函數(shù)的特性課件

函數(shù)的特性一、函數(shù)的單調(diào)性定義2設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，區(qū)間ID，如果對于任意x1，x2∈I，當x1<x2時，恒有f(x1)<f(x2)，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增加的，如圖1-14(

a

)所示.

圖1-14一、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)=x2在［0，＋∞)上為單調(diào)增加函數(shù)，函數(shù)f(x)=x2在(-∞，0］上為單調(diào)減少函數(shù)，但是，函數(shù)f(x)=x2在(-∞，＋∞)內(nèi)卻不是單調(diào)函數(shù),如圖1-15所示.【例10】圖1-15一、函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)f(x)=x3在區(qū)間(-∞，＋∞)內(nèi)是單調(diào)增加的,如圖1-16所示.【例11】圖1-16一、函數(shù)的單調(diào)性【例12】二、函數(shù)的有界性定義3設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D.

(1)如果存在一個常數(shù)m，使得對于任意x∈D，恒有f(x)≥m，則稱函數(shù)f(x)在D上有下界且m就是f(x)的一個下界；(2)如果存在一個常數(shù)M，使得對于任意x∈D，恒有f(x)≤M，則稱函數(shù)f(x)在D上有上界且M就是f(x)的一個上界；(3)如果存在兩個常數(shù)m與M，使得對于任意x∈D，恒有m≤f(x)≤M，則稱函數(shù)f(x)在D上有界.

二、函數(shù)的有界性這個定義表明，函數(shù)f(x)在D上有界的充分必要條件是函數(shù)f(x)在D上既有上界又有下界.

如果記max{m，M}=K，那么可得到一個等價定義：如果存在一個常數(shù)K>0，使得對于任意x∈D，恒有f(x)≤K，則稱函數(shù)f(x)在D上有界.如果這樣的K不存在，就稱函數(shù)f(x)在D上無界.換句話說，如果對于任何正數(shù)K，總存在一個x1∈D，使得f(x1)>K，則函數(shù)f(x)在D上無界.

例13y=

cos

x在區(qū)間(-∞，＋∞)上就是有界函數(shù).因為對于任意x∈(-∞，＋∞)，恒有cosx≤1.

三、函數(shù)的奇偶性定義4設(shè)函數(shù)f(x)的定義域D關(guān)于原點對稱，如果對于任意x∈D，恒有f(-x)=f(x)

成立，則稱f(x)為偶函數(shù).如果對于任意x∈D，恒有f(-x)=-f(x)

成立，則稱f(x)為奇函數(shù).

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸是對稱的，如圖1-17所示；圖1-17三、函數(shù)的奇偶性奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點是對稱的，如圖1-18所示.圖1-18三、函數(shù)的奇偶性【例15】函數(shù)f(x)=cosx，g(x)=x2在(-∞，＋∞)都是偶函數(shù)，因為cos(-x)=cosx，(-x)2=x2.三、函數(shù)的奇偶性【例16】函數(shù)f(x)=sinx，g(x)=x3在(-∞，＋∞)都是奇函數(shù)，因為sin(-x)=-sinx，(-x)3=-x3.不能說函數(shù)f(x)不是奇函數(shù)就一定是偶函數(shù),或者說不是偶函數(shù)就一定是奇函數(shù).注三、函數(shù)的奇偶性【例17】函數(shù)f(x)=x＋1在區(qū)間(-∞，＋∞)上既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).因為f(-1)=0，f(1)=2，既無f(-1)=-f(1)，也無f(-1)=f(1).【例18】函數(shù)f(x)=sinx＋cosx，g(x)=x2＋x3在區(qū)間(-∞，＋∞)上既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).因為f(-x)=sin(-x)＋cos(-x)=-sinx＋cosx≠-f(x)=-sinx-cosx，g(-x)=(-x)2＋(-x)3=x2-x3≠-g(x)=-x2-x3.三、函數(shù)的奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性，除用定義判斷外，還可以利用奇函數(shù)和偶函數(shù)之間的運算性質(zhì)來判別.例如，兩個奇函數(shù)的代數(shù)和仍為奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的代數(shù)和仍是偶函數(shù)，奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù)，兩個奇函數(shù)的乘積或兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)等.注四、函數(shù)的周期性定義5設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為D，如果存在一個正數(shù)T，使得對于任何x∈D，都有f(x±T)=f(x)且(x±T)∈D，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，其中T稱為函數(shù)f(x)的周期.通常情況下，我們說的周期是指最小正周期，但并非每個周期函數(shù)都存在最小正周期.

四、函數(shù)的周期性函數(shù)sinx，cosx是周期函數(shù)，最小正周期都是2π；函數(shù)tanx，cotx是周期函數(shù)，最小正周期是π；函數(shù)y=Asin(ωx＋φ0

)與y=Acos(ωx＋φ0

)是周期函數(shù)，最小正周期是2πω.但是，函數(shù)f(x)=C(C為常數(shù))，存在T>0，使得f(x±T)=f(x)，但這樣的周期T無最小正值.【例21】四、函數(shù)的周期性通常情況下，判斷一個函數(shù)是否是周期函數(shù)的步驟如下：(1)將函數(shù)分解成已知其周期的函數(shù)(比如三角函數(shù)等)的代數(shù)和，再求這些周期函數(shù)的周期的最小公倍數(shù).

例如，函數(shù)y=2sin2x，因為2sin2x=1-cos2x，且cos2x是以π為周期的函數(shù)，所以y=2sin2x是以π為周期的函數(shù).

(2)列出方程f(x＋T)-f(x)=0，以T為未知量解此方程.

若解出的T是與x無關(guān)的正數(shù)，則f(x)是周期函數(shù)；反之，如果利用一些已知的運算法則推出矛盾的結(jié)果，就可斷定函數(shù)是非周期函數(shù).

四、函數(shù)的周期性判斷函數(shù)y=sinx2是否為周期函數(shù).解假定它是周期函數(shù)，且存在正周期T，則

sin(x＋T)2=sinx2，

令x=0，得

sinT2=0，解方程，得T2=kπ，

即T=kπ.【例22】四、函數(shù)的周期性其中k∈N.再令x=2T，得

sin［(2＋1)