2021年小升初奧數(shù)余數(shù)問題

【方法梳理】

一、有規(guī)律問題的解法口訣：和同加和，差同減差，余同取余，最小公倍加

（一）和同加和：如果不同被除數(shù)和余數(shù)的和相同，那么就把這個(gè)和，加到最小公倍數(shù)上。

（-）差同減差：如果不同被除數(shù)和余數(shù)的差相同，那么就把這個(gè)差，用最小公臂數(shù)減掉。

（三）余同取余：如果余數(shù)都相同，直接把余數(shù)加到最小公倍數(shù)上。

二、無規(guī)律問題的解法

一筐蘋果，如果按5個(gè)一堆放，最后多出2個(gè)；如果按6個(gè)一堆放，最后多3個(gè)；如果按7個(gè)一堆放，還多出1個(gè)。

這筐蘋果至少有幾個(gè)？

（一）逐步約束法

5余2的最小數(shù)字是7,看看7除以6是余1不是3,所以要看看7上面加多少個(gè)5才能除以6余3。

通常的做法是，7+5=12,余0,不對；12+5=17,余5,不對；17+5=22,余4,不對；22+5=27,余3,對了！所以

是27。

27這個(gè)數(shù)字出來了，還沒結(jié)束，下面考慮27除以7余6,不是余1。要在27上面加多少個(gè)30（5和6的最小公倍

數(shù)）才能余1?

同樣的思路，要余1，相當(dāng)于余8（1+7=8）,由于30除以7余2,問題就轉(zhuǎn)換為，要從余6變成余8,需要多少

個(gè)2,答案是1個(gè)，也就是27上面加1個(gè)30即可，最終數(shù)字是57。

（―）中國剩余定律

先找出6和7的公倍數(shù)，從中選取一個(gè)最小的、能夠除以5余1的數(shù)字，為42x3=126,用這個(gè)數(shù)乘以5的余數(shù)。

題目中除以5余2,所以126x3=252：

再找出5和7的公倍數(shù)，從中選取一個(gè)最小的、能夠除以6余1的數(shù)字，為35x5=175,用這個(gè)數(shù)乘以6的余數(shù)。

題忖中除以6余3,所以175x3=525；

再找出5和6的公倍數(shù)，從中選取一個(gè)最小的、能夠除以7余1的數(shù)字，為30x4=120,用這個(gè)數(shù)乘以7的余數(shù)。

題目中除以7余1,所以120x1=120；

252+5254-120=897,897除以5、6、7三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)210的余數(shù)，即為最終答案:897-210x4=57

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同余定理1、如果a,b除以c的余數(shù)相同，那么我們說a,b對于c是同余的。并且我們說a,b之間的差能被c

整除。（a5c三個(gè)數(shù)都是自然數(shù)）

例L有一個(gè)大于1的數(shù)，除45,59,101所得的余數(shù)相同，求這個(gè)數(shù)可能是多少？

舉一反三：已知三個(gè)數(shù)127,99和一個(gè)小于30的兩位數(shù)a除以一個(gè)一位數(shù)b的余數(shù)都是3,求a和b的值.

同余定理2、a和b的根除以c的余數(shù)，等于a,b分別除以c的余數(shù)的積或者這個(gè)余數(shù)的積再除以c所得的余數(shù)。

（abc均為自然數(shù)）

例2:31453x68765x987657的積，除以4的余數(shù)是多少？

例3:今有一類數(shù)，除以3余數(shù)是2,除以5余數(shù)是3,除以7余數(shù)是2.試問這個(gè)類數(shù)最小那個(gè)又什么？

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舉一反三：有一類數(shù)，除以7余2,除以8余4,除以9余3。問這類數(shù)中最小的是什么？

例4：有三個(gè)吉利數(shù)字，888,518,666,用他們同時(shí)除以一個(gè)相同的自然數(shù)，廳得的余數(shù)為a,a+7,a+10.試問這

個(gè)自然數(shù)是多少？

舉一反三：140,225,293同時(shí)除以某一個(gè)自然數(shù)得到的余數(shù)相同，試問這個(gè)自然數(shù)是多少？余數(shù)又是多少？

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例5:如果時(shí)針現(xiàn)在表示的時(shí)間是18點(diǎn)整,那么分針旋轉(zhuǎn)1990圈之后是點(diǎn)鐘.

舉一反三：1999年1月1日是星期五，試問2002年6月1日是星期幾？

例6:節(jié)EI的街上掛起了長長的一排彩燈，共2013盞。從第一盞開始，按照5盞紅燈，4盞黃燈，3盞藍(lán)燈，2盞

綠燈不斷地排下去。問：

⑴第1982盞燈的顏色是什么？

(2)藍(lán)燈共有多少盞？

舉一反三：甲乙丙丁四個(gè)小朋友玩報(bào)數(shù)游戲，規(guī)定，甲報(bào)1乙報(bào)2丙報(bào)3丁報(bào)4甲報(bào)5乙報(bào)6丙報(bào)7……，問報(bào)

2012的那個(gè)人是誰？、

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例題7、一個(gè)三位數(shù)除以41余11,除以37余5,那么這個(gè)三位數(shù)是多少？

【鞏固練習(xí)】

1.小東在計(jì)算除法時(shí)，把除數(shù)87寫成78,結(jié)果得到的商是54,余數(shù)是8.正確的商是余數(shù)是

2、a-24=121……b,要使余數(shù)最大，被除數(shù)應(yīng)該等于.

3、一個(gè)三位數(shù)被37除余”，被36除余3,那么這個(gè)三位數(shù)是.

4、31453*68765x987657的積，除以5的余數(shù)是.

【難題挑戰(zhàn)】

1.自然數(shù)n除63,91,129所得余數(shù)之和為25,則n是多少？

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2、韓信點(diǎn)兵：有兵一隊(duì)，若列成五行縱隊(duì)，則末行一人，成六行縱隊(duì)，則末行五人，成七行縱隊(duì)，則末行四人,

成十一行縱隊(duì)，則末行十人.求兵數(shù).

3、有一堆棋子，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)剩下2個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)剩下4個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)剩下6個(gè).問這堆棋子最少有多少

個(gè)？

4、一猴子數(shù)一堆桃子.兩個(gè)兩個(gè)地?cái)?shù)剩下1個(gè)，三個(gè)三個(gè)地?cái)?shù)剩下1個(gè)，五個(gè)五個(gè)地?cái)?shù)剩下3個(gè)，七個(gè)七個(gè)地?cái)?shù)剩

下3個(gè).問這堆桃子最少是多少個(gè)？

5、有蘋果，桔子各一筐，蘋果有240個(gè),桔子有313個(gè)，把這兩筐水果分給一些小朋友，已知蘋果等分到最后余2個(gè)不夠

分，桔子分到最后還余7個(gè)桔子不夠再分，求最多有多少個(gè)小朋友參加分水果？

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真題練習(xí)：

（2017麓山國際）：

1、一篦蘋果每人分4個(gè)少2個(gè)，每人分5個(gè)少2個(gè)，每人分7個(gè)少2個(gè)，這筐蘋果至少個(gè)。

2、有若干個(gè)蘋果和梨，如果5個(gè)蘋果和3個(gè)梨裝一袋的話，還余4個(gè)蘋果，梨恰好裝完；如果7個(gè)蘋果和3個(gè)梨

裝一袋的話，則還余12個(gè)梨，蘋果恰好裝完，請問蘋果和梨各有多少個(gè)？

（2018中雅培粹）：

3、某個(gè)三位數(shù)是2的倍數(shù)，除以3余2,除以4余2,除以5余2,除以6余2,那么這個(gè)數(shù)最小為

（2017怡雅中學(xué)）：

4、有一堆西瓜，第一只猴子拿走了這堆西瓜的一半加半個(gè)，第二只猴子拿走剩下西瓜的一半加半個(gè)，第三只猴子

拿走最后剩下的西瓜一半加半個(gè)，西瓜正好被拿光。這堆西瓜原來有個(gè)。

5、六（1；班學(xué)生人數(shù)不足50人，排隊(duì)時(shí)，每排3人，結(jié)果多一人；每排4人，結(jié)果多3人；每排7人，結(jié)果多1

人。六（1）班共O

（2017長郡雙語）: