動能的變化。這就是動能定理，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

W=Ek2－Ek1。

關(guān)于合力的功通常，動能定理數(shù)學(xué)表達(dá)式中的W有兩種表述：一是每個力單獨對物體做功的代數(shù)和，二是合力對物體所做的功。這樣，動能定理亦相應(yīng)地有兩種不同的表述：外力對物體所做功的代數(shù)和等于物體動能的變化。合外力對物體所做的功等于物體動能的變化。我們在本章第2節(jié)“做一做”欄目的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)證明白“幾個力對一個物體做功的代數(shù)和，等于這幾個力的合力對這個物體所做功的和”。所以，當(dāng)幾個力同時對物體做功時，可以先求出物體所受的合力，再求出合力的功；也可以先求出各個力的功，再求出功的代數(shù)和，這兩者是相同的。然而，當(dāng)幾個力對物體做功有先后時，那就只能先求出各個力的功，再求出功的代數(shù)和。

關(guān)于動能的變化動能只有正值，沒有負(fù)值，但動能的變化卻有正有負(fù)。“變化”是指末狀態(tài)的物理量減去初狀態(tài)的物理量，而不肯定是大的減小的，有些書上稱之為“增量”。動能的變化量為正值，表示物體的動能增加了，對應(yīng)于合力對物體做正功；物體的變化量為負(fù)值，表示物體的動能減小了，對應(yīng)于合力對物體做負(fù)功，或者說物體克服合力做功。

動能定理的適用范圍動能定理是從牛頓其次定律F=ma和勻變速直線運動公式

v22－v12=2al推導(dǎo)而得的，雖然它是在受恒力作用、物體做直線運動的特殊條件下得到的，但是，當(dāng)物體受變力作用或做曲線運動時，我們可把過程分解成很多小段，認(rèn)為物體在每小段受恒力作用、做直線運動。因此，無論作用在物體上的合力的大小和方向是否轉(zhuǎn)變，物體是沿直線運動還是沿曲線運動，結(jié)論仍舊成立。也就是說，動能定理適用于直線運動，也適用于曲線運動；適用于恒力做功，也適用于變力做功。力可以是各種性質(zhì)的力，既可以同時作用，也可以分段作用。只要求出和確定各力做功的多少和正負(fù)即可。值得留意的是，在推導(dǎo)動能定理的過程中應(yīng)用了只能在慣性參考系中成立的牛頓其次定律，因而動能定理也只適用于慣性參考系。而對于不同的慣性參考系，雖然力對物體做的功、物體的動能、動能的變化都不相同，但動能定理作為一個力學(xué)規(guī)律在不同的參考系中仍舊成立。動能定理適用于在慣性參考系中運動的任何物體。動能定理中涉及的物理量有F、l、m、v、W、Ek等，在處理含有上述物理量的力學(xué)問題時，可以考慮使用動能定理。由于只需從力在各段位移內(nèi)的功和這段位移始末兩狀態(tài)動能變化去爭辯，無需留意其中運動狀態(tài)變化的細(xì)節(jié)，又由于功和動能都是標(biāo)量，無方向性，無論是對直線運動或曲線運動，計算都會特殊便利。當(dāng)題給條件涉及力的位移效應(yīng)，而不涉及加速度和時間時，用動能定理求解一般比用牛頓其次定律和運動學(xué)公式求解簡便。用動能定理還能解決一些用牛頓其次定律和運動學(xué)公式難以求解的問題，如變力作用過程、曲線運動等問題。

應(yīng)用動能定理解題的一般步驟及留意點應(yīng)用動能定理解題的一般步驟是：選取爭辯對象，確定爭辯過程；分析問題受力，明確做功狀況；依據(jù)初、末狀態(tài)，確定初、末動能；應(yīng)用動能定理，列出方程求解。應(yīng)用動能定理解題應(yīng)留意以下幾點：正確分析物體受力，要考慮物體所受的全部外力，包括重力。有些力在物體運動全過程中不是始終存在的，若物體運動過程中包含幾個物理過程，物體運動狀態(tài)、受力等狀況均發(fā)生變化，則在考慮外力做功時，必需依據(jù)不同狀況分別對待。若物體運動過程中包含幾個不同的物理過程，解題時可以分段考慮也可視全過程為一整體，用動能定理解題，后者往往更為簡捷。

對教材兩道例題的提示教材中的兩道例題，分別以飛機(jī)起飛和汽車滑行為背景，應(yīng)用動能定理求出了飛機(jī)的牽引力及汽車受到的阻力。兩題均可應(yīng)用牛頓運動定律結(jié)合運動學(xué)公式求解，而應(yīng)用動能定理求解比較便利。在題后的“思考與爭辯”欄目中提出“阻力做功，汽車的動能到哪里去了”？事實上，汽車的動能轉(zhuǎn)化成了內(nèi)能。進(jìn)展級關(guān)于系統(tǒng)的動能定理教材中得到的動能定理

W=Ek2－Ek1是以一個物體為爭辯對象的，式中

W為全部外力（包括重力、彈力）所做的功。這肯定理可推廣到由幾個物體構(gòu)成的物體系中去，但定理的形式應(yīng)做相應(yīng)的變動。由于對一個物體系來說，在狀態(tài)變化的過程中，不僅有外力做功，還可能有內(nèi)力做功，內(nèi)力做功也會轉(zhuǎn)變系統(tǒng)的總動能。例如，系統(tǒng)內(nèi)的爆炸力做功（如手榴彈爆炸），可使整個系統(tǒng)的動能增加；系統(tǒng)內(nèi)的摩擦力做功，又可使整個系統(tǒng)的動能削減。若以、分別表示外力和內(nèi)力對系統(tǒng)所做的功，則有。即外力與內(nèi)力對系統(tǒng)所做的總功，等于系統(tǒng)在這個過程中動能的變化。這就是系統(tǒng)的動能定理。對功能關(guān)系的深化理解功的概念起源于早期工業(yè)革命的需要。當(dāng)時的工程師們需要一個比較蒸汽機(jī)效益的方法。在實踐中大家漸漸同意用機(jī)器舉起的物體的重量與高度之積來量度機(jī)器的輸出，并稱之為功。19世紀(jì)初，法國科學(xué)家科里奧利明確地把作用力和受力點沿力的方向的位移的乘積叫做“運動的功”。當(dāng)功和能量這兩個概念在具體的物理過程中“匯合”之時，人們才進(jìn)了一大步，生疏到“功的重要意義在于它可以打算能量的變化，因而為爭辯能量轉(zhuǎn)化過程奠定了定量分析的基礎(chǔ)”。這是今日的物理學(xué)總把“功”和“能”捆綁在一起的緣由。關(guān)于功和能的關(guān)系，我們可以從下面兩方面加以理解：做功的過程是能量轉(zhuǎn)化的過程能量有機(jī)械能、電能、內(nèi)能、光能、化學(xué)能、核能等多種形式，各種形式的能可以相互轉(zhuǎn)化，在轉(zhuǎn)化過程中滿足總能量守恒。在電燈通電時，電流做功，電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能和光能；當(dāng)汽車發(fā)動機(jī)工作時，把化學(xué)能轉(zhuǎn)化為機(jī)械能；在核反應(yīng)過程中，核力做功，把核能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。要使能量的形式發(fā)生變化，必需通過做功過程才能實現(xiàn)。這一點和學(xué)校學(xué)過的熱傳遞有著本質(zhì)的區(qū)分。在熱傳遞中過程，能量的形式并不發(fā)生變化。功是能量轉(zhuǎn)化的量度在做功使能量的形式發(fā)生變化時，做了多少功，就有多少的能量從一種形式轉(zhuǎn)化為另一種形式。例如，電阻絲通電時，若電流做了100J的功，就有100J的電能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能。從這個意義上講，功好像是一把尺子，可以用它來量度能量轉(zhuǎn)化的大小。我們在推導(dǎo)重力勢能、彈性勢能和動能的表達(dá)式時，正是從這一原理入手的。應(yīng)用鏈接本節(jié)學(xué)問的應(yīng)用主要涉及對動能概念的正確理解，以及動能定理的分析與計算?；A(chǔ)級例1新疆達(dá)坂城風(fēng)口的風(fēng)速約為v=20m/s，設(shè)該地空氣的密度為ρ=1.4kg/m3，若把通過橫截面積S=20m2的風(fēng)的電能的50%提示本題所求電功率的意義是指單位時間內(nèi)轉(zhuǎn)化成的電能。由

可知，只要能求出單位時間內(nèi)通過截面的空氣的動能△E，即可求出P。lS圖5—43解析首先建立風(fēng)的“柱體模型”，如圖5—43所示，設(shè)經(jīng)過時間t通過截面lS圖5—43

m=ρV=ρSl=ρSvt。這部分空氣的動能為

。由于風(fēng)的動能只有50%轉(zhuǎn)化為電能，所以其電功率的表達(dá)式為。代入數(shù)據(jù)得

W=5.6×104W。點悟求解本題的關(guān)鍵有：在理解功和能的關(guān)系的基礎(chǔ)上建立風(fēng)能（流淌空氣的動能）轉(zhuǎn)化為電能的關(guān)系；正確建立風(fēng)的柱體模型。例2在h高處，以初速度v0向水平方向拋出一個小球，不計空氣阻力，小球著地時速度大小為（）A.B.C.D.提示小球在下落過程中重力做功，可由動能定理計算。解析在小球下落的整個過程中，對小球應(yīng)用動能定理，有

，解得小球著地時速度的大小為

。正確選項為C。圖5—圖5—44θFOPQl例3一質(zhì)量為

m的小球，用長為l的輕繩懸掛于O點。小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，如圖5—44所示，則拉力F所做的功為（）A.mglcosθB.mgl(1－cosθ)C.FlcosθD.Flθ提示將小球從位置P很緩慢地拉到位置Q的過程中，球在任一位置均可看作處于平衡狀態(tài)。由平衡條件可得F=mgtanθ，可見，隨著θ角的增大，F(xiàn)也在增大。而變力的功是不能用W=Flcosθ求解的，應(yīng)從功和能關(guān)系的角度來求解。解析小球受重力、水平拉力和繩子拉力的作用，其中繩子拉力對小球不做功，水平拉力對小球做功設(shè)為W，小球克服重力做功mgl(1－cosθ)。小球很緩慢移動時可認(rèn)為動能始終為0，由動能定理W－mgl(1－cosθ)=0，可得

W=mgl(1－cosθ)。正確選項為B。點悟我們應(yīng)用動能定理，由合力的功與物體動能變化的關(guān)系求得了變力所做的功。可見，動能定理在求解變力做功問題中發(fā)揮著重要作用。例4將質(zhì)量m=2kg的一塊石頭從離地面H=2m高處由靜止開頭釋放，落入泥潭并陷入泥中h=5cm深處，不計空氣阻力，求泥對石頭的平均阻力。（g取10m/s2）提示石頭的整個下落過程分為兩段，如圖5—45所示，第一段是空中的自由下落運動，只受重力作用；其次段是在泥潭中的運動，受重力和泥的阻力。兩階段的聯(lián)系是，前一段的末速度等于后一段的初速度?？紤]用牛頓其次定律與運動學(xué)公式求解，或者由動能定理求解。hH圖5hH圖5—45解法一（應(yīng)用牛頓其次定律與運動學(xué)公式求解）：石頭在空中做自由落體運動，落地速度

。在泥潭中的運動階段，設(shè)石頭做減速運動的加速度的大小為a，則有

v2=2ah，解得

。由牛頓其次定律

，所以泥對石頭的平均阻力N=820N。解法二（應(yīng)用動能定理分段求解）：設(shè)石頭著地時的速度為v，對石頭在空中運動階段應(yīng)用動能定理，有

；對石頭在泥潭中運動階段應(yīng)用動能定理，有。由以上兩式解得泥對石頭的平均阻力N=820N。解法三（應(yīng)用動能定理整體求解）：對石頭在整個運動階段應(yīng)用動能定理，有。所以，泥對石頭的平均阻力N=820N。點悟從本例供應(yīng)的三種解法可以看出，應(yīng)用動能定理求解，要比應(yīng)用牛頓其次定律與運動學(xué)求解簡潔得多；而在物體運動的全過程應(yīng)用動能定理，則往往要比分段應(yīng)用動能定理顯得更為簡捷。進(jìn)展級例5質(zhì)量為m的子彈以水平速度v1射入以速度v2沿同一方向運動的木塊中，木塊質(zhì)量為M。當(dāng)子彈進(jìn)入木塊中深度為d時，子彈和木塊的速度分別v1’為和v2’。若木塊和子彈的相互作用力為F，木塊與水平面間的摩擦不計，試求這一過程中子彈和木塊組成的系統(tǒng)動能的損失。（用F和提示應(yīng)用動能定理時，留意子彈與木塊發(fā)生的位移并不相同。圖5—46dl解析如圖5—46所示，設(shè)子彈進(jìn)入木塊深度為d圖5—46dl

，。由以上兩式可得系統(tǒng)動能的損失。點悟本題中，子彈和木塊組成的系統(tǒng)損失的動能轉(zhuǎn)化成了系統(tǒng)的內(nèi)能。一般說來，作用于系統(tǒng)的滑動摩擦力F與系統(tǒng)內(nèi)物體間相對滑動的位移d的乘積，在數(shù)值上等于因摩擦而轉(zhuǎn)化成的內(nèi)能，即“摩擦生熱”Q=Fd。另外，靜摩擦力即使對物體做功，由于相對位移d為0，也不行能生熱。本題也可接受系統(tǒng)的動能定理求解：由，式中

，木塊和子彈的相互作用力對木塊做正功Fl，對子彈做負(fù)功－F(l+d)，即

，可得子彈和木塊組成的系統(tǒng)動能的損失為。例6總質(zhì)量為M的列車沿水平直線軌道勻速前進(jìn)，其末節(jié)車廂的質(zhì)量為m，中途脫節(jié)。司機(jī)發(fā)覺時，機(jī)車已行駛了距離l，于是馬上關(guān)閉油門，除去牽引力。設(shè)列車運動的阻力與質(zhì)量成正比，機(jī)車的牽引力是恒定的。當(dāng)列車的兩部分都停止時，它們間的距離是多少？提示對車頭部分與末節(jié)車廂分別應(yīng)用動能定理。解析設(shè)阻力與質(zhì)量的比例系數(shù)為k，機(jī)車脫鉤前的速度為v0。對車頭部分，爭辯脫鉤前后的全過程，依據(jù)動能定理有。對末節(jié)車廂，爭辯脫鉤后的過程，依據(jù)動能定理有。由于原先列車勻速運動，所以

F=kMg。由以上三式聯(lián)立解得，列車的兩部分都停止時，它們間的距離是

。點悟本題也可應(yīng)用牛頓其次定律結(jié)合運動學(xué)公式求解，請同學(xué)們不妨一試，但用動能定理求解的簡便之處是顯而易見的。本題還可以用功能補(bǔ)償?shù)乃悸穪斫?，求解過程更簡潔：假設(shè)中途脫節(jié)時，司機(jī)馬上發(fā)覺，并馬上關(guān)閉油門，則車廂和機(jī)車會停在同一地點。但因行駛了距離l后才發(fā)覺而關(guān)閉油門，在此過程中，牽引力做功kMgl，這部分功可用來補(bǔ)償機(jī)車多行駛一段距離而克服阻力所做的功k(M－m)g·△s，即kMgl=k(M－m)g·△s，由此解得。課本習(xí)題解讀1.由動能的表達(dá)式可知：a.質(zhì)量不變，速度增大到原來的2倍，動能是原來的4倍；b.速度不變，質(zhì)量增大到原來的2倍，動能是原來的2倍；c.質(zhì)量減半，速度增大到原來的4倍，動能是原來的8倍；d.速度減半，質(zhì)量增大到原來的4倍，動能不變。2.由動能定理

可知，在題目所述的兩種狀況下,(v22－v12)較大的，需要做的功較多。速度由10km/h加速到20km/h的狀況下：v22－v12=202(km/h)2－102(km/h)2=300(km/h)2；速度由50km/h加速到60km/h的狀況下：

v22－v12=602(km/h)2－502(km/h)2=1

100(km/h)2。可見，后一種狀況所做的功較多。3.設(shè)平均阻力為，依據(jù)動能定理有

，解得

N=1.6×103N。子彈在木板中運動5cm時，所受木板的阻力各處不同，題目所說的平均阻力是對這5cm說的。4.人在下滑過程中，著力和阻力做功，設(shè)人受到的阻力為F，依據(jù)動能定理有

，解得人滑至底端時的速度為

m/sm/s≈5.66m/s?？梢姡脛幽芏ɡ砬蠼獗绢}，要比用牛頓其次定律結(jié)合運動學(xué)公式求解來得簡捷。5.設(shè)人將足球踢出的過程中，人對球做的功為W；從人踢球到球上升至最大高度的過程中，重力做功為WG。在從人踢球到球上升至最大高度的過程中對球應(yīng)用動能定理，有，即

，故

JJ=150J。練習(xí)鞏固（5—7）基礎(chǔ)級1.某物體在恒力作用下，從靜止開頭做直線運動，若t表示時間，l表示位移，則物體的動能（）A.與t成正比B.與t2成正比C.與l成正比D.與l2成正比2.一物體在水平方向的兩個平衡力（均為恒力）作用下，沿水平方向做勻速直線運動。若撤去一個水平力，且保持另一個水平力不變，則有（）A.物體的動能可能削減B.物體的動能可能不變C.物體的動能可能增加D.余下的那個力肯定對物體作正功3.甲、乙兩個滑塊以相同的初動能在同一水平面上滑行，若甲的質(zhì)量大于乙的質(zhì)量，兩滑塊與水平面間的動摩擦因數(shù)相同，則最終當(dāng)它們均靜止時滑行的距離（）A.相等B.甲大C.乙大D.無法比較4.某運動員臂長l，將質(zhì)量為m的鉛球推出。鉛球出手時的速度大小為v0，方向與水平方向成30°角，則運動員對鉛球做了多少功？5.人從高h(yuǎn)處將一質(zhì)量為m的小球水平拋出，不計空氣阻力，測得球落地時速度的大小為v，則人拋球時對球做了多少功？6.質(zhì)量為1kg的鐵球，由離泥漿地面3m高處自由落下，陷入泥漿中30cm后靜止，則重力對鐵球所做的功是多少？鐵球克服泥漿阻力所做的功是多少？（g取10m/s2）7.一架小型噴氣式飛機(jī)的質(zhì)量為5×103kg，在跑道上從靜止開頭滑行時受到的發(fā)動機(jī)的牽引力為1.8×104N，設(shè)飛機(jī)在運動中的阻力是它所受重力的0.2倍，飛機(jī)離開跑道的起飛速度為60m/s，求飛機(jī)在跑道上滑行的距離。（g取10m/s圖5圖5—47F8.如圖5—47所示，在摩擦可忽視的水平面上停著一輛小車，小車的左端放著一只箱子。在水平恒力F作用下，把箱子從小車的左端拉至右端卸下。假如一次小車被制動，另一次小車未被制動，小車可沿地面運動，在這兩種狀況下有（）A.箱子與車面之間的摩擦力一樣大

B.水平恒力F所做的功一樣大C.箱子獲得的加速度一樣大

D.箱子獲得的動能一樣大9.自行車上坡，坡高5.0m，坡長100m，車與人共重9.8×102N，人蹬車的牽引力為78N，車在坡底的速度為5.0m/s，到坡頂時速度為3.0m/s。問：(1)

上坡過程中，自行車克服摩擦力做了多少功？(2)

假如人不用力蹬車，車在坡底速度仍為5.0m/s，自行車能上行多遠(yuǎn)？10.質(zhì)量為3×106kg的列車，在恒定的額定功率下由靜止動身，運行中受到一個恒定不變的阻力作用，經(jīng)過103s，行程1.2×104練習(xí)鞏固（5—7）1.BC2.AC3.C4.對鉛球在被推出的過程中應(yīng)用動能定理，有

，可得運動員對鉛球所做的功為。5.在從人開頭拋球到小球落地的過程