【高考解碼】2021屆高三數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)(新課標(biāo))-概率、隨機(jī)變量及其分布列測(cè)試題

建議用時(shí)實(shí)際用時(shí)錯(cuò)題檔案45分鐘一、選擇題1．(2022·湖北高考)隨機(jī)擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，它們向上的點(diǎn)數(shù)之和不超過5的概率記為p1，點(diǎn)數(shù)之和大于5的概率記為p2，點(diǎn)數(shù)之和為偶數(shù)的概率記為p3，則()A．p1＜p2＜p3B．p2＜p1＜p3C．p1＜p3＜p2D．p3＜p1＜p2【解析】由題意知p1＝eq\f(5,18)，p2＝eq\f(13,18)，p3＝eq\f(1,2)，∴p1＜p3＜p2.【答案】C2．(2022·廣東七校聯(lián)考)如圖，已知圓的半徑為10，其內(nèi)接三角形ABC的內(nèi)角A、B分別為60°和45°，現(xiàn)向圓內(nèi)隨機(jī)撒一粒豆子．則豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為()A.eq\f(3＋\r(3),16π)B.eq\f(3＋\r(3),4π)C.eq\f(4π,3＋\r(3))D.eq\f(16π,3＋\r(3))【解析】由正弦定理eq\f(BC,sinA)＝eq\f(AC,sinB)＝2R(R為圓的半徑)?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝20sin60°,AC＝20sin45°))?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(BC＝10\r(3)，,AC＝10\r(2).))那么S△ABC＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)sin75°＝eq\f(1,2)×10eq\r(3)×10eq\r(2)×eq\f(\r(6)＋\r(2),4)＝25(3＋eq\r(3))．于是，豆子落在三角形ABC內(nèi)的概率為eq\f(S△ABC,圓的面積)＝eq\f(253＋\r(3),102π)＝eq\f(3＋\r(3),4π).故選B.【答案】B3．(2022·山東聊城一模)1號(hào)箱中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，2號(hào)箱中有5個(gè)白球和3個(gè)紅球，現(xiàn)隨機(jī)地從1號(hào)箱中取出一球放入2號(hào)箱，然后從2號(hào)箱隨機(jī)取出一球，則從2號(hào)箱取出紅球的概率是()A.eq\f(11,27)B.eq\f(11,24)C.eq\f(16,27)D.eq\f(9,24)【解析】記大事A：最終從2號(hào)箱中取出的是紅球；大事B：從1號(hào)箱中取出的是紅球，則依據(jù)古典概型和對(duì)立大事的概率和為1，可知：P(B)＝eq\f(4,2＋4)＝eq\f(2,3)，P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,3)＝eq\f(1,3)；P(A|B)＝eq\f(3＋1,8＋1)＝eq\f(4,9)，P(A|eq\x\to(B))＝eq\f(3,8＋1)＝eq\f(3,9).從而P(A)＝P(AB)＋P(Aeq\x\to(B))＝P(A|B)·P(B)＋P(A|eq\x\to(B))·P(eq\x\to(B))＝eq\f(11,27)，選A.【答案】A4．已知隨機(jī)變量X聽從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(X＜4)＝0.8，則P(0＜X＜2)＝()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2【解析】∵P(X＜4)＝0.8，∴P(X＞4)＝0.2，由題意知圖象的對(duì)稱軸為直線x＝2，P(X＜0)＝P(X＞4)＝0.2，∴P(0＜X＜4)＝1－P(X＜0)－P(X＞4)＝0.6.∴P(0＜X＜2)＝eq\f(1,2)P(0＜X＜4)＝0.3.【答案】C5．(2022·浙江高考)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有m個(gè)紅球和n個(gè)藍(lán)球(m≥3，n≥3)，從乙盒中隨機(jī)抽取i(i＝1,2)個(gè)球放入甲盒中．(a)放入i個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為ξi(i＝1,2)；(b)放入i個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為pi(i＝1,2)．則()A．p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B．p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C．p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D．p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)【解析】法一p1＝eq\f(m,m＋n)＋eq\f(n,m＋n)×eq\f(1,2)＝eq\f(2m＋n,2m＋n)p2＝eq\f(3m2－3m＋2mn＋n2－n,3m＋nm＋n－1)p1－p2＝eq\f(2m＋n,2m＋n)－eq\f(3m2－3m＋2mn＋n2－n,3m＋nm＋n－1)＝eq\f(5mn＋nn－1,6m＋nm＋n－1)>0，故p1>p2E(ξ1)＝0×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n,m＋n)×\f(1,2)))＋1×eq\f(2m＋n,2m＋n)＝eq\f(2m＋n,2m＋n)E(ξ2)＝eq\f(3m＋n,m＋n)∴E(ξ1)＜E(ξ2)，故選A.法二本題可用特例法和極限思想分析，易知p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)．【答案】A二、填空題6．(2022·廣東高考)從0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七個(gè)不同的數(shù)，則這七個(gè)數(shù)的中位數(shù)是6的概率為________．【解析】十個(gè)數(shù)中任取七個(gè)不同的數(shù)共有Ceq\o\al(7,10)種狀況，七個(gè)數(shù)的中位數(shù)為6，那么6只有處在中間位置，有Ceq\o\al(3,6)種狀況，于是所求概率P＝eq\f(C\o\al(3,6),C\o\al(7,10))＝eq\f(1,6).【答案】eq\f(1,6)7．(2022·溫州十校聯(lián)考)一個(gè)袋子中裝有6個(gè)紅球和4個(gè)白球，假設(shè)每一個(gè)球被摸到的可能性是相等的．從袋子中摸出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的數(shù)學(xué)期望是________．【解析】依據(jù)題意知ξ＝0,1,2，而P(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,10))＝eq\f(15,45)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(24,45)；P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,10))＝eq\f(6,45)，∴E(ξ)＝0×eq\f(15,45)＋1×eq\f(24,25)＋2×eq\f(6,45)＝eq\f(36,45)＝eq\f(4,5).【答案】eq\f(4,5)8．(2022·武漢調(diào)研)某一部件由三個(gè)電子元件按如圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命(單位：小時(shí))均聽從正態(tài)分布N(1000,502)，且各個(gè)元件能否正常工作相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為________?！窘馕觥坑捎谌齻€(gè)電子元件的使用壽命均聽從正態(tài)分布N(1000,502)，所以三個(gè)電子元件的使用壽命超過1000小時(shí)的概率為eq\f(1,2).因此元件1和元件2超過1000小時(shí)后至少有一個(gè)正常工作的概率為1－eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,4)，故所求概率為eq\f(3,4)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,8).【答案】eq\f(3,8)三、解答題9．(2022·湖南高考)某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組，他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,5).現(xiàn)支配甲組研發(fā)新產(chǎn)品A，乙組研發(fā)新產(chǎn)品B.設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立．(1)求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率；(2)若新產(chǎn)品A研發(fā)成功，估計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元；若新產(chǎn)品B研發(fā)成功，估計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬元．求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解】記E＝{甲組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，F(xiàn)＝{乙組研發(fā)新產(chǎn)品成功}，由題設(shè)知P(E)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(E,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)，P(F)＝eq\f(3,5)，P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,5).且大事E與F、E與eq\o(F,\s\up6(－))、eq\o(E,\s\up6(－))與F、eq\o(E,\s\up6(－))與eq\o(F,\s\up6(－))都相互獨(dú)立．(1)記H＝{至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功}，則eq\o(H,\s\up6(－))＝eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－))，于是P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝P(eq\o(E,\s\up6(－)))P(eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，故所求的概率為P(H)＝1－P(eq\o(H,\s\up6(－)))＝1－eq\f(2,15)＝eq\f(13,15).(2)設(shè)企業(yè)可獲利潤(rùn)為X萬元，則X的可能取值為0,100,120,220.因P(X＝0)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))eq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(2,15)，P(X＝100)＝P(eq\o(E,\s\up6(－))F)＝eq\f(1,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,15)，P(X＝120)＝P(Eeq\o(F,\s\up6(－)))＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，P(X＝220)＝P(EF)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)＝eq\f(6,15).故所求的分布列為X0100120220Peq\f(2,15)eq\f(3,15)eq\f(4,15)eq\f(6,15)數(shù)學(xué)期望為E(X)＝0×eq\f(2,15)＋100×eq\f(3,15)＋120×eq\f(4,15)＋220×eq\f(6,15)＝eq\f(300＋480＋1320,15)＝eq\f(2100,15)＝140.10．(2022·重慶高考)一盒中裝有9張各寫有一個(gè)數(shù)字的卡片，其中4張卡片上的數(shù)字是1,3張卡片上的數(shù)字是2,2張卡片上的數(shù)字是3.從盒中任取3張卡片．(1)求所取3張卡片上的數(shù)字完全相同的概率；(2)X表示所取3張卡片上的數(shù)字的中位數(shù)，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．(注：若三個(gè)數(shù)a，b，c滿足a≤b≤c，則稱b為這三個(gè)數(shù)的中位數(shù)．)【解】(1)由古典概型中的概率計(jì)算公式知所求概率為P＝eq\f(C\o\al(3,4)＋C\o\al(3,3),C\o\al(3,9))＝eq\f(5,84).(2)X的全部可能值為1,2,3，且P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,5)＋C\o\al(3,4),C\o\al(3,9))＝eq\f(17,42)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,4)C\o\al(