平行四邊形知識點與經典例題-2

第頁平行四邊形基礎知識平行四邊形平行四邊形矩形菱形正方形等腰梯形定義有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形。有一個角是直角的平行四邊形是矩形。有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。有一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形。兩腰相等的梯形是等腰梯形。性質1、對邊平行且相等。2、對角相等，鄰角互補。3、對角線互相平分1、四個角都是直角。2、對角線相等。1、四條邊都相等。2、兩條對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角。具有平行四邊形、矩形、菱形的所有特征。1、兩腰相等兩底平行2、同一底上的兩角相等3、兩條對角線相等判定1、定義：2、判定定理：（1）兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。（2）兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。（3）一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。（4）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。1、定義：2、判定定理：（1）對角線相等的平行四邊形是矩形。（2）有三個角是直角的四邊形是矩形。1、定義：2、判定定理：（1）一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。（2）對角線互相垂直的四邊形是菱形。1、先證明是矩形再證明一組鄰邊相等。2、先證明是菱形再證一個角是直角。1、定義：先判斷是梯形在證明兩腰相等。2、同一底上的兩個角相等的梯形是等腰梯形。3、對角線相等的梯形是等腰梯形。對稱性軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形軸對稱圖形二、1、三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三遍的一半。2、由矩形的性質得到直角三角形的一個性質：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。三、例題（圖1）CAB（圖1）CABDEFOOABCDEF（圖2）例2、如圖2，矩形ABCD中，AC與BD交于O點，BE⊥AC于E，CF⊥BD于F.求證：BE=CF.例3、已知：如圖3，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，點E、F分別在AB、CD上，且BE=2EA，CF=2FD.求證：∠BEC=∠CFB.ABABCD圖3EF例4、如圖6，E、F分別是平行四邊形ABCD的AD、BC邊上的點，且AE=CF.ADADBCEF(圖6)MN（2）若M、N分別是BE、DF的中點，連結MF、EN，試判斷四邊形MFNE是怎樣的四邊形，并證明你的結論.例5、如圖7的對角線AC的垂直平分線與邊AD，BC分別相交于點E，F(xiàn).，求證：四邊形AFCE是菱形.圖7圖7ABCDEFO例6、如圖8，四邊形ABCD是平行四邊形，O是它的中心，E、F是對角線AC上的點.（1）如果，則△DEC≌△BFA（請你填上一個能使結論成立的一個條件）；（2）證明你的結論.圖8圖8BCDAEFAABCD圖9EGOF例7、如圖9，已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，對角線AC和BD相交于點O，E是BC邊上一個動點（點E不與B、C兩點重合），EF∥BD交AC于點F，EG∥AC交BD于點C.（1）求證：四邊形EFOG的周長等于2OB；（2）請你將上述題目的條件“梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC”改為另一種四邊形，其他條件不變，使得結論，“四邊形EFOG的周長等于2OB”仍成立，并將改編后的題目畫出圖形，寫出已知、求證、不必證明.備用圖（1）備用圖（1）備用圖（2）圖13例8、有一塊梯形形狀的土地，現(xiàn)要平均分給兩個農戶種植（即將梯形的面積兩等分），試設計兩種方案（平分方案畫在備用圖13(1)、(2)上），并給予合理的解釋.ABCDMNE(第6題)6.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，ABCDMNE(第6題)（1）求證：四邊形ADCE為矩形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明．7.如圖，四邊形ABCD中，一組對邊AB=DC=4，另一組對邊AD≠BC，對角線BD與邊DC互相垂直，M、N、H分別是AD、BC、BD的中點，且∠ABD=30°求：（1）MH的長（2）MN的長。8.如圖所示，在△ABC中，∠BAC=90°,AD⊥B,BE平分∠ABC,EF∥BC,那么AE=CF嗎？證明你的結論。9.如圖，ABCD是正方形，CE∥BD，BE＝BD，BE交DC于點F，求證：（1）∠BEC＝30°（2）DE＝DF10.如圖，在正方形ABCD中，P為對角線BD上一點，PE⊥BC，垂足為E，PF⊥CD，垂足為F，求證：EF＝AP11.如圖，四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點P，過點P作直線交AD于點E,交BC于點F。若PE=PF,且AP+AE=CP+CF（1）求證：PA=PC;（2）若AD=12,AB=15,∠DAB=60°,求四邊形ABCD的面積.10．如圖所示，已知在□ABCD中，E，F(xiàn)分別是AD，BC的中點，求證：MN∥BC．11．已知：如圖，E為□ABCD中DC邊的延長線上的一點，且CE＝DC，連結AE分別交BC、BD于點F、G，連結AC交BD于O，連結OF．求證：AB＝2OF．12.如圖，在矩形ABCD中，AD=8cm，AB=6cm，點A處有一動點E以1cm∕s的速度由點A向點B運動，同時點C處也有一動點F以2cm∕s的速度由點C向點D運動，設運動的時間為x（s），四邊形EBFD的面積為y（cm2），求y與x的函數(shù)關系式及自變量x的取值范圍。21，如圖16，已知四邊形ABCD是平行四邊形，∠BCD的平分線CF交邊AB于F，∠ADC的平分線DG交邊AB于G.（1）線段AF與GB相等嗎？圖16（2）請你在已知條件的基礎上再添加一個條件，使得△EFG為等腰直角三角形,并說明理由.圖16圖17O圖17OFDBECA·圖1822，如圖17，已知□ABCD中，E為AD的中點，CE的延長線交BA的延長線于點E.（1）試說明線段CD與FA相等的理由；（2）若使∠F＝∠BCF，□ABCD的邊長之間還需再添加一個什么條件？請你補上這個條件，并說明你的理由(不要再增添輔助線).23，如圖，已知平行四邊形中，對角線交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，求證：四邊形是正方形．EECDBAO24，已知：如圖19，四邊形ABCD是菱形，E是BD延長線上一點，F(xiàn)是DB延長線上一點，且DE＝BF.請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只須證明一組線段相等即可）.（1）連結____________；（2）猜想：______=______；（3）證明：25，如圖20，已知正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，E是AC上一點，連結EB，過點A作AM⊥BE，垂足為M，AM交BD于點F.(1)試說明OE＝OF；OC圖19DABEF圖21EFOCMDAB圖20EMFCODBA(2)如圖21，若點E在AC的延長線上，OC圖19DABEF圖21EFOCMDAB圖20EMFCODBA13.如圖在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,動點P從A開始沿AD邊向D以1cm/s的速度運動,動點Q從C開始沿CB向B以3cm/s的速度運動,P,Q分別從點A,C同時出發(fā),當其中一點到達端點時,另一點也隨之停止運動,設運動的時間t,t分別為何值時,四邊形PQCD為平行四邊形,等腰梯形?AABQCDP14APBDDQC已知：如圖，在直角梯形ABCD中，∠APBDDQC.在△ABC中，借助作圖工具可以作出中位線EF，沿著中位線EF一刀剪切后，用得到的△AEF和四邊形EBCF可以拼接成平行四邊形EBCP，接切線與拼圖過程如圖所示，依照上述方法，安要求完成下列操作設計，并畫出圖形說明。（1）在△ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成矩形。（2）在△ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成菱形。（3）在△ABC中，增加條件，沿著一刀剪切后可以拼成正方形。（4）在△ABC（AB≠AC）中，一刀剪切后也可以拼接成等腰梯形，畫出切線與拼圖示意圖。15如圖把一個正方形割去四分之一，將余下的部分分成3個全等的圖形（圖甲）；將余下的部分分成4個全等的圖形（圖已）仿照示例，請你將一個正三角形割去四分之一后余下的部分。（1）分成3個全等的圖形（在圖一中畫出示意圖）；（2）分成四個全等的圖形（在圖二中畫出示意圖）；（3）你還能利用所得的4個全等的圖形拼成一個平行四邊形嗎？若能，畫出大致的示意圖。16.如圖是王大爺?shù)囊粔K四邊形菜地，在A處有一口井，王大爺要想從A處引一條筆直的水渠，且這條筆直的水渠將四邊形菜地分成面積相等的兩部分.請你為王大爺設計一條引水渠的方案，畫出圖形,并簡要寫出作圖的主要步驟.解:作圖步驟：17.(1)如圖25-1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD.求證:EF＝BE＋FD;(2)如圖25-2在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF=∠BAD,(1)中的結論是否仍然成立？不用證明.(3)如圖25-3在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD,(1)中的結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關系，并證明.18.將邊長OA=8，OC=10的矩形放在平面直角坐標系中，頂點O為原點，頂點C、A分別在軸和y軸上.在、OC邊上選取適當?shù)狞c、F，連接EF，將△EOF沿EF折疊，使點落在邊上的點處．圖①圖②圖③（1）如圖①，當點F與點C重合時，OE的長度為；（2）如圖②，當點F與點C不重合時，過點D作DG∥y軸交EF于點，交于點.求證：EO=DT；（3）在（2）的條件下，設，寫出與之間的函數(shù)關系式為，自變量的取值范圍是；（4）如圖③，將矩形變?yōu)槠叫兴倪呅?，放在平面直角坐標系中，且OC=10，OC邊上的高等于8，點F與點C不重合，過點D作DG∥y軸交EF于點，交于點，求出這時的坐標與之間的函數(shù)關系式（不求自變量的取值范圍）．19.(1)如圖10－1所示，BD,CE分別是△ABC的外角平分線，過點A作AF⊥BD,AG⊥CE,垂足分別為F，G，連結FG，延長AF,AG，與直線BC分別交于點M、N，那么線段FG與△ABC的周長之間存在的數(shù)量關系是什么？即：FG＝（AB＋BC+AC）（直接寫出結果即可）（2）如圖10－2，若BD，CE分別是△ABC的內角平分線；其他條件不變，線段FG與ΔABC三邊之間又有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并給予證明．（3）如圖10－3，若BD為△ABC的內角平分線，CE為△A