不定積分的基本積分公式與性質(zhì)

不定積分的基本積分公式與性質(zhì)一、基本積分表由于求不定積分與求導(dǎo)數(shù)是互逆的運(yùn)算,因此,由導(dǎo)數(shù)的基本公式就可以得到相應(yīng)的不定積分的基本公式,為了便于記憶和應(yīng)用,我們把一些基本的積分公式列成一個(gè)表,通常稱為基本積分表.

一、基本積分表一、基本積分表以上公式是求不定積分的基礎(chǔ),必須熟記.在應(yīng)用這些公式時(shí),有時(shí)需要對(duì)被積函數(shù)作適當(dāng)?shù)淖冃?一、基本積分表【例7】一、基本積分表【例8】上述兩個(gè)例題實(shí)際上是冪函數(shù)的積分問(wèn)題,但是表示上是取用了根式和分式形式,遇到這樣的情況一樣先化成xμ的形式,再根據(jù)不定積分基本公式(2)來(lái)求不定積分.注一、基本積分表【例9】例9表明，有些題目在形式上跟基本積分表沒(méi)有關(guān)系，但是通過(guò)恒等變形以后，我們發(fā)現(xiàn)，實(shí)際是可以直接應(yīng)用基本積分表的.

二、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1(1)∫f(x)dx′=f(x)或d∫f(x)dx=f(x)dx；(2)∫f′(x)dx=f(x)＋C或∫df(x)=f(x)＋C.

性質(zhì)1清楚地表明了不定積分運(yùn)算與微分運(yùn)算之間的互逆關(guān)系.二、不定積分的性質(zhì)對(duì)函數(shù)f(x)先求積分，再求導(dǎo)數(shù)，其結(jié)果等于f(x)，而對(duì)函數(shù)f(x)先求導(dǎo)數(shù)，再求積分，其結(jié)果不再是f(x)，而是f(x)＋C.注二、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)2如果常數(shù)k≠0，那么∫kf(x)dx=k∫f(x)dx.

性質(zhì)2說(shuō)明，不定積分中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái).二、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)3如果函數(shù)f1(x)及f2(x)的原函數(shù)存在，那么∫［f1(x)±f2(x)］dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx.

性質(zhì)3說(shuō)明∫［f1(x)±f2(x)］dx是f1(x)±f2(x)的原函數(shù)，由于它涉及兩個(gè)積分記號(hào)，形式上含有兩個(gè)積分常數(shù)，把這兩個(gè)積分常數(shù)合并為一個(gè)，因此它實(shí)際上是f1(x)±f2(x)的不定積分，即與∫f1(x)dx±∫f2(x)dx相等.二、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)3可以推廣到有限個(gè)函數(shù)的情形，即有∫［f1(x)±f2(x)±…±fn(x)］dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx.

直接根據(jù)不定積分的線性運(yùn)算法則和基本積分公式或?qū)Ρ环e函數(shù)稍加恒等變形后再利用法則和公式可以求出一些簡(jiǎn)單函數(shù)的不定積分.這種求不定積分的方法稱為直接積分法.

二、不定積分的性質(zhì)【例10】解對(duì)于兩個(gè)有理多項(xiàng)式的商的積分，特別是分母是冪函數(shù)的情形，我們一般可以除下來(lái)，利用性質(zhì)2，把分式函數(shù)看成是一些冪函數(shù)相加得到的新函數(shù)，再應(yīng)用不定積分基本公式(2)求不定積分.二、不定積分的性質(zhì)【例11】解雖然被積函數(shù)是一個(gè)無(wú)理式，但是這里我們還是可以通過(guò)性質(zhì)2及不定積分基本公式(2)求解該不定積分.二、不定積分的性質(zhì)【例12】三角函數(shù)的情形是比較復(fù)雜的，但是一般我們可以通過(guò)三角恒等變形，得到被積函