《優(yōu)化探究》2022屆高三數(shù)學人教A版理科一輪復習提素能高效訓練-第8章-平面解析幾何-8-6

A組考點基礎演練一、選擇題1．(2021年洛陽模擬)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線x2－eq\f(y2,4)＝1的兩個焦點，過F1作垂直于x軸的直線與雙曲線相交，其中一個交點為P，則|PF2|＝()A．6 B．4C．2 D．1解析：由題意令|PF2|－|PF1|＝2a，由雙曲線方程可以求出|PF1|＝4，a＝1，所以|PF2|＝4＋2＝6.答案：A2．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的頂點恰好是橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1的兩個頂點，且焦距是6eq\r(3)，則此雙曲線的漸近線方程是()A．y＝±eq\f(1,2)x B．y＝±eq\f(\r(2),2)xC．y＝±eq\r(2)x D．y＝±2x解析：由題意知雙曲線中，a＝3，c＝3eq\r(3)，所以b＝3eq\r(2)，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x＝±eq\r(2)x.答案：C3．(2022年高考廣東卷)若實數(shù)k滿足0<k<9，則曲線eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與曲線eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1的()A．焦距相等 B．實半軸長相等C．虛半軸長相等 D．離心率相等解析：∵0<k<9，∴9－k>0,25－k>0.∴eq\f(x2,25)－eq\f(y2,9－k)＝1與eq\f(x2,25－k)－eq\f(y2,9)＝1均表示雙曲線，又25＋(9－k)＝34－k＝(25－k)＋9，∴它們的焦距相等，故選A.答案：A4．“m<8”是“方程eq\f(x2,m－10)－eq\f(y2,m－8)＝1表示雙曲線”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件解析：方程eq\f(x2,m－10)－eq\f(y2,m－8)＝1表示雙曲線，則(m－8)·(m－10)>0，解得m<8或m>10，故“m<8”是“方程eq\f(x2,m－10)－eq\f(y2,m－8)＝1表示雙曲線”的充分不必要條件，故選A.答案：A5．設雙曲線的一個焦點為F，虛軸的一個端點為B，假如直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3)＋1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)解析：設雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，不妨設一個焦點為F(c,0)，虛軸端點為B(0，b)，則kFB＝－eq\f(b,c).又漸近線的斜率為±eq\f(b,a)，所以由直線垂直關系得－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,c)))·eq\f(b,a)＝－1(－eq\f(b,a)明顯不符合)，即b2＝ac，又c2－a2＝b2，所以c2－a2＝ac，兩邊同除以a2整理得e2－e－1＝0，解得e＝eq\f(\r(5)＋1,2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)．答案：D二、填空題6．(2021年海淀模擬)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一條漸近線為y＝2x，則雙曲線的離心率為________．解析：由題意知eq\f(b,a)＝2，得b＝2a，c＝eq\r(5)a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).答案：eq\r(5)7．雙曲線mx2＋y2＝1的虛軸長是實軸長的2倍，則m＝________.解析：由題意知a2＝1，b2＝－eq\f(1,m)，則a＝1，b＝eq\r(－\f(1,m)).∴eq\r(－\f(1,m))＝2，解得m＝－eq\f(1,4).答案：－eq\f(1,4)8．(2022年高考浙江卷)設直線x－3y＋m＝0(m≠0)與雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別交于點A，B.若點P(m,0)滿足|PA|＝|PB|，則該雙曲線的離心率是________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋m＝0，,y＝\f(b,a)x))得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(am,3b－a)，\f(bm,3b－a)))，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y＋m＝0，,y＝－\f(b,a)x，))得Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(am,3b＋a)，\f(bm,3b＋a)))，則線段AB的中點為Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2m,9b2－a2)，\f(3b2m,9b2－a2))).由題意得PM⊥AB，∴kPM＝－3，得a2＝4b2＝4c2－4a2，故e2＝eq\f(5,4)，∴e＝eq\f(\r(5),2).答案：eq\f(\r(5),2)三、解答題9．求適合下列條件的雙曲線方程．(1)焦點在y軸上，且過點(3，－4eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5)).(2)已知雙曲線的漸近線方程為2x±3y＝0，且雙曲線經過點P(eq\r(6)，2)．解析：(1)設所求雙曲線方程為my2－nx2＝1(m>0，n>0)，則由于點(3，－4eq\r(2))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，5))在雙曲線上，所以點的坐標滿足方程，由此得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(32m－9n＝1，,25m－\f(81,16)n＝1.))解方程組得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,16)，,n＝\f(1,9).))故所求雙曲線方程為eq\f(y2,16)－eq\f(x2,9)＝1.(2)由雙曲線的漸近線方程y＝±eq\f(2,3)x，可設雙曲線方程為eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝λ(λ≠0)．∵雙曲線過點P(eq\r(6)，2)，∴eq\f(6,9)－eq\f(4,4)＝λ，λ＝－eq\f(1,3)，故所求雙曲線方程為eq\f(3,4)y2－eq\f(1,3)x2＝1.10．直線l：y＝eq\r(3)(x－2)和雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)交于A，B兩點，且|AB|＝eq\r(3)，又l關于直線l1：y＝eq\f(b,a)x對稱的直線l2與x軸平行．(1)求雙曲線C的離心率；(2)求雙曲線C的方程．解析：(1)設雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1過一、三象限的漸近線l1：eq\f(x,a)－eq\f(y,b)＝0的傾斜角為α.由于l和l2關于l1對稱，記它們的交點為P，l與x軸的交點為M.而l2與x軸平行，記l2與y軸的交點為Q.依題意有∠QPO＝∠POM＝∠OPM＝α.又l：y＝eq\r(3)(x－2)的傾斜角為60°，則2α＝60°，所以tan30°＝eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3).于是e2＝eq\f(c2,a2)＝1＋eq\f(b2,a2)＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)，所以e＝eq\f(2\r(3),3).(2)由于eq\f(b,a)＝eq\f(\r(3),3)，于是設雙曲線方程為eq\f(x2,3k2)－eq\f(y2,k2)＝1(k≠0)，即x2－3y2＝3k2.將y＝eq\r(3)(x－2)代入x2－3y2＝3k2中，得x2－3×3(x－2)2＝3k2.化簡得到8x2－36x＋36＋3k2＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(1＋3)|x1－x2|＝2eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝2eq\f(\r(362－4×8×36＋3k2),8)＝eq\r(9－6k2)＝eq\r(3)，求得k2＝1.故所求雙曲線方程為eq\f(x2,3)－y2＝1.B組高考題型專練1．(2022年大連雙基考試)已知雙曲線C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的焦點為F1，F(xiàn)2，且C上的點P滿足eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，|eq\o(PF1,\s\up6(→))|＝3，|eq\o(PF2,\s\up6(→))|＝4，則雙曲線C的離心率為()A.eq\f(\r(10),2) B.eq\r(5)C.eq\f(5,2) D．5解析：由雙曲線的定義可得2a＝||eq\o(PF2,\s\up6(→))|－|eq\o(PF1,\s\up6(→))||＝1，所以a＝eq\f(1,2)；由于eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(PF1,\s\up6(→))⊥eq\o(PF2,\s\up6(→))，所以(2c)2＝|eq\o(PF1,\s\up6(→))|2＋|eq\o(PF2,\s\up6(→))|2＝25，解得c＝eq\f(5,2).所以此雙曲線的離心率為e＝eq\f(c,a)＝5.故D正確．答案：D2．(2022年高考新課標全國卷Ⅰ)已知F為雙曲線C：x2－my2＝3m(m>0)的一個焦點，則點F到CA.eq\r(3) B．3C.eq\r(3)m D．3m解析：由題意，可得雙曲線C為eq\f(x2,3m)－eq\f(y2,3)＝1，則雙曲線的半焦距c＝eq\r(3m＋3).不妨取右焦點(eq\r(3m＋3)，0)，其漸近線方程為y＝±eq\f(1,\r(m))x，即x±eq\r(m)y＝0.所以由點到直線的距離公式得d＝eq\f(\r(3m＋3),\r(1＋m))＝eq\r(3).故選A.答案：A3．P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1右支上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，且焦距為2c，則△PF1F2的內切圓圓心的橫坐標是()A．a B．bC．c D．a＋b－c解析：如圖，內切圓圓心M到各邊的距離分別為MA，MB，MC，切點分別為A，B，C，由三角形的內切圓的性質則有：|CF1|＝|AF1|，|AF2|＝|BF2|，|PC|＝|PB|，∴|PF1|－|PF2|＝|CF1|－|BF2|＝|AF1|－|AF2|＝2a，又|AF1|＋|AF2|＝2c，∴|AF1|＝a＋c，則|OA|＝|AF1|－|OF1|＝a.∵M的橫坐標和A的橫坐標相同，答案為A.答案：A4．(2022年福州質檢)已知F1，F(xiàn)2是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦點，若雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線y＝eq\f(b,a)x對稱，則該雙曲線的離心率為()A.eq\f(\r(5),2) B.eq\r(5)C.eq\r(2) D．2解析：由題意可知雙曲線左支上存在一點P與點F2關于直線y＝eq\f(bx,a)對稱，則PF1⊥PF2.又eq\f(|PF2|,|PF1|)＝eq\f(b,a)，聯(lián)立|PF2|－|PF1|＝2a，|PF2|2＋|PF1|2＝(2c)2，可得b3＋a2b＝2c2a.所以b＝2a，e＝eq\r(5).故選B.答案：B5．已知F1，F(xiàn)2為雙曲線eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1的左、右焦點，P(3,1)為雙曲線內一點，點A在雙曲線上，則|AP|＋|AF2|的最小值為()A.eq\r(37)＋4 B.eq\r(37)－4C.eq\r(37)－2eq\r(5) D.eq\r(37)＋2eq\r(5)解析：|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a，要求|AP|＋|AF2|的最小值，只需求|AP|＋|AF1|的最小值，當A，P，F(xiàn)1三點共線時，取得最小值，則|AP|＋|AF1|＝|PF1|＝eq\r(37)，∴|AP|＋|AF2|＝|AP|＋|AF1|－2a＝eq\r(37)－2eq\r(5).答案：C6．設點P是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)與圓x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線的左、右焦點，且|PF1|＝3|PF2|，則雙曲線的離心率為________．解析：由于a2＋b2＝c2，所以圓x2＋y2＝a2＋b2即為x2＋y2＝c2，因此該圓與x軸的交點就是雙曲線的兩個焦點，而點P是圓與雙曲線在第一象限的交點，所以PF1⊥PF2，即(|PF1|)2＋(|PF2|)2＝(2c)2，而|PF1|＝3|PF2|，所以|PF1|＝eq\f(3\r(10),5)c，|PF2|＝eq\f(\r(10),5)c，又由雙曲線的定義得|PF1|－|PF2|＝2a，所以eq\f(3\r(10),5)c－eq\f(\r(10),5)c＝2a，即eq\f(2\r(10),5)c＝2a，于是e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(10),2).答案：eq\f(\r(10),2)7．(2021年南昌模擬)已知雙曲線C：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1的右焦點為F，過F的直線l與C交于兩點A、B，|AB|＝5，則滿足條件的直線l的條數(shù)為________．解析：(1)若A，B兩點都在右支上，當AB垂直于x軸時，∵a2＝4，b2＝5，c2＝9，∴F(3,0)，∴直線AB的方程為x＝3.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，,\f(x2,4)－\f(y2,5)＝1，))得y＝±eq\f(5,2).∴|AB|＝5，滿足題意．(2)若A，B兩點分別在兩支上，∵a＝2，∴兩頂點間的距離為2a＝4<5.∴滿足|AB|＝5的直線有兩條，且關于x軸對稱．綜上，滿足題意的直線有3條．答案：38．(2022年高考福建卷)已知雙曲線E：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的兩條漸近線分別為l1：y＝2x，l2：y＝－2x.(1)求雙曲線E的離心率．(2)如圖，O為坐標原點，動直線l分別交直線l1，l2于A，B兩點(A，B分別在第一、四象限)，且△OAB的面積恒為8.摸索究：是否存在總與直線l有且只有一個公共點的雙曲線E？若存在，求出雙曲線E的方程；若不存在，說明理由．解析：(1)由于雙曲線E的漸近線分別為y＝2x，y＝－2x，所以eq\f(b,a)＝2，所以eq\f(\r(c2－a2),a)＝2，故c＝eq\r(5)a，從而雙曲線E的離心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(5).(2)由(1)知，雙曲線E的方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,4a2)＝1.設直線l與x軸相交于點C.當l⊥x軸時，若直線l與雙曲線E有且只有一個公共點，則|OC|＝a，|AB|＝4a，又由于△OAB的面積為8，所以eq\f(1,2)|OC|·|AB|＝8，因此eq\f(1,2)a·