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文檔簡介

相交弦定理證明相交弦定理是任何兩個(gè)相交的弦乘積相等的定理。證明如下：假設(shè)在圓O內(nèi)有兩條相交弦AB和CD，它們交于點(diǎn)E。連接OA，OB，OC和OD。通過延長弦AB和CD，可以形成四個(gè)三角形：?OAE，?OBE，?OCE和?ODE。首先考慮?OAE和?OCE。由于這兩個(gè)三角形都有同一基線OE，所以可對它們應(yīng)用相似三角形的對應(yīng)角相等的性質(zhì)，得到∠OAE=∠OCE。因?yàn)樗鼈兌荚趫AO上，所以它們的對邊AE和CE也相等。因此，根據(jù)正弦定理，有：sin∠OAE/sin∠OCE=AE/CE同理，考慮?OBE和?ODE，由于這兩個(gè)三角形都有同一基線OE，所以可對它們應(yīng)用相似三角形的對應(yīng)角相等的性質(zhì)，得到∠OBE=∠ODE，因?yàn)樗鼈兌荚趫AO上，所以它們的對邊BE和DE也相等。因此，根據(jù)正弦定理，有：sin∠OBE/sin∠ODE=BE/DE將這兩個(gè)式子相乘，并應(yīng)用正弦乘積公式，有：sin∠OAE/sin∠OCE×sin∠OBE/sin∠ODE=(AE/CE)×(BE/DE)注意到∠OAE+∠OBE和∠OCE+∠ODE都為180度（因?yàn)樗鼈兌际欠聪蚧∷鶎?yīng)的角），所以可以使用余弦定理，將上式整理為：（AE×BE）/(CE×DE)=cos∠OAE×cos∠OBE因?yàn)辄c(diǎn)A，B，C和D都在圓O的周長上，所以AE，BE，CE和DE都是圓O的半徑r。另外，∠OAE和∠OBE的余弦可以使用細(xì)思恒性cos(∠OAE-∠OBE)=cos(∠OAE)cos(∠OBE)+sin(∠OAE)sin(∠OBE)來求解。因?yàn)槿呛愕仁?，所以它們的差為：cos(∠OAE-∠OBE)=cos∠OAE×cos∠OBE+sin∠OAE×sin∠OBE將這些結(jié)果代入式子中，有：(r×r)/(r×r)=cos(∠OAE-∠OBE)因此，有：cos(∠OAE-∠OBE)=1這意味著∠OAE-∠OBE=0度，也就是說∠OAE=∠OBE。因此，可以將余弦定理中的cos∠OAE和cos∠OBE替換為cos∠O.因此，最終的

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