【優(yōu)化方案】2021屆高中數學人教版高考復習知能演練輕松闖關-第七章第1課時

[基礎達標]1．(2022·高考湖南卷)某幾何體的正視圖和側視圖均如圖所示，則該幾何體的俯視圖不行能是()解析：選C．由于該幾何體的正視圖和側視圖相同，且上部分是一個矩形，矩形中間無實線和虛線，因此俯視圖不行能是C．2.(2022·廣東深圳市調研考試)沿一個正方體三個面的對角線截得的幾何體如圖所示，則該幾何體的側視圖為()解析：選B．依題意，側視圖中棱的方向是從左上角到右下角．3.用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊AB平行于y軸，BC、AD平行于x軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為()A．4cm2 B．4eq\r(2)cm2C．8cm2 D．8eq\r(2)cm2解析：選C．依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上下底面的長與BC、AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.4．(2022·浙江省名校聯考)一個簡潔幾何體的正視圖、俯視圖如圖所示，則其側視圖不行能為()A．正方形 B．圓C．等腰三角形 D．直角梯形解析：選D．當幾何體是一個長方體，其中一個側面為正方形時，A可能；當幾何體是橫放的一個圓柱時，B可能；當幾何體是橫放的三棱柱時，C可能．于是只有D不行能．5．以下四個命題：①正棱錐的全部側棱相等；②直棱柱的側面都是全等的矩形；③圓柱的母線垂直于底面；④用經過旋轉軸的平面截圓錐，所得的截面確定是全等的等腰三角形．其中，真命題的個數為()A．4 B．3C．2 D．1解析：選B．由正棱錐的定義可知全部側棱相等，故①正確；由于直棱柱的底面不愿定是正多邊形，故側面矩形不愿定全等，因此②不正確；由圓柱母線的定義可知③正確；結合圓錐軸截面的作法可知④正確．綜上，正確的命題有3個．6．如圖所示的Rt△ABC圍著它的斜邊AB旋轉一周得到的圖形是________．解析：過Rt△ABC的頂點C作線段CD⊥AB，垂足為D，所以Rt△ABC圍著它的斜邊AB旋轉一周后應得到是以CD作為底面圓的半徑的兩個圓錐的組合體．答案：兩個圓錐的組合體7．一正方體內接于一個球，經過球心作一個截面，則截面的可能圖形為__________(只填寫序號)．解析：當截面與正方體的某一面平行時，可得①，將截面旋轉可得②，連續(xù)旋轉，過正方體兩頂點時可得③，即正方體的對角面，不行能得④.答案：①②③8．長和寬分別相等的兩個矩形如圖所示．給定下列四個命題：①存在三棱柱，其正視圖、側視圖如圖；②存在四棱柱，其俯視圖與其中一個視圖完全一樣；③存在圓柱，其正視圖、側視圖如圖；④若矩形的長與寬分別是2和1，則該幾何體的最大體積為4.其中真命題的序號是________(寫出全部真命題的序號)．解析：①正確，將三棱柱正放時(三角形面為底面)能滿足要求；②不正確，俯視圖應當是正方形不是矩形；③正確，將圓柱正放(圓面為底面)滿足要求；④正確，當該幾何體是長方體時體積最大，最大體積為4.答案：①③④9．用一個平行于圓錐底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺的母線長．解：由底面積之比為1∶16，設圓臺的母線長為l，截得圓臺的上、下底面半徑分別為r、4r.依據相像三角形的性質得eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)，解得l＝9.所以，圓臺的母線長為9cm.10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面為正方形，PC與底面ABCD垂直，圖為該四棱錐的正視圖和側視圖，它們是腰長為6cm的全等的等腰直角三角形．(1)依據圖所給的正視圖、側視圖，畫出相應的俯視圖，并求出該俯視圖的面積；(2)求PA．解：(1)該四棱錐的俯視圖為(內含對角線)邊長為6cm的正方形，如圖，其面積為36cm2.(2)由側視圖可求得PD＝eq\r(PC2＋CD2)＝eq\r(62＋62)＝6eq\r(2)cm.由正視圖可知AD＝6cm，且AD⊥PD，所以在Rt△APD中，PA＝eq\r(PD2＋AD2)＝eq\r(（6\r(2)）2＋62)＝6eq\r(3)(cm)．[力氣提升]1.如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，O′C′＝2cm，則原圖形是()A．正方形 B．矩形C．菱形 D．一般的平行四邊形解析：選C．將直觀圖還原得?OABC，則O′D′＝eq\r(2)O′C′＝2eq\r(2)(cm)，OD＝2O′D′＝4eq\r(2)(cm)，C′D′＝O′C′＝2(cm)，∴CD＝2(cm)，OC＝eq\r(CD2＋OD2)＝eq\r(22＋（4\r(2)）2)＝6(cm)，OA＝O′A′＝6(cm)＝OC，故原圖形為菱形．2.(2022·江西九校聯考)如圖，三棱錐V-ABC的底面為正三角形，側面VAC與底面垂直且VA＝VC，已知其正視圖的面積為eq\f(2,3)，則其側視圖的面積為()A．eq\f(\r(3),2) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(\r(3),4) D．eq\f(\r(3),6)解析：選B．由題意知，該三棱錐的正視圖為△VAC，作VO⊥AC于O，連接OB，設底面邊長為2a，高VO＝h，則△VAC的面積為eq\f(1,2)×2a×h＝ah＝eq\f(2,3).又三棱錐的側視圖為Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝eq\r(3)a，所以側視圖的面積為eq\f(1,2)OB·OV＝eq\f(1,2)×eq\r(3)a×h＝eq\f(\r(3),2)ah＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(2,3)＝eq\f(\r(3),3).3．給出下列命題：①在正方體上任意選擇4個不共面的頂點，它們可能是正四周體的4個頂點；②底面是等邊三角形，側面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐；③若有兩個側面垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱．其中正確命題的序號是________．解析：①正確，正四周體是每個面都是等邊三角形的四周體，如正方體ABCD-A1B1C1D1中的四周體A-CB1D1；②錯誤，反例如圖所示，底面△ABC為等邊三角形，可令AB＝VB＝VC＝BC＝AC，則△VBC為等邊三角形，△VAB和△VCA均為等腰三角形，但不能判定其為正三棱錐；③錯誤，必需是相鄰的兩個側面．答案：①4．(2022·河北石家莊市質量檢測)如圖是兩個全等的正三角形，給定下列三個命題：①存在四棱錐，其正視圖、側視圖如圖；②存在三棱錐，其正視圖、側視圖如圖；③存在圓錐，其正視圖、側視圖如圖．其中真命題的個數是________．解析：對于①，存在斜高與底邊長相等的正四棱錐，其正視圖與側視圖是全等的正三角形．對于②，存在如圖所示的三棱錐S-ABC，底面為等腰三角形，其底邊AB的中點為D，BC的中點為E，側面SAB上的斜高為SD，且CB＝AB＝SD＝SE，頂點S在底面上的射影為AC的中點，則此三棱錐的正視圖與側視圖是全等的正三角形．對于③，存在底面直徑與母線長相等的圓錐，其正視圖與側視圖是全等的正三角形．答案：35．正四棱錐的底面邊長為2，側棱長均為eq\r(3)，其正視圖和側視圖是全等的等腰三角形，求正視圖的周長．解：由題意知，正視圖就是如圖所示的截面PEF，其中E、F分別是AD、BC的中點，連接AO，易得AO＝eq\r(2)，而PA＝eq\r(3)，于是解得PO＝1，所以PE＝eq\r(2)，故其正視圖的周長為2＋2eq\r(2).6．(選做題)已知正三棱錐V-ABC的正視圖、側視圖和俯視圖如圖所示．(1)畫出該三棱錐的直觀圖；(2)求出側視圖的面積．解：