2021屆高考數(shù)學(xué)解答題挑戰(zhàn)滿分專項(xiàng)13 回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)（理）（解析版）

2021屆高考數(shù)學(xué)（理）解答題挑戰(zhàn)滿分專項(xiàng)

專題L3回歸分析、獨(dú)立性檢驗(yàn)

考向解讀

（1）頻率分布直方圖、莖葉圖、平均數(shù)、方差，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望仍然

是考查的熱點(diǎn)，同時應(yīng)注意和概率、平均數(shù)、分布列，期望，二項(xiàng)分布，正態(tài)分布等知識的

結(jié)合，同時應(yīng)注意獨(dú)立性檢驗(yàn)在實(shí)際生活中的應(yīng)用.

（2）求回歸直線方程的一般步驟

①作出散點(diǎn)圖，依據(jù)問題所給的數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)，觀察點(diǎn)的分布是否呈

條狀分布，即是否在一條直線附近，從而判斷兩變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系.

②當(dāng)兩變量具有線性相關(guān)關(guān)系時，求回歸系數(shù)a、寫出回歸直線方程.

③根據(jù)方程進(jìn)行估計(jì).

（3）獨(dú)立性檢驗(yàn)的一般步驟

①根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2x2列聯(lián)表；

②計(jì)算隨機(jī)變量K?的觀測值鼠查下表確定臨界值例：

0.250.150.1000.0500.0250.0100.0050.001

%1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

③如果就推斷“X與丫有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過尸（K?N%）；

否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過尸（長22七）的前提下不能推斷“X與丫有關(guān)系”.

注意：①通常認(rèn)為2.706時，樣本數(shù)據(jù)就沒有充分的證據(jù)顯示“X與丫有關(guān)系”.

②獨(dú)立性檢驗(yàn)得出的結(jié)論是帶有概率性質(zhì)的，只能說結(jié)論成立的概率有多大，而不能

完全肯定一個結(jié)論，因此才出現(xiàn)了臨界值表，在分析問題時一定要注意這點(diǎn)，不可對

某個問題下確定性結(jié)論，否則就可能對統(tǒng)計(jì)計(jì)算的結(jié)果作出錯誤的解釋.

③獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量有關(guān)系的可信程度的判斷，而不是對其是否有關(guān)系的判斷.

最新模擬題賞析

1.隨著互聯(lián)網(wǎng)的飛速發(fā)展，我國智能手機(jī)用戶不斷增加，手機(jī)在人們?nèi)粘Ｉ钪幸舱紦?jù)著

越來越重要的地位.某機(jī)構(gòu)做了一項(xiàng)調(diào)查，對某市使用智能手機(jī)人群的年齡、口使用時長情

況做了統(tǒng)計(jì)，將18?40歲的人群稱為“青年人”（引用青年聯(lián)合會對青年人的界定），其余人

群稱為“非青年人根據(jù)調(diào)查發(fā)現(xiàn)"青年人''使用智能手機(jī)占比為60%,“非青年人”使用智

能手機(jī)占比為40%；日均使用時長情況如下表：

時長2小時以內(nèi)2?3小時3小時以上

頻率0.40.30.3

將日均使用時長在2小時以上稱為“頻繁使用人群”，使用時長在2小時以內(nèi)稱為“非頻繁使

3

用人群已知“頻繁使用人群''中有:是“青年人

現(xiàn)對該市“日均使用智能手機(jī)時長與年齡的關(guān)系”進(jìn)行調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個

容量為200的樣本，請你根據(jù)上面提供的數(shù)據(jù).

（1）補(bǔ)全下列2x2列聯(lián)表；

青年人非青年人合計(jì)

頻繁使用人群

非頻繁使用人群

合計(jì)

（2）根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，判斷有多大把握認(rèn)為“日均使用智能手機(jī)時長與年齡有關(guān)”?

?n(ad-bc)2“一,,

附：K~2=-----------------------------，其中〃=a+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

以參考數(shù)據(jù)：獨(dú)立性檢驗(yàn)界值表

Pg.K。)0.150.100.0500.0250.010

K。2.0722.7063.8415.0246.635

【試題來源】陜西省咸陽市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期高考模擬檢測（一）

【答案】（1）列聯(lián)表見解析；（2）有99%的把握認(rèn)為“日均使用智能于機(jī)時長與年齡有關(guān)”.

【分析】（1）根據(jù)已知條件可計(jì)算青年人數(shù)、非青年人數(shù)、出頻繁使用人數(shù)，中青年人頻繁

使用人數(shù)，將2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整即可；（2）利用公式計(jì)算K2的觀測值與臨界值比較即可

求解.

【解析】（1）200人中青年人有200x0.6=120人，非青年人有200x0.4=80人,

3

頻繁使用人群有200x°.6=120人’頻繁使用人群中青年人有“°'廠90人,

2x2列聯(lián)表為

青年人非青年人合計(jì)

頻繁使用人群9030120

非頻繁使用人群305080

合計(jì)12080200

⑵不二00(90x5。-30x亞-28.125A6.635,

120x80x120x80

故有99%的把握認(rèn)為“日均使用智能手機(jī)時長與年齡有關(guān)”.

2.某線上學(xué)習(xí)平臺為保證老學(xué)員在此平臺持續(xù)報名學(xué)習(xí)，以便吸引更多學(xué)員報名，從用戶

系統(tǒng)中隨機(jī)選出200名學(xué)員，對該學(xué)習(xí)平臺的教學(xué)成效評價和課后跟蹤輔導(dǎo)評價進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),

并用以估計(jì)所有學(xué)員對該學(xué)習(xí)平臺的滿意度.其中對教學(xué)成效滿意率為0.9,課后跟蹤輔導(dǎo)

的滿意率為0.8,對教學(xué)成效和課后跟蹤輔導(dǎo)都不滿意的有10人.

（1）完成下面2x2列聯(lián)表，并分析是否有99.9%把握認(rèn)為教學(xué)成效滿意度與跟蹤輔導(dǎo)滿意

度有關(guān).

對教學(xué)成效滿意對教學(xué)成效不滿意合計(jì)

對課后跟蹤輔導(dǎo)滿意

對課后跟蹤輔導(dǎo)不滿意

合計(jì)

（2）若用頻率代替概率，假設(shè)在學(xué)習(xí)服務(wù)協(xié)議終止時對教學(xué)成效和課后跟蹤輔導(dǎo)都滿意學(xué)

員的續(xù)簽率為90%,只對其中一項(xiàng)不滿意的學(xué)員續(xù)簽率為60%,對兩項(xiàng)都不滿意的續(xù)簽率

為10%.從該學(xué)習(xí)平臺中任選10名學(xué)員，估計(jì)在學(xué)習(xí)服務(wù)終止時續(xù)簽學(xué)員人數(shù).

附：2x2列聯(lián)表參考公式：k2=—,I：),~~…+b+c+d.臨界值:

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..&O)0.1000.0500.0250.0100.001

&02.7063.8415.0246.63510.828

【試題來源】新疆維吾爾自治區(qū)2021屆高三第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)能力測試試題

【答案】（1）列聯(lián)表答案見解析，有99.9%把握認(rèn)為教學(xué)成效滿意度與跟蹤輔導(dǎo)滿意度有

關(guān)；（2）平臺續(xù)簽人數(shù)為8人.

【解析】（1）依題意有

對教學(xué)成效滿意對教學(xué)成效不滿意合計(jì)

對課后跟蹤輔導(dǎo)滿意15010160

對課后跟蹤輔導(dǎo)不滿意301040

合計(jì)18020200

22

算得k的觀測值為k=200x（150x10-30x10）2=[25>10828

180x20x160x40

故有99.9%把握認(rèn)為教學(xué)成效滿意度與跟蹤輔導(dǎo)滿意度有關(guān).

（2）在200人中對平臺的雙滿意的續(xù)簽人數(shù)為150x90%=135,僅?項(xiàng)滿意的續(xù)簽人數(shù)為

40x60%=24,都不滿意的續(xù)簽人數(shù)為10xl0%=l,所以該平臺的續(xù)簽率為

“5+?+?=0.8依題意有X~8（10,0.8）,所以任選10人，該平臺續(xù)簽人數(shù)為8人.

3.從集市上買回來的蔬菜仍存有殘留農(nóng)藥，食用時需要清洗數(shù)次，統(tǒng)計(jì)表中的x表示清洗

的次數(shù)，y表示清洗x次后1千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量（單位：微克）.

（1）在如圖的坐標(biāo)系中，描出散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，夕=去+4與夕=應(yīng)"'+力哪

一個適宜作為清洗x次后1千克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型：（給出判斷即可不必

說明理由）

（2）根據(jù)判斷及下面表格中的數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程:

X12345

y4.52.21.41.30.6

之?一5『￡（七-工）（丫-方

Xy0)之UH-⑹3-方

i11=1i=l

320.12100.09-8.70.9

[3

表中例=?F,近@

5i=i

：-可一田

附：①線性回歸方程9=b+a中系數(shù)計(jì)算公式分別為匕=2（%（K

Z"（七一五y

A

a=y-bx;

【試題來源】江西省新余市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高二年級第六次考試

【答案】（1）散點(diǎn)圖見解析，y=me~x+n^（2）y=[Oxe-x+O.S

【分析】1）畫出散點(diǎn)圖，判斷即可；

（2）根據(jù)所給參考數(shù)據(jù)利用最小二次方求出回歸方程即可；

【解析】（1）散點(diǎn)圖如圖，

用勺=應(yīng)"'+8作為清洗X次后1丁克該蔬菜殘留的農(nóng)藥量的回歸方程類型.

ZQ-硼丫-加09

(2)由題知向-----------=^TT=10,方=亍一版=2-10x0.12=0.8,

1>i)2009

f-1

故所求的回歸方程為》=10xeT+0.8.

4.垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污

染性，所以需要無害化、減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機(jī)抽樣的方

法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)（大,y）（i=l,2,…,20）,其中為和片分別表示

第i個縣城的人口（單位：萬人）和該縣年垃圾產(chǎn)生總量（單位：噸），并計(jì)算得W＞』=80,

2020_220_220

￡y=4000,￡（%-X）-=80,-y）=8000,七-1）（丫-?。?700.

r=lr=l；=1

（i）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中y與x之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；

（2）求y關(guān)于x的線性回歸方程，用所求回歸方程預(yù)測該市io萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總

量約為多少噸？

參考公式：相關(guān)系數(shù)廠二,對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)

（xpy,.）（/=1,2,3,-??,?）,其回歸直線》二鼠+濟(jì)的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為

y-^x-

【試題來源】廣西梧州市2021屆高三3月聯(lián)考

【答案】⑴答案見解析；（2）252.5噸.

【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)r二代入數(shù)據(jù)求出r=0.875,相

2卜,7）b，7）

關(guān)系數(shù)絕對值越大，相關(guān)性越強(qiáng)即可判斷.（2）由務(wù)=「------:—，》一》7,

2"）一

f=l

代入系數(shù)即可求出回歸直線方程，再將x=10代入即可求解.

【解析】（1）由題意知，相關(guān)系數(shù)7=J2。20

因?yàn)閥與x的相關(guān)系數(shù)接近1,

所以y與％之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合.

a=y-Sx=8.75x—=200-8.75x4=165,

2020

所以y=8.75x+165?

當(dāng)x=10時，y=8.75x10+165=252.5，

所以該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為252.5噸.

5.針對偏遠(yuǎn)地區(qū)因交通不便、消息閉塞導(dǎo)致優(yōu)質(zhì)農(nóng)產(chǎn)品藏在山中無人識的現(xiàn)象,各地區(qū)開始

嘗試將電商扶貧作為精準(zhǔn)扶貧的重要措施.為了解電商扶貧的效果，某部門隨機(jī)就100個貧

困地區(qū)進(jìn)行了調(diào)查，其當(dāng)年的電商扶貧年度總投入（單位：萬元）及當(dāng)年人均可支配年收入（單

位：元）的貧困地區(qū)數(shù)目的數(shù)據(jù)如下表：

人均可支配年收入（元）

(5000,10000](10000,15000](15000,20000]

電商扶貧年度總投入（萬元）

(0,500]532

(500,1000]3216

(1000,3000)23424

（1）估計(jì)該年度內(nèi)貧困地區(qū)人均可支配年收入過萬的概率，并求本年度這100個貧困地區(qū)

的人均可支配年收入的平均值的估計(jì)值（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中間值代表）；

（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為當(dāng)?shù)氐娜司芍淠?/p>

收入是否過萬與當(dāng)?shù)仉娚谭鲐毮甓瓤偼度胧欠癯^千萬有關(guān).

人均可支配年收入W10000元人均可支配年收入＞10000元

電商扶貧年度總投入不超過1（）0（）萬

電商扶貧年度總投入超過1000萬

n(ad-bey

其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.010.005

k3.8416.6357.879

【試題來源】云南西南名校2021屆高三下學(xué)期聯(lián)考

【答案】（1）概率為0.9,平均值的估計(jì)值為13600（元）；（2）列聯(lián)表答案見解析，有99%

的把握認(rèn)為當(dāng)?shù)氐娜司芍淠晔杖胧欠襁^萬與當(dāng)?shù)仉娚谭鲐毮甓瓤偼度胧欠癯^千萬有

關(guān).

【分析】（1）利用頻率估計(jì)概率，再利用平均數(shù)公式估計(jì)平均值；

（2）根據(jù)題干完成2x2聯(lián)表，再根據(jù)公式計(jì)算K"對照參數(shù)得出結(jié)論.

【解析】（1）由所給數(shù)據(jù)可得，該年度內(nèi)貧困地區(qū)人均可支配年收入過萬的概率的估計(jì)值為

5+3+2

=0.9.

100

本年度這100個貧困地區(qū)的人均可支配年收入的平均值的估計(jì)值為

5+3+2race3+21+34tcucc2+6+24ir/cc—

-------x7500+----------x12500+----------x17500=13600(兀).

100100100

（2）列聯(lián)表如下:

人均可支配年收入R0000元人均可支配年收入＞10000元

電商扶貧年度總投入不超過1000萬832

電商扶貧年度總投入超過1000萬258

因?yàn)?_100x(8x58-2x32)2_200

一—10x90x40x60—-方

所以有99%的把握認(rèn)為當(dāng)?shù)氐娜司芍淠晔杖胧欠襁^萬與當(dāng)?shù)仉娚谭鲐毮甓瓤偼度胧欠?/p>

超過千萬有關(guān).

6.2020年，全球爆發(fā)了新冠肺炎疫情，為了預(yù)防疫情蔓延，某校推遲2020年的春季線下

開學(xué)，并采取了“停課不停學(xué)”的線上授課措施.為了解學(xué)生對線上課程的滿意程度，隨機(jī)抽

取了該校的100名學(xué)生（男生與女生的人數(shù)之比為1:1）對線上課程進(jìn)行評價打分，若評分不

低于80分視為滿意.其得分情況的頻率分布直方圖如圖所示，若根據(jù)頻率分布直方圖得到

的評分不低于70分的頻率為0.85.

5s率

(1)求b的值，并估計(jì)100名學(xué)生對線上課程評分的平均值；(每組數(shù)據(jù)用該組的區(qū)間中點(diǎn)

值為代表)

(2)結(jié)合頻率分布直方圖，請完成以下2x2列聯(lián)表，并回答能否有99%的把握認(rèn)為對“線

上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)

性別

滿意不滿意合計(jì)

態(tài)度

男生

女生15

合計(jì)100

—bc'Y

附：隨機(jī)變量K'=

(a+/)(c+d)(a+c)(b+d)

P/”。)0.250.150.100.050.0250.010.0050.001

%1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【試題來源】黑龍江省哈爾濱市第三中學(xué)2020-2021學(xué)年上學(xué)期高三1月線上學(xué)習(xí)階段性考

試

【答案】(1)6=0.04,80；(2)表格見解析,能仃99%的把握認(rèn)為對“線上教學(xué)是否滿意

與性別有關(guān)

【分析】(1)先由題中條件，求出。，b的值，再由頻率分布白:方圖，根據(jù)組的中間值乘以

該組的頻率，再求和，即可得出平均數(shù)；

(2)由題中先完善列聯(lián)表，再由計(jì)算公式，求出K'進(jìn)而可判斷出結(jié)果.

【解析】(1)由已知得(O.O15+Z?+O.O3)xlO=O.85,解得力=0.04,

又(0.005+4)x10=1-0.85,解得4=0.01,

所以評分的平均值為55x0.05+65x0.1+75x0.3+85x0.4+95x0.15=80

(2)由題意可得，2x2列聯(lián)表如下表:

性別

滿意不滿意合計(jì)

態(tài)度

男生203050

女生351550

合計(jì)5545100

因此i_100X(20X15-35X30)2

K?9.091>6.635

、55x45x50x50

二.能有99%的把握認(rèn)為對“線上教學(xué)是否滿意與性別有關(guān)”

7.在關(guān)研究表明，正確佩戴安全頭盔，規(guī)范使用安全帶能夠?qū)⒔煌ㄊ鹿仕劳鲲L(fēng)險大幅降低，

對保護(hù)群眾生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一帶”安全守護(hù)行動在全國各地開

展.行動期間，公安交管部門將加強(qiáng)執(zhí)法管理，依法查糾摩托車和電動自行車騎乘人員不佩

戴安全頭盔，汽車駕乘人員不使用安全帶的行為，助推養(yǎng)成安全習(xí)慣.該行動開展一段時間

后，某市針對電動自行車騎乘人員是否佩戴安全頭盔問題進(jìn)行調(diào)查，在隨機(jī)調(diào)查的1000名

騎行人員中，記錄其年齡和是否佩戴頭盔情況，得到如下的統(tǒng)計(jì)圖表：

203040506070年齡/周歲°年齡低于40歲年齡不低于40歲

（1）估算該市電動自行車騎乘人員的平均年齡;

（2）根據(jù)所給的數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表：

是否佩戴頭盔

是行

年齡

[20,40)

[40,70]

（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%把握認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān)?

n^ad-bcy

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2>k)0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

【試題來源】湖北省武漢市2021屆高三下學(xué)期3月質(zhì)量檢測

【答案】（1）39；（2）列聯(lián)表見解析；（3）沒有把握.

【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖，利用平均數(shù)公式求解..

（2）根據(jù)統(tǒng)計(jì)表完成列聯(lián)表.

（3）根據(jù)列聯(lián)表,利用公式求得K?的值，然后與臨界值表對照下結(jié)論.

【解析】（1）該市電動自行車騎行人員平均年齡為

25x0.25+35x0.35+45x0.2+55x0.15+65x0.05=39.

（2）

是否佩戴頭盔

是否

年齡

[20,40)54060

[40,70]34060

⑶2二1000x(60x540-60x340)2125

、600x400x880x1205.682<6.635.

故而沒有99%的把握認(rèn)為遵守佩戴安全頭盔與年齡有關(guān).

8.在一次模擬考試中，某校共有100名學(xué)生參加考試，其中語文考試成績低于130的占95%,

如果成績不低于130的為特別優(yōu)秀，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖.

Si率

（1）求數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的人數(shù)及數(shù)學(xué)成績的平均分;

（2）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2x2列聯(lián)表，并分

析是否有99%的把握認(rèn)為語文特別優(yōu)秀的同學(xué),

數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.

語文特別優(yōu)秀語文不特別優(yōu)秀合計(jì)

數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀

數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀

合計(jì)

n(ad-bc)2

參考數(shù)據(jù)：①K?

(〃+b)(c+d)(a+c)(h+d)

網(wǎng)*人）0.500.40???0.0100.0050.001

0.4550.708?.?6.6357.87910.828

【試題來源】百師聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期開年摸底聯(lián)考考試卷（全國口卷）

【答案】（1）90；（2）列聯(lián)表見解析，有99%的把握認(rèn)為語文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特

別優(yōu)秀.

【分析】（1）由頻率分布直方圖可得數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率為g=0.002x20=0.04,

從而可得數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的人數(shù)，利用頻率分布直方圖直接求解平均數(shù)；

（2）由題意可得語文成績特別優(yōu)秀的概率為《=1-0.95=0.05,語文特別優(yōu)秀的同學(xué)有

100x0.05=5人，而語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人，再結(jié)合（1）中求出數(shù)學(xué)成績

特別優(yōu)秀的人數(shù)為4人，進(jìn)而可填出2x2列聯(lián)表，再求出K?與臨界值比較可得結(jié)果

【解析】（1）數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的概率為￡=0.002x20=0.04,

數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀的同學(xué)有100x0.04=4人.

工=0.14x6（）+0.36x8（）+0.4x100+0.06x120+0.04x140=90分.

（2）共有100名學(xué)生參加考試，其中語文考試成績低于130的占95%,語文成績特別優(yōu)秀

的概率為6=1—0.95=0.05,論文特別優(yōu)秀的同學(xué)仃100x0.05=5人,

2x2列聯(lián)表:

語文特別優(yōu)秀語文不特別優(yōu)秀合計(jì)

數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀314

數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀29496

合計(jì)595100

所以父」笠然5聯(lián)）"Z982>6.635.

所以有99%的把握認(rèn)為語文特別，’尤秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀.

9.隨著互聯(lián)網(wǎng)行業(yè)、傳統(tǒng)行業(yè)和實(shí)體經(jīng)濟(jì)的融合不斷加深，互聯(lián)網(wǎng)對社會經(jīng)濟(jì)發(fā)展的推動

效果日益顯著，某大型超市計(jì)劃在不同的線上銷售平臺開設(shè)網(wǎng)店，為確定開設(shè)網(wǎng)店的數(shù)量,

該超市在對網(wǎng)絡(luò)上相關(guān)店鋪?zhàn)隽顺浞值恼{(diào)查后，得到下列信息，如圖所示（其中x表示開設(shè)

網(wǎng)店數(shù)量，）'表示這x個分店的先銷售額總和），現(xiàn)已知￡>J=8850,=2000,求

i=i?=1

解下列問題;

年銷售額r（TJ7L）

12356分店數(shù)量'

（1）經(jīng)判斷，可利用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系，求解）‘關(guān)于大的回歸方程；

（2）按照經(jīng)驗(yàn),超市每年在網(wǎng)上銷售獲得的總利潤w（單位：萬元）滿足w=y-5x2-140，

請根據(jù)（1）中的線性回歸方程，估算該超市在網(wǎng)上開設(shè)多少分店時，才能使得總利潤最大.

5―

__2＞戊一辦了

參考公式；線性回歸方程§=去+"其中。=y一菽4二上!----------

?02-2

工岑一〃X

/=1

【試題來源】吉林省長春市2021屆高三質(zhì)量監(jiān)測（二）

【答案】（1）y=85x+60；（2）開設(shè)8或9個分店時，才能使得總利潤最大.

【分析】（1）先求得汽%2=90,7=4,再根據(jù)提供的數(shù)據(jù)求得務(wù)，〃，寫III回歸直線方程;

（2）由（1）結(jié)合w=y—5/-140,得到卬=一5—+85%—80，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求解.

【解析】（1）由題意得＞＞：=90，=45=要=甯巴=85,

j=i90—oU

々=400-85x4=60,所以y=85x+60?

1125

（2）由（1）知，W=-5X2+85X-80=5+-------

所以當(dāng)x=8或x=9時能獲得總利潤最大.

10.我國為全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家，制定了從2021年到2025年的“十四五”規(guī)劃某企

業(yè)為響應(yīng)國家號召，匯聚科研力量，加強(qiáng)科技創(chuàng)新，準(zhǔn)備增加研發(fā)資金.現(xiàn)該企業(yè)為了了解

年研發(fā)資金投入額x（單位：億元）對年盈利額乂單位：億元）的影響，研究了“十二五”和“十三

五”規(guī)劃發(fā)展期間近10年年研發(fā)資金投入額占和年盈利額X的數(shù)據(jù)通過對比分析，建立了

兩個函數(shù)模型：①y=a+月/，②y二6^"，其中均為常數(shù),e為自然對數(shù)的底數(shù).令

%=片,v.=lny.(i=l,2,...,10),經(jīng)計(jì)算得如下數(shù)據(jù):

10一S10(z-y).

￡(%-元y

XyuV

?=i*=i

262156526805.36

10.1010.10

￡(-w)(y.-y)5(xf.-x)(v.-v)

之?一正)-M/f

?=1f=l1=1/=1

112501302.612

（1）請從相關(guān)系數(shù)的角度，分析哪一個模型擬合程度更好?

（2）（1）根據(jù)（1）的選擇及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；（系數(shù)精確到0.01）

（2）若希望2021年盈利額y為200億元，請預(yù)測2021年的研發(fā)資金投入額x為多少億元?

（結(jié)果精確到（）.01）

?（—）（一）

附：①相關(guān)系數(shù)r=~j=--------：----------，回歸直線y=a+bx中：

-可力（凹-“

V?=1/=1

人2（毛-可（乂一方

b=-------------,a=y-bx^②參考數(shù)據(jù)：In2?0.693,In5kl.609.

f（一）2

1=1

【試題來源】江西省上饒市橫峰中學(xué)2020-2021學(xué)年高二（統(tǒng)招班）下學(xué)期入學(xué)考試

【答案】（1）模型y=e"+'的擬合程度更好；（2）（1）9=e°J8ao汽（2）2021年的研發(fā)

資金投入量約為26.32億元.

【分析】（1）通過換元對變量進(jìn)行變換，模型①令〃=/可變?yōu)閥=/?〃+a,②兩邊取自

然對數(shù)可變?yōu)閘ny=；U+f,UPv=Ax+Z,再根據(jù)參考數(shù)據(jù)可求兩個方程的相關(guān)系數(shù)，再

比較大小即可得哪一個模型擬合程度更好；（2）（1）根據(jù)（1）可選擇函數(shù)模型②，通過變

化得以=忒+，，求出夕和3可得y關(guān)于x的線性回歸方程，再將/用In》替換，即可得y

關(guān)于x的回歸方程;（2）根據(jù)回歸方程,令"200,求出尤即可.

【解析】（1）設(shè)｛%｝和｛）1｝的相關(guān)系數(shù)為?。?｝和｛匕｝的相關(guān)系數(shù)為由題意,

2(%-")(%-刃

，1"2==上，。.87,

fio~io-711250x215

JEX%-江)之(弘一為

Vi=li=l

10

￡(x,.-x)(vr.-v)

1212

=——?0.92,

765x2.613

博—塔(—)2

則用＜|回，因此從相關(guān)系數(shù)的角度，模型y=的擬合程度更好.

（2）（1）先建立丫關(guān)于x的線性回歸方程,

由y=6航+'，得Iny=f+4%,即Iny=，+,

10

￡(x..-x)(v/-v)

1=1

In------------=—,/=v-=5.36----x26=0.56,

ZU-)26565

1=1

所以丫關(guān)于X的線性回歸方程為f=0.18x+0.56,

所以In夕=0.18x+0.56,則f=ea,8r+0-56.

（2）2021年盈利額y=200（億元）,

所以2021年的研發(fā)資金投入量約為26.32億元.

【名師點(diǎn)睛】在兩個變量的回歸分析中要注意以下兩點(diǎn)：

（1）求回歸直線方程要充分利用已知數(shù)據(jù)，合理利用公式減少運(yùn)算.

（2）借助散點(diǎn)圖，觀察兩個變量之間的關(guān)系.若不是線性關(guān)系，可以通過對變量進(jìn)行變換,

轉(zhuǎn)化為線性回歸問題去解決.

11.某機(jī)構(gòu)為了解某大學(xué)中男生的體重單位：kg)與身高式單位：cm)是否存在較好的線性

關(guān)系，該機(jī)構(gòu)搜集了7位該校男生的數(shù)據(jù)，得到如下表格:

序號1234567

身高(cm)161175169178173168180

體重(kg)52625470665773

根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到)'關(guān)于x的線性同歸方程為y=\.\5x+a

(1)求才；

-y,)

(2)已知斤=1一弋」——且當(dāng)R2..0.9時，回歸方程的擬合效果非常好；當(dāng)

E(x-y)2

r=l

O.8<R2<o.9時，回歸方程的擬合效果良好.試問該線性回歸方程的擬合效果是非常好還

6

是良好？說明你的理由.參考數(shù)據(jù)：Z(y一無)=49.12

J=1

【試題來源】陜西省榆林市2021屆高三下學(xué)期第二次高考模擬測試

【答案】(1)&=-135.8：(2)該線性回歸方程的擬合效果是良好，理由見解析.

【分析】(1)先求三。代入回歸方程即可求得；

(2)先根據(jù)題意求出滅2.根據(jù)參數(shù)范圍進(jìn)行判斷即可.

⑹+175+169+178+173+168+180

【解析】(1)因?yàn)樨?=172.

7

52+62+54+70+66+57+73

y=二62,

7

將(172,62)代入回歸方程，a=y-1.15x=62-1.15xl72=-135.8；

(2)刃2=100+0+64+64+761+25+121=390,

1=1

y關(guān)于x的線性同歸方程為9=1.15X-135.8,

所以(為一%)2=(73—1.15x180+135.8)2=3.24，

Z（X-%）2=z（凹-力F+3.24=52.36,

r=l；=l

,名3-獷5236

所以H?=1一號---------=1--j—?0.87e（0.8,0.9）,

i=l

故該線性回歸方程的擬合效果是良好.

【名師點(diǎn)睛】在線性回歸中，求線性回歸方程是常見題型：

方法【名師點(diǎn)睛】求線性回歸方程的步驟：

（1）先求x.y的平均數(shù)k］；

-可（凹-方__

（2）套公式求出右和&的值：b=上----------，a=y-^xx；

ZU--）2

（3）寫出回歸直線的方程.

12.機(jī)動車行經(jīng)人行橫道時，應(yīng)當(dāng)減速慢行：遇行人正在通過人行橫道，應(yīng)當(dāng)停車讓行，俗

稱“禮讓行人下表是某市一主干路口監(jiān)控設(shè)備所抓拍的5個月內(nèi)駕駛員不“禮讓行人''行為

統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：

月份12345

違章駕駛員人數(shù)1201051009580

（1）請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)y與月份工之間的回歸直線方程$，=菽十2；

（2）預(yù)測該路口9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人數(shù)；

（3）交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機(jī)抽查70人，調(diào)查駕駛員不“禮讓行人”

行為與駕齡的關(guān)系，得到下表：

不禮讓行人禮讓行人

駕齡不超過1年2416

駕齡1年以上1614

能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓行人行為與駕齡有關(guān)？

A1>/一〃盯y（x,.-x）（y,-y）

參考公式：B一笠----------二上、-------------，a=y-bx.

之七2一加-元）2

J=lf=l

n(ad-bc)2

X2(其中〃=〃+Z?+c+d)

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（/2）0.150.100.050.0250.010

k2.0722.7063.8415.0246.635

【試題來源】江蘇省連云港市2021屆高三下學(xué)期期初調(diào)研考試

【答案】（1）J=-9x+127；（2）46人；（3）沒有97.5%的把握.

【分析】（1）由已知求得7,進(jìn)一步套公式求出$和4的值，就求出線性回歸方程；

（2）在（1）的回歸方程，令x=9,即可預(yù)測該路n9月份的不“禮讓行人”違章駕駛員人

數(shù)；（3）計(jì)算K'下結(jié)論.

1+2+3+4+51201051009580

【解析】（1）由表中數(shù)據(jù)知，x==3++++=100

55

^x^-rixy

1410-1500八

所以6---------------------=-9

f七2-庇255-45

/=|

所以6=歹一送=100—(—9)x3=127,

故所求回歸直線方程為9=-9/+127；

(2)由(1)知，令x=9,則￡=-9x9+127=46人.

（3）提出假設(shè)“。：”禮讓行人”行為與駕齡無關(guān)，

由表中數(shù)據(jù)得K2=70Q4X14T6X16)2=^^。.311V2.706，

40x30x40x3045

根據(jù)統(tǒng)計(jì)知，沒有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓行人行為與駕齡有關(guān).

【名師點(diǎn)睛】（1）求線性回歸方程的步驟:

9

Az（%—可（m一到

①先求X、y的平均數(shù)覆y：②套公式求出6和。的值：6=占r------------,

6（—）2

1=1

a=y-^xx^③寫出回歸直線的方程.

（2）獨(dú)立性檢驗(yàn)的題目直接根據(jù)題意完成完成2x2列聯(lián)表，直接套公式求出K?，對照參

數(shù)下結(jié)論.

13.寧夏西海固地區(qū)，在1972年被聯(lián)合國糧食開發(fā)署確定為最不適宜人類生存的地區(qū)之

一.為改善這一地區(qū)人民生活的貧困狀態(tài)，上世紀(jì)90年代，黨中央和自治區(qū)政府決定開始

吊莊移民，將西海固地區(qū)的人口成批地遷移到更加適合生活的地區(qū).為了幫助移民人口盡快

脫貧，黨中央作出推進(jìn)東西部對口協(xié)作的戰(zhàn)略部署，其中確定福建對口幫扶寧夏，在福建人

民的幫助下，原西海固人民實(shí)現(xiàn)了快速脫貧，下表是對2016年以來近5年某移民村莊100

位移民的年人均收入的統(tǒng)計(jì)：

年份20162017201820192020

年份代碼X12345

人均年收入y（千元）1.32.85.7&913.8

現(xiàn)要建立）關(guān)于X的回歸方程，有兩個不同回歸模型可以選擇，模型一去+&;模型

二?力=&2+2,即使畫出》關(guān)于X的散點(diǎn)圖，也無法確定哪個模型擬合效果更好，現(xiàn)用

最小二乘法原理，已經(jīng)求得模型一的方程為f=3.Lv-2.8.

（1）請你用最小二乘法原理，結(jié)合下面的參考數(shù)據(jù)及參考公式求出模型二的方程（計(jì)算結(jié)

果保留到小數(shù)點(diǎn)后一位）；

（2）用計(jì)算殘差平方和的方法比較哪個模型擬合效果更好，已經(jīng)計(jì)算出模型一的殘差平方

和為它（M-%）2=3.7.

r=l

5__

附：參考數(shù)據(jù)：V---------"0.52,其中％=J^,i=l,2,3,4,5.

Z"5尸

r-l

參考公式：對于一組數(shù)據(jù)（%,K）.（〃2,匕），…，（〃〃，乙），其回歸直線￡=0+/〃的斜率

和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為/=得-------,一狐.

i=l

【試題來源】黑龍江省哈爾濱市哈爾濱第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬考試

【答案】（1），=0.5f+0.8：（2）模型二的擬合效果更好.

【分析】（1）令，=/,求出j,即可求出之和鼠得出模型二的方程；

（2）先利用模型二的回歸方程求出必，再根據(jù)公式即可計(jì)算出殘差平方和，作出判斷.

【解析】（1）令f=d，則模型二可化為》關(guān)于，的線性回歸問題，

-1+4+9+16+25,,-1.3+2.8+5.7+8.9+13.8-

則t1I/=---------------=11,y=----------------------=6.5,

5_

?戊-51y

則由參考數(shù)據(jù)可得6=弋--------?0.52?0.5,

尸

?=1

j=y-Gr=6.5-0.52xll?0.8^則模型二的方程為+=0.5f+0.8；

（2）由模型二的回歸方程可得，=0.5xl+0.8=L3，$；*=（）5X4+（）.8=2.8，

=0.5x9+0.8=53，=0.5x16+0.8=8.8，=0.5x25+0.8=13.3,

/.汽（M-般））2=。2+（）2+0.42+0.產(chǎn)+0.52=0.42<3.7，

故模型二的擬合效果更好.

【名師點(diǎn)睛】本題考查線性回歸方程和殘差平方和的計(jì)