巧借三角形的兩條內(nèi)(外)角平分線夾角的模型解決問題

巧借三角形的兩條內(nèi)（外）角平分線夾角的模型解決問題新北實(shí)驗(yàn)中學(xué)嚴(yán)云霞【基本模型】三角形的兩個(gè)內(nèi)（外）角平分線所夾的角與第三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系模型一：當(dāng)這兩個(gè)角為內(nèi)角時(shí)：這個(gè)夾角等于90°與第三個(gè)角一半的和（如圖1）；模型二：當(dāng)這兩個(gè)角為外角時(shí)：這個(gè)夾角等于90°與第三個(gè)角一半的差（如圖2）；模型三：當(dāng)這兩個(gè)角為一內(nèi)角、一外角時(shí)：這個(gè)夾角等于第三個(gè)角一半（如圖3）；如圖如圖1如圖2如圖3【分析】三個(gè)結(jié)論的證明如圖1，△ABC中，BD、CD為兩個(gè)內(nèi)角平分線，試說明：∠D=90°+∠A。（方法一）解：∵BD、CD為角平分線∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB。在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（∠ABC＋∠ACB）＝180°－（180°－∠A）＝180°－×180°＋∠A＝90°＋∠A（方法二）解：連接AD并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E解：∵BD、CD為角平分線∴∠CBD＝∠ABC，∠BCD＝∠ACB?！摺螧DE是△ABD的外角∴∠BDE＝∠BAD+∠ABD=∠BAD+∠ABC同理可得∠CDE＝∠CAD+∠ACB又∵∠BDC＝∠BDE+∠CDE∴∠BDC＝∠BAD+∠ABC+∠CAD+∠ACB＝∠BAC+（∠ABC+∠ACB）＝∠BAC+（180°－∠BAC）＝90°＋∠BAC例２、如圖，ＢＤ、ＣＤ為△ＡＢＣ的兩條外角平分線，試說明：∠D=90°－∠A。解：∵BD、CD為角平分線∴∠CBD=∠CBE∠BCD＝∠BCF又∵∠CBE、∠BCD為△ABC的外角∴∠CBE＝∠A＋∠ACB∠BCF＝∠A＋∠ABC∴∠CBE＋∠BCF＝∠A＋∠ACB＋∠A＋∠ABC＝∠A＋180°在△BCD中：∠D＝180°－（∠CBD＋∠BCD）＝180°－（∠CBE＋∠BCF）＝180°－（∠CBE＋∠BCF）＝180°－（∠A＋180°）＝90°－∠A【小結(jié)】通過對(duì)模型1、2的分析和證明，我們還能發(fā)現(xiàn)三角形兩內(nèi)角平分線的夾角和兩外角平分線的夾角互補(bǔ)，即和為180°。例３：如圖，在△ABC中，BD為∠ABC的平分線，CD為∠ＡＣＥ的平分線，試說明：∠D＝∠A；解：∵BD為角平分線，∴∠CBD＝∠ABC，又∵CD為∠ACE的平分線∴∠DCE=∠ACE，如圖，△ABC，點(diǎn)I是∠ABC與∠ACB平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)D是∠MBC與∠NCB平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)E是∠ABC與∠ACG平分線的交點(diǎn)．問題（1）：若∠BAC=50°，則∠BIC=°，∠BDC=°．問題（2）：．猜想∠BEC與∠BAC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．問題（3）：若∠BAC=x°（0＜x＜90），則當(dāng)∠ACB等于度（用含x的代數(shù)式表示）時(shí)，CE∥AB．說明理由．問題（4）：若△BDE中存在一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，試求∠BAC的度數(shù)．【思路分析】已知點(diǎn)I是兩內(nèi)角∠ABC、∠ACB平分線的交點(diǎn)，故由圖1歸納的模型：∠BIC==90+∠BAC，由此可求∠BIC；因?yàn)镃D、BD分別為△ABC的兩外角平分線，故由圖2的模型：∠BDC=190﹣∠BAC，由此可求∠BDC；（2）因?yàn)锽E、CE分別為△ABC的內(nèi)角、外角平分線，故由圖3的模型：∠BEC==∠BAC，由此可求∠BEC；（3）當(dāng)CE∥AB時(shí)，∠BEC=∠ABC，由（3）可知，∠ABC=∠BAC，∠ACB=（180﹣∠BAC）．（4）由題意可證：△BDE是直角三角形，∠DBE=90°，∴∠D+∠E=90°。已知條件中：一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的三倍，則不明確，所以應(yīng)當(dāng)分類討論。=1\*GB3①若∠EBD=3∠D；=2\*GB3②若∠EBD=3∠E；=3\*GB3③若∠D=3∠E；=4\*GB3④若∠E=3∠D．解：（1）∵點(diǎn)I是兩角B、C平分線的交點(diǎn)，∴∠BIC=180°﹣（∠IBC+∠ICB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90+∠BAC=115°；類似證明∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；或者也可以這樣證明：∵BE、BD分別為∠ABC的內(nèi)角、外角平分線，∴∠IBC=∠ABC，∠CBD=∠CBM；∴∠DBI=∠IBC+∠CBD=∠IBC=∠ABC+∠CBM=（∠ABC+∠CBM）=×180°∴∠DBI=90°，同理∠DCI=90°，在四邊形CDBI中，∠BDC=180°﹣∠BIC=90°﹣∠BAC=65°；（2）有圖3的模型可證∠BEC=∠BAC．也可借助上面的小題這樣證明：在△BDE中，∠DBI=90°，∴∠BEC=90°﹣∠BDC=90°﹣（90°﹣∠BAC）=∠BAC；（3）當(dāng)∠ACB等于（180﹣2x）°時(shí)，CE∥AB．理由如下：∵CE∥AB，∴∠ACE=∠A=x°，∵CE是∠ACG的平分線，∴∠ACG=2∠ACE=2x°，∴∠ABC=∠ACG﹣∠BAC=2x°﹣x°=x°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=（180﹣2x）°．（4）由題意知：△BDE是直角三角形∠D+∠E=90°若∠EBD=3∠D時(shí)∠BAC=120°；若∠EBD=3∠E時(shí)∠BAC=60°；若∠D=3∠E時(shí)∠BAC=45°；若∠E=3∠D時(shí)∠BAC=135°．綜上所述，∠BAC=120或60°或45°或135°．鞏固練習(xí)：1、如圖：BO、CO分別平分∠ABC和∠ACB，（1）若∠A=40°，求∠BOC的度數(shù)；（2）若∠A=60°，∠BOC=；若∠A=100°，∠BOC=；（3）由（1）、（2）的結(jié)果，試直接寫出∠BOC與∠A之間的數(shù)量關(guān)系；（4）利用你得出的結(jié)論，求當(dāng)∠BOC=150°時(shí)，求∠A的度數(shù)．2、已知如圖，∠COD=90°，直線AB與OC交于點(diǎn)B，與OD交于點(diǎn)A，射線OE和射線AF交于點(diǎn)G．（1）若OE平分∠BOA，AF平分∠BAD，∠OBA=30°，則∠OGA=；（2）若∠GOA=∠BOA，∠GAD=∠BAD，∠OBA=30°，