二次型的標(biāo)準(zhǔn)型

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型二次型的標(biāo)準(zhǔn)型本章只討論變量取實(shí)值，系數(shù)也為實(shí)數(shù)的實(shí)二次型.二次型可以用矩陣的乘積形式表示，令則二次型就可以寫成下面的形式：f(x1,x2,…,xn)=xTAx（7-10）其中，AT=A（即A為實(shí)對稱矩陣）.根據(jù)式（7-10），n個(gè)變量的實(shí)二次型f(x)與n階實(shí)對稱矩陣A有一一對應(yīng)的關(guān)系，稱矩陣A為二次型f(x1,x2,…,xn)的矩陣，A的秩r(A)定義為二次型f(x1,x2,…,xn)的秩.反過來，對于任意一個(gè)給定的n階實(shí)對稱矩陣A，可以得到唯一的一個(gè)以A為矩陣的二次型xTAx，其中x=(x1,x2,…,xn)T.試寫出二次型f(x1,x2,x3)=x21+4x1x2+7x22+6x1x3+2x2x3－x23

的矩陣.解因?yàn)槎涡蛯懗闪撕喜⑼愴?xiàng)的形式，故其矩陣的對角線元aii為x2i的系數(shù)，而非對角線元，即i≠j時(shí)aij=aji是乘積項(xiàng)xixj的系數(shù)的一半，故有【例7-1】【例7-2】在二次型的研究中，中心問題之一是要對給定的二次型式（7-9），確定一個(gè)可逆矩陣P，使通過可逆線性變換x=Py（7-11）將f(x1,x2,…,xn)=xTAx化簡為新變量y1,y2,…,yn的標(biāo)準(zhǔn)型f=d1y21+d2y22+…+dny2n=yTDy（7-12）其中D=diag(d1,d2,…,dn)把式（7-11）代入式（7-10），得f(x)=xTAx=(Py)TA(Py)=yT(PTAP)y故若能找到可逆矩陣P，使PTAP=D（7-13）其中,D為對角陣，則得到二次型的標(biāo)準(zhǔn)型.這就是說，化實(shí)二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的問題可歸結(jié)成上述由式（7-13）表出的矩陣問題，即下面定義的，實(shí)對稱矩陣相合于實(shí)對角陣的問題.定義7-4c對n階矩陣A與B，若存在n階可逆矩陣P，使B=PTAP（7-14）則稱A與B合同或A與B是合同矩陣或相合矩陣.若Q為正交矩陣，則有Q－1AQ=QTAQ=B所以對實(shí)對稱矩陣，若正交矩陣P使得A與B相似，則自然有A與B合同；又因?qū)崒ΨQ矩陣A一定能對角化，故必有A=QΛQ－1

成立.Q-1AQ=Λ這可改寫成QTAQ=Λ故可得到化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型的現(xiàn)成方法——正交變換法（這個(gè)方法將在第二節(jié)中著重介紹）.需要指出，式（7-13）中的可逆矩陣P不僅一定可以找到（如可取一正交矩陣），而且滿足條件的可逆矩陣P