【同步備課】高中數(shù)學(北師大版)必修三教案：1.8-最小二乘估計-參考教案1

最小二乘估量教學目標：1、把握最小二乘法的思想2、能依據(jù)給出的線性回歸方程系數(shù)公式建立線性回歸方程教學重點：最小二乘法的思想教學難點：線性回歸方程系數(shù)公式的應用教學過程回顧：上節(jié)課我們爭辯了人的身高與右手一拃長之間的線性關系，用了很多種方法來刻畫這種線性關系，但是這些方法都缺少數(shù)學思想依據(jù)。問題1、用什么樣的線性關系刻畫會更好一些？想法：保證這條直線與全部點都近（也就是距離最?。?。最小二乘法就是基于這種想法。問題2、用什么樣的方法刻畫點與直線的距離會便利有效？設直線方程為y=a+bx，樣本點A（xi，yi）方法一、點到直線的距離公式方法二、明顯方法二能有效地表示點A與直線y=a+bx的距離，而且比方法一更便利計算，所以我們用它來表示二者之間的接近程度。問題3、怎樣刻畫多個點與直線的接近程度？例如有5個樣本點，其坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）與直線y=a+bx的接近程度：從而我們可以推廣到n個樣本點：（x1，y1），（x2，y2），…（xn，yn）與直線y=a+bx的接近程度：使得上式達到最小值的直線y=a+bx就是我們所要求的直線，這種方法稱為最小二乘法問題4、怎樣使達到最小值？先來爭辯3個樣本點的狀況設有3個點（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），則由最小二乘法可知直線y=a+bx與這3個點的接近程度由下面表達式刻畫：…①整理成為關于a的一元二次函數(shù)，如下所示：利用配方法可得從而當時，使得函數(shù)達到最小值。將代入①式，整理成為關于b的一元二次函數(shù)，同樣使用配方法可以得到，當時，使得函數(shù)達到最小值。從而得到直線y=a+bx的系數(shù)a，b，且稱直線y=a+bx為這3個樣本點的線性回歸方程。用同樣的方法我們可以推導出n個點的線性回歸方程的系數(shù)：其中由我們知道線性回歸直線y=a+bx肯定過。例題與練習例1在上一節(jié)練習中，從散點圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)（y）與當天氣溫（x）之間是線性相關的。數(shù)據(jù)如下表氣溫（xi）／oC261813104-1杯數(shù)（yi）／杯202434385064(1)試用最小二乘法求出線性回歸方程。(2)假如某天的氣溫是－3oC，請猜測可能會賣出熱茶多少杯。解：（1）先畫出其散點圖ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006－1641－64合計7023012861910可以求得則線性回歸方程為y=57.557－1.648x（2）當某天的氣溫是－3oC時，賣出熱茶的杯數(shù)估量為：練習1已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)如下表，則y與x的線性回歸方程y=a+bx必經過點 (D)x0123y1357（A）（2，2）（B）（1.5，0）（C）（1，2）（D）（1.5，4）練習2某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表：商店名稱ABCDE銷售額（x）/千萬元35679利潤額（y）/百萬元23345畫出銷售額和利潤額的散點圖；若銷售額和利潤額具有相關關系，計算利潤額y對銷售額x的回歸直線方程。解：（1）（2）數(shù)據(jù)如下表：ixiyixi2xiyi13296253251536336184744928595