平面向量典型題型大全完美

高中數(shù)學(xué)講義韓立波數(shù)學(xué)微信：hlb183547730平面向量題型1.基本概念判斷正誤：向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來表示，注意不能說向量就是有向線段，為什么？（向量可以平移）。如已知A（1,2），B（4,2），則把向量按向量＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0））（2）零向量：長度為0的向量叫零向量，記作：，注意零向量的方向是任意的；（3）單位向量：長度為一個單位長度的向量叫做單位向量(與共線的單位向量是)；（4）相等向量：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5）平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：∥，規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；②兩個向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個概念：兩個向量平行包含兩個向量共線,但兩條直線平行不包含兩條直線重合；③平行向量無傳遞性?。ㄒ驗橛?；④三點共線共線；（6）相反向量：長度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。例1、下列命題：（1）若，則。（2）兩個向量相等的充要條件是它們的起點相同，終點相同。（3）若，則是平行四邊形。（4）若是平行四邊形，則。（5）若，則。（6）若，則。其中正確的是_______練習(xí)1、下列命題正確的有______________（1）共線向量就是在同一條直線上的向量。（2）若兩個向量不相等，則它們的終點不可能是同一點。（3）與已知向量共線的單位向量是唯一的。（4）若，則A、B、C、D四點構(gòu)成平行四邊形。（5）直角坐標(biāo)平面上的軸、軸都是向量。（6）相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；（7）若與共線，與共線，則與共線。（8）若，則。（9）若，則。（10）若與不共線，則與都不是零向量。（11）若，則。（12）若與均為非零向量，，則。2.給出命題（1）零向量的長度為零，方向是任意的.（2）若，都是單位向量，則＝.（3）向量與向量相等.（4）若非零向量與是共線向量，則，，，四點共線.以上命題中，正確命題序號是A.（1）B.（2）C.（1）和（3）D.（1）和（4）3、（福建理4文8）對于向量，a、b、c和實數(shù)QUOTE錯誤!未找到引用源。，下列命題中真命題是A若QUOTE錯誤!未找到引用源。，則a＝0或b＝0B若QUOTE錯誤!未找到引用源。，則λ＝0或a＝0C若QUOTE錯誤!未找到引用源。＝QUOTE錯誤!未找到引用源。，則a＝b或a＝－bD若QUOTE錯誤!未找到引用源。，則b＝c4、（浙江理7）若非零向量滿足，則（）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．5.（陜西卷15）關(guān)于平面向量．有下列三個命題：①若，則．②若，，則．③非零向量和滿足，則與的夾角為．其中真命題的序號為．（寫出所有真命題的序號）題型2.向量的線性運算①向量加法：利用“平行四邊形法則”進行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之外，向量加法還可利用“三角形法則”：設(shè)，那么向量叫做與的和，即；②向量的減法：用“三角形法則”：設(shè)，由減向量的終點指向被減向量的終點。注意：此處減向量與被減向量的起點相同。例2化簡：①___；②____；③_____（2）若正方形的邊長為1，，則＝_____（3）若O是所在平面內(nèi)一點，且滿足，則的形狀為_（4）若為的邊的中點，所在平面內(nèi)有一點，滿足，設(shè)，則的值為___（5）若點是的外心，且，則的內(nèi)角為____練習(xí)：1.設(shè)表示“向東走8km”,表示“向北走6km”,則。2.化簡=_______;=________；_3.已知,,則的最大值和最小值分別為、。4.已知的和向量，且，則，。5.已知點C在線段AB上，且,則，。6．已知向量反向，下列等式中成立的是 （） A． B．C． D．7計算：（1）（2）8.已知求與垂直的單位向量的坐標(biāo)。9．與向量=（12，5）平行的單位向量為（）A．B．C．D．10．如圖，D、E、F分別是ABC邊AB、BC、CA上的中點，則下列等式中成立的有_________：① ②③ ④11.(2009山東卷理)設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，，則（）A.B.C.D.12.(05年卷二)已知點，，．設(shè)的平分線與相交于，那么有，其中等于（）A.2B.C.-3D.－13.(2006年山東卷）設(shè)向量a=(1,－3),b=(－2,4),c=(－1,－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c),d的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為()A.(2,6)B.(－2,6)C.(2,－6)D.(－2,－6)14.（2009湖南卷文）如圖2，兩塊斜邊長相等的直角三角板拼在一起，若，則，.圖215、已知是所在平面內(nèi)一點為邊中點且那么（）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．題型3平面向量基本定理平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)、，使a=e1＋e2。性質(zhì)：向量中三終點共線存在實數(shù)使得且.例3若，則______下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是A.B.C.D.已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為已知中，點在邊上，且，，則的值是___題型8投影問題在上的投影為，它是一個實數(shù)，但不一定大于0。例：已知，，且，則向量在向量上的投影為______已知，的夾角，則向量在向量上的投影為3．關(guān)于且，有下列幾種說法：①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥其中正確的個數(shù)是（）（A）4個（B）3個（C）2個（D）1個5．若=，=，則在上的投影為________________。6、.已知點A（－1，1）、B（1,2）、C（－2,1）、D（3,4），則向量在方向上的投影為題型9.向量的平行與垂直向量平行(共線)的充要條件：＝0。向量垂直的充要條件：例9若向量，當(dāng)＝_____時與共線且方向相同（2）已知，，，且，則x＝______（3）設(shè)，則k＝_____時，A,B,C共線（4)已知，若，則（5）以原點O和A(4,2)為兩個頂點作等腰直角三角形OAB，，則點B的坐標(biāo)是________（6）已知向量，且，則的坐標(biāo)是________練習(xí)1.已知，，當(dāng)為何值時，（1）？（2）？2.（廣東卷3）已知平面向量，，且//，則＝（）A、B、C、D、3.（2011海南卷5）已知平面向量=（1，－3），=（4，－2），與垂直，則是（）A.－1 B.1 C.－2 D.24．已知,,當(dāng)為何值時，（1）與垂直？（2）與平行？平行時它們是同向還是反向？5.已知，，，求證：三點共線。6如果，，，求證，，三點共線．7.設(shè)是兩個不共線的向量，，若A、B、D三點共線，求k的值.8.已知向量，（1）求證：2）是否存在不為0的實數(shù)和，使，且？如果存在，試確定與的關(guān)系；如果不存在，請說明理由10、【2012高考陜西文7】設(shè)向量=（1.）與=（-1，2）垂直，則等于（）ABC.0D.-111．設(shè)，，且，則銳角為（）A．B．C．D．12.（2011廣東卷理）已知向量與互相垂直，其中．（1）求和的值；（2）若，求的值．13、平面向量，共線的充要條件是（）A.，方向相同 B.，兩向量中至少有一個為零向量 C.， D.存在不全為零的實數(shù)，，14．對于非零向量“”是“”的【A】A．充分不必要條件B.必要不充分條件C．充分必要條件D.既不充分也不必要條件15.（寧夏海南卷文）已知，向量與垂直，則實數(shù)的值為（A）（B）（C）（D）16.（江西卷）已知向量，，，若則=．17.（江西卷理）已知向量，，，若∥，則=．18.（重慶卷）已知向量若與平行，則實數(shù)的值是（）A．-2 B．0 C．1 D．219、.在四邊形中，，,則該四邊形的面積為（）A.B.C.5D.1020、已知點A．B．C．D．題型10平面向量與三角形四心四心的概念介紹（1）重心——中線的交點：重心將中線長度分成2：1；（2）垂心——高線的交點：高線與對應(yīng)邊垂直；（3）內(nèi)心——角平分線的交點（內(nèi)切圓的圓心）：角平分線上的任意點到角兩邊的距離相等；（4）外心——中垂線的交點（外接圓的圓心）：外心到三角形各頂點的距離相等。結(jié)論1為的重心；若，則其重心的坐標(biāo)為結(jié)論2為的垂心；結(jié)論3設(shè),,是三角形的三條邊長，O是ABC的內(nèi)心為的內(nèi)心.向量所在直線過的內(nèi)心(是的角平分線所在直線)；結(jié)論4為的外心。例10.若⊿ABC的三邊的中點分別為（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），則⊿ABC的重心的坐標(biāo)為_______例11：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心例12：（全國卷理4）是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（B）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心例13：是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，動點滿足，，則點的軌跡一定通過的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心練習(xí)：1．已知三個頂點及平面內(nèi)一點，滿足，若實數(shù)滿足：，則的值為（）A．2B．C．3D．62．若的外接圓的圓心為O，半徑為1，，則()A．B．0C．1D．3．點在內(nèi)部且滿足，則面積與凹四邊形面積之比是（）A．0B．C．D．4．的外接圓的圓心為O，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心5．是平面上一定點，是平面上不共線的三個點，若，則是的（）A．外心B．內(nèi)心C．重心D．垂心6．的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數(shù)m=7．（06陜西）已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足(eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)+eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|))·eq\o(BC,\s\up6(→))=0且eq\f(\o(AB,\s\up5(→)),|\o(AB,\s\up5(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up5(→)),|\o(AC,\s\up5(→))|)=eq\f(1,2),則△ABC為()A．三邊均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰非等邊三角形D．等邊三角形8．已知三個頂點，若，則為（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形AGEFCBD9如圖，中，分別是的中點，為交點，若=，=，試以，為基底表示。AGEFCBD10.已知O，N，P在所在平面內(nèi)，且，且，則點O，N，P依次是的（）（A）重心外心垂心（B）重心外心內(nèi)心（C）外心重心垂心（D）外心重心內(nèi)心11已知非零向量則△ABC為（） A．等邊三角形 B．等腰非直角三角形 C．非等腰三角形 D．等腰直角三角形12.點P滿足,當(dāng)在(0,+)變化時,動點P的軌跡一定過ABC的_____心13.（2009陜西卷文）在中,M是BC的中點，AM=1,點P在AM上且滿足則等于（A）（B）（C）(D)14、（全國2理12）設(shè)F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若=0，則|FA|+|FB|+|FC|=(A)9 (B) 6 (C) 4 (D)3題型11建系法1、.（2009安徽卷文）在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，或=+，其中，R，則+=_________。2.（廣東卷8）在平行四邊形中，與交于點是線段的中點，的延長線與交于點．若，，則（）A． B． C． D．3、若等邊的邊長為平面內(nèi)一點滿足則______4、已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c=0，則t=__.5、已知正方形ABCD的邊長為2，E為CD的中點，則=_____.6、已知向量與的夾角為，且若且,則實數(shù)的值為7、設(shè)分別是的邊上的點，，，若（為實數(shù)），則的值為8、設(shè)是邊上一定點，滿足，且對于邊上任一點，恒有。則A.B.C.D.9、向量在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若，則_____。10、在平行四邊形ABCD中,AD=1,,E為CD的中點.若,則AB的長為.最新高考題集錦1、[2014·遼寧卷]設(shè)a，b，c是非零向量，已知命題p：若a·b＝0，b·c＝0，則a·c＝0，命題q：若a∥b，b∥c，則a∥c，則下列命題中真命題是()A．p∨qB．p∧qC．(p)∧(q)D．p∨(q)2．[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅰ]已知A，B，C為圓O上的三點，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))的夾角為3．[2014·四川卷]平面向量a＝(1，2)，b＝(4，2)，c＝ma＋b(m∈R)，且c與a的夾角等于c與b的夾角，則m＝()A．－2B．－1C．1D．24．[2014·重慶卷]已知向量a＝(k，3)，b＝(1，4)，c＝(2，1)，且(2a－3b)⊥c，則實數(shù)k＝()A．－eq\f(9,2)B．0C．3D.eq\f(15,2)5．[2014·福建卷]在下列向量組中，可以把向量a＝(3，2)表示出來的是()A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，－2)C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2，3)6、[2014·山東卷]已知向量a＝(m，cos2x)，b＝(sin2x，n)，函數(shù)f(x)＝a·b，且y＝f(x)的圖像過點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)，\r(3)))和點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)，－2)).(1)求m，n的值；(2)將y＝f(x)的圖像向左平移φ(0＜φ＜π)個單位后得到函數(shù)y＝g(x)的圖像，若y＝g(x)圖像上各最高點到點(0，3)的距離的最小值為1，求y＝g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間．7．[2014·陜西卷]設(shè)0<θ<eq\f(π,2)，向量a＝(sin2θ，cosθ)，b＝(cosθ，1)，若a∥b，則tanθ＝________．8、[2014·陜西卷]在直角坐標(biāo)系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，點P(x，y)在△ABC三邊圍成的區(qū)域(含邊界)上．(1)若eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|；(2)設(shè)eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．9．[2014·北京卷]已知向量a，b滿足|a|＝1，b＝(2，1)，且λa＋b＝0(λ∈R)，則|λ|＝________．10．[2014·湖北卷]設(shè)向量a＝(3，3)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a－λb)，則實數(shù)λ＝________．11．[2014·江西卷]已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cosα＝eq\f(1,3)，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cosβ＝________．12．[2014·全國卷]若向量a，b滿足：＝1，(a＋b)⊥a，(＋b)⊥b，則|＝()A．2B.eq\r(2)C．1D.eq\f(\r(2),2)13．[2014·新課標(biāo)全國卷Ⅱ]設(shè)向量a，b滿足|a＋b|＝eq\r(10)，|a－b|＝eq\r(6)，則＝()A．1B．2C．3D．514[2014·山東卷]在△ABC中，已知eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝tanA，當(dāng)A＝eq\f(π,6)時，△ABC的面積為______．15．[2014·天津卷]已知菱形ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F(xiàn)分別在邊BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝1，eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(C