赫爾德不等式

赫爾德不等式赫爾德不等式是數(shù)學(xué)中經(jīng)典的不等式之一，其名字來(lái)自于德國(guó)數(shù)學(xué)家ErnstLudwigHeLd(1844-1918)。赫爾德不等式被廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)、物理學(xué)、統(tǒng)計(jì)學(xué)、信息論等領(lǐng)域，是許多證明和推廣其他不等式的基礎(chǔ)。赫爾德不等式的形式為：對(duì)于任意的實(shí)數(shù)$x_1,x_2,...,x_n$和$y_1,y_2,...,y_n$，以及正實(shí)數(shù)$p_1,p_2,...,p_n$，滿(mǎn)足$\\sum_{i=1}^n|w_i|^p<∞$，則有：$$(\\sum_{i=1}^n|x_iy_i|)^p\\leq(\\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{\\frac{1}{p}}(\\sum_{i=1}^n|y_i|^p)^{\\frac{1}{p}}$$這個(gè)不等式的意義可以這樣理解：左邊的乘積是$x_i$和$y_i$的乘積的加和的$p$次方；右邊的乘積則是將$x_i$的$p$次方和$y_i$的$p$次方相加，并取它們的$p$次方根。赫爾德不等式的證明可以通過(guò)使用柯西-施瓦茨不等式來(lái)完成，從而得出左邊的乘積小于等于右邊的乘積。具體而言，我們可以寫(xiě)出：$(\\sum_{i=1}^n|x_iy_i|)^p=\\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n|x_iy_j|^p$$=\\sum_{i=1}^n\\sum_{j=1}^n|x_i|^p|y_j|^p\\frac{|x_iy_j|^{p-1}}{|x_iy_j|^{p-1}}$$\\leq(\\sum_{i=1}^n|x_i|^p\\frac{|x_iy_j|^{p-1}}{|x_iy_j|^{p-1}})^{\\frac{1}{p}}(\\sum_{j=1}^n|y_j|^p\\frac{|x_iy_j|^{p-1}}{|x_iy_j|^{p-1}})^{\\frac{1}{p}}$$=(\\sum_{i=1}^n|x_i|^p)^{\\frac{1}{p}}(\\sum_{j=1}^n|y_j|^p)^{\\frac{1}{p}}.$其中，第一步和第二步用到了加和展開(kāi)式，第三步則利用了柯西-施瓦茨不等式。赫爾德不等式的應(yīng)用非常廣泛，以下是幾個(gè)例子：1.證明向量?jī)?nèi)積的不等式設(shè)$n$維向量$x=(x_1,x_2,...,x_n)$和$y=(y_1,y_2,...,y_n)$，則有：$|<x,y>|\\leq\\sqrt{<x,x>}\\sqrt{<y,y>}$其中$<x,y>=\\sum_{i=1}^nx_iy_i$為$x$和$y$的內(nèi)積。這個(gè)不等式可以通過(guò)將$x_i$和$y_i$作為赫爾德不等式的$x_i$和$y_j$來(lái)證明。2.證明特判函數(shù)的平均值不超過(guò)某個(gè)值設(shè)$f_i(i=1,2,...,n)$是單調(diào)遞增的實(shí)函數(shù)，$f_n(x_1,x_2,...,x_n)$是對(duì)于任意的$x_1,x_2,...,x_n$都成立的不等式$a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n\\leqb$，其中$a_i$和$b$為常數(shù)。則有：$\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^nf_i(x_1,x_2,...,x_n)\\leqf_n(\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^nx_i,\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^nx_i,...,\\frac{1}{n}\\sum_{i=1}^nx_i)$這個(gè)不等式用到了凸函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合赫爾德不等式的思想完成了證明。3.證明柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式是赫爾德不等式的一個(gè)特例，用于證明兩個(gè)向量的內(nèi)積滿(mǎn)足：$|<x,y>|\\leq\\|x\\|\\|y\\|$其中$\\|x\\|=\\sqrt{<x,x>}$為向量$x$的模長(zhǎng)。利用赫爾德不等式，我們可以證明：$(\\sum_{i=1}^n|x_iy_i|)^2\