2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州十中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷含解析

2023-2024學(xué)年江蘇省蘇州十中高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4=1y=Igsinx+j9-x，1,則/(x)=cos2x+2sinx,XEA的值域?yàn)?)

2.己知函數(shù)/(x)=,"T)'E,若于(G>f(b),則下列不等關(guān)系正確的是()

Inx,x>1

11

A.——<——B.\/a>>/b

+16+1

22

C.a2<abD.in(?+l)>ln(Z?4-l)

3.已知集合A=「|y=5/匚F],B={x\—<()]t則APIBN)

I)x+1

A.B.[-1,72]C.(-1,72]D.[-V2,V2]

4.設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，尸是以尸為焦點(diǎn)的拋物線=4x上任意一點(diǎn)，M是線段P/上的點(diǎn)，且=則直線

OM的斜率的最大值為()

A.1B.-C.-D.好

292

5.如圖，正方體ABC。-A用儲(chǔ)。的棱長(zhǎng)為1,動(dòng)點(diǎn)E在線段4G上，F(xiàn)、M分別是A。、的中點(diǎn)，則下列

結(jié)論中錯(cuò)誤的是()

5

B.存在點(diǎn)E,使得平面BE尸//平面CGA。

C.陰/_L平面CG~D.三棱錐3-CE尸的體積為定值

6.盒子中有編號(hào)為1,2,3,4,5,6,7的7個(gè)相同的球，從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球，則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位

數(shù)恰好為5的概率是()

2863

A.—B.—C.—D.一

3535357

7.已知函數(shù)〃_r)=*L+2018tanx+x2(〃?〉(),機(jī)工1),若"1)=3,則等于()

in'+1

A.-3B.-1C.3D.0

8.已知函數(shù)/(x)=F(X-0),且關(guān)于x的方程/(x)+x-a=。有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

Inx(x>0)

().

A.[0,4-x)B.(1,+co)C.(0,+co)D.Ho,l)

9.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()

/1\r11

A.尸B.y=10g2-c.y=10g2-D.),=/

已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝中，存在兩項(xiàng)金,4,使得?4=3%,4=26+3%,則\+：的最小值是()

10.

379

A.一B.2C.-I).一

234

3兀?■?\I

11.已知單位向量a,/?的夾角為a，若向量〃z=2a，〃=4a—助，且"z_L〃，則］〃|二()

A.2B.2C.4D.6

12.2019年10月1日上午，慶祝中華人民共和國(guó)成立70周年閱兵儀式在天安門廣場(chǎng)隆重舉行.這次閱兵不僅展示了我

國(guó)的科技軍事力量，更是讓世界感受到了中國(guó)的日新月異.今年的閱兵方陣有一個(gè)很搶眼，他們就是院?？蒲蟹疥?他們

是由軍事科學(xué)院、國(guó)防大學(xué)、國(guó)防科技大學(xué)聯(lián)合組建.若已知甲、乙、丙三人來(lái)自上述三所學(xué)校，學(xué)歷分別有學(xué)士、

碩士、博士學(xué)位.現(xiàn)知道：①甲不是軍事科學(xué)院的；②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士；③乙不是軍事科學(xué)院的；④乙不是

博士學(xué)位；⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生.則丙是來(lái)自哪個(gè)院校的，學(xué)位是什么()

A.國(guó)防大學(xué)，研究生B.國(guó)防大學(xué)，博士

C.軍事科學(xué)院，學(xué)士D.國(guó)防科技大學(xué)，研究生

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.己知拋物線C:)，2=4x的焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)尸且斜率為1的直線！交拋物線C于兩點(diǎn)，。=幽土幽，

2

若線段MN的垂直平分線與-v軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為則。-6的值為.

x>2,

14.已知函數(shù)f(x)={x若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________.

15.函數(shù)/Or)=r一日內(nèi)的圖象在x=l處的切線方程為.

16.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xO-v中，過(guò)點(diǎn)(0,2)作傾斜角為135。的直線/,已知直線/與圓/+>，2-2%=。相交于

AB兩點(diǎn),則弦的長(zhǎng)等于.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.(12分)AA6c的內(nèi)角A,B，C的對(duì)邊分別為“，。3已知"十+缶。=從，6sinA+COS8=0.

(1)求cosC；

(2)若AABC的面積S=:，求從

18.(12分)已知函數(shù)f(%)=|x+l|-|4-2x|.

(1)求不等式/(。..；*一1)的解集；

?I

(2)若函數(shù)/'(X)的最大值為"7,且2a+/?=m(a>()/>0),求一十二的最小值.

ab

19.(12分)某公園準(zhǔn)備在一圓形水池里設(shè)置兩個(gè)觀景噴泉，觀景噴泉的示意圖如圖所示，A3兩點(diǎn)為噴泉，圓心。

為48的中點(diǎn)，其中Q4=O8=a米，半徑OC=10米，市民可位于水池邊緣任意一點(diǎn)。處觀賞.

(1)若當(dāng)時(shí)，sinZBCO=-,求此時(shí)。的值；

33

(2)^y=CA2+CB2,且C42+aY232.

(i)試將表示為。的函數(shù)，并求出。的取值范圍;

（ii）若同時(shí)要求市民在水池邊緣任意一點(diǎn)C處觀賞噴泉時(shí)，觀賞角度NAC3的最大值不小于三，試求A3兩處噴泉

6

間距離的最小值.

20.（12分）已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和S“=3/+8〃，抄〃｝是等差數(shù)列，且

（I）求數(shù)列｛〃｝的通項(xiàng)公式；

（II）令%=（,：:）〃?求數(shù)列｛&｝的前n項(xiàng)和7；.

21.（12分）為了加強(qiáng)環(huán)保知識(shí)的宣傳，某學(xué)校組織了垃圾分類知識(shí)競(jìng)賽活動(dòng).活動(dòng)設(shè)置了四個(gè)箱子，分別寫有“廚余垃

圾”、，，有害垃圾”、“可回收物”、，，其它垃圾”；另有卡片若干張，每張卡片上寫有一種垃圾的名稱.每位參賽選手從所

有卡片中隨機(jī)抽取20張，按照自己的判斷將每張卡片放入對(duì)應(yīng)的箱子中.按規(guī)則，每正確投放一張卡片得5分，投放

錯(cuò)誤得。分.比如將寫有“廢電池”的卡片放入寫有“有害垃圾”的箱子，得5分，放入其它箱子，得0分.從所有參賽選手

中隨機(jī)抽取20人，將他們的得分按照［0,20］、（20,40］＞（40,60］、（60,80］、（80,100］分組,繪成頻率分布直方圖

如圖：

八頻率

贏

0.0150..................................

0.0125..............................................

0.0100--------------------------------------------

0.0075......................

0.0050--------

-----------------------------------------------

O20406080100得分

（1）分別求出所抽取的20人中得分落在組［0,20］和（20,4。］內(nèi)的人數(shù)；

（2）從所抽取的20人中得分落在組［0,40］的選手中隨機(jī)選取3名選手，以X表示這3名選手中得分不超過(guò)20分的

人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

22.（10分）為了解網(wǎng)絡(luò)外賣的發(fā)展情況，某調(diào)查機(jī)構(gòu)從全國(guó)各城市中抽取了100個(gè)相同等級(jí)地城市，分別調(diào)查了甲

乙兩家網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)（以下簡(jiǎn)稱外賣甲、外賣乙）在今年3月的訂單情況，得到外賣甲該月訂單的頻率分布直方圖，

外賣乙該月訂單的頻數(shù)分布表，如下圖表所示.

訂單：（單位，萬(wàn)件）[5,7)口9）[9.11)

頻數(shù)1223

訂單：（單位：萬(wàn)件）[11,13)[13,15)[15,17)[17,19)[19,21)

頻數(shù)402020102

（D現(xiàn)規(guī)定，月訂單不低于13萬(wàn)件的城市為“業(yè)績(jī)突出城市%填寫下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有90%的

把握認(rèn)為“是否為業(yè)績(jī)突出城市”與“選擇網(wǎng)絡(luò)外賣平臺(tái)”有關(guān).

業(yè)績(jī)突出城市業(yè)績(jī)不突出城市總計(jì)

外賣甲

外賣乙

總計(jì)

（2）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，外賣甲今年3月在全國(guó)各城市的訂單數(shù)Z（單位：萬(wàn)件）近似地服從正態(tài)分布

其中〃近似為樣本平均數(shù)Q（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表），。的值己求出，約為3.64,現(xiàn)把頻

率視為概率，解決下列問(wèn)題：

①?gòu)娜珖?guó)各城市中隨機(jī)抽取6個(gè)城市，記X為外賣甲在今年3月訂單數(shù)位于區(qū)間（4.88,15.8）的城市個(gè)數(shù)，求X的數(shù)

學(xué)期望;

②外賣甲決定在今年3月訂單數(shù)低于7萬(wàn)件的城市開展“訂外賣，搶紅包”的營(yíng)銷活動(dòng)來(lái)提升業(yè)績(jī)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，開展此活

動(dòng)后城市每月外賣訂單數(shù)將提高到平均每月9萬(wàn)件的水平，現(xiàn)從全國(guó)各月訂單數(shù)不超過(guò)7萬(wàn)件的城市中采用分層抽樣

的方法選出100個(gè)城市不開展?fàn)I銷活動(dòng)，若每按一件外賣訂單平均可獲純利潤(rùn)5元，但每件外賣平均需送出紅包2元,

則外賣甲在這100個(gè)城市中開展?fàn)I銷活動(dòng)將比不開展?fàn)I銷活動(dòng)每月多盈利多少萬(wàn)元？

附：①參考公式：K2=---------“小")--------,其中〃=Q+〃+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數(shù)據(jù):

P(K』。)0.150.100.050.0250.0100.001

k。2.7022.7063.8415.0246.63510.828

②若,則P(〃一crvZ+=0.6826,P(〃-2cr<ZW〃+2。)=0.9544.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.

1、A

【解析】

先求出集合A=(O,3],化簡(jiǎn)/(工)=一24!12/+20111￥+1，令sinx=iw(O,l],得g(7)=-2/+2/+1由二次函數(shù)的

性質(zhì)即可得值域.

【詳解】

sinx>0/1八/、/I

由"2八=0<143,得A=(0,3j,/(x)=cos2x+2sinx=-2siMx+2sinx+l，令sinx=f,v%e(0,3],

9-A之0

.?^e(0j],所以得g⑺=-2?+2/+I,g⑺在(0,：)上遞增，在佶上遞減，g⑴==],所以

I2/k2)\2.)2

「3~1「3-

g(z)EL-,即“X)的值域?yàn)?,-

故選A

【點(diǎn)睛】

本題考查了二次不等式的解法、二次函數(shù)最值的求法，換元法要注意新變量的范圍，屬于中檔題

2、B

【解析】

利用函數(shù)的單調(diào)性得到。/的大小關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)，即可得答案.

【詳解】

???/*)在R上單調(diào)遞增，且/(〃)>/(〃)，???〃>〃?

???。力的符號(hào)無(wú)法判斷，故/與〃2,/與帥的大小不確定，

對(duì)A,當(dāng)。=1/=-1時(shí)，「一二」一，故A錯(cuò)誤；

a~+\b-+\

2

對(duì)C,當(dāng)。=1*=-1時(shí)，a=\yab=-\t故C錯(cuò)誤；

對(duì)D,當(dāng)a=l,〃=1時(shí)，ln(/=I1),故D錯(cuò)誤；

對(duì)B,對(duì)則弘〉版，故3正確.

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查分段函數(shù)的單調(diào)性、不等式性質(zhì)的運(yùn)用，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算

求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

3、C

【解析】

計(jì)算A二卜拉，、/T|,B=(-l,2],再計(jì)算交集得到答案.

【詳解】

A=[x|y=V2-x2}=[-V2,5/2],3="|m<0}=(-1,2],故408=(-1，夜].

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.

4、A

【解析】

設(shè)尸(期，為)，加。，)')，因?yàn)榘恕耙弧薄?，得到X=與+普，y=普，利用直線的斜率公式，得到

2P44/72

A

,~22

*=----^-=―—―,結(jié)合基本不等式，即可求解.

比

￡+2Q_e+

44/7%P

【詳解】

由題意，拋物線丁=4工的焦點(diǎn)坐標(biāo)為月C|,O）,

2P

因?yàn)镻M=MF,即M線段P/7的中點(diǎn)，所以尤=7（4+^^~）=4+*~，）'=等，

222/744/72

%

；~22,2?

所以直線的斜率《加=7-^=-F-rInv=>

史+江上+及2旦.比

44〃NoPp

當(dāng)且僅當(dāng)上二比,即），。=〃時(shí)等號(hào)成立，

X）P

所以直線OM的斜率的最大值為1.

故選：4

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了拋物線的方程及其應(yīng)用，直線的斜率公式，以及利用基本不等式求最值的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)

算能力，屬于中檔試題.

5、B

【解析】

根據(jù)平行的傳遞性判斷A；根據(jù)面面平行的定義判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理判斷C；由三棱錐B-CEF以三角

形8CF、為底，則高和底面積都為定值，判斷D.

【詳解】

在A中，因?yàn)榉睲分別是ADC。中點(diǎn)，所以FM//AC//A3,故A正確；

在B中，由于直線8尸與平面CG。。有交點(diǎn)，所以不存在點(diǎn)E,使得平面BE/3/平面CG。。，故B錯(cuò)誤；

在C中，由平面幾何得8A/_LC/，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得出BM_LGC，結(jié)合線面垂直的判定定理得出80，平

面CC1/7,故C正確;

在D中，三棱錐B-CM以三角形BCb為底，則高和底面積都為定值，即三棱錐8-CE/的體積為定值，故D正

確；

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了判斷面面平行，線面垂直等，屬于中檔題.

6、B

【解析】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有CIG，所有的情況有a種，由古典概型的概率公式即得解.

【詳解】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有CG，所有的情況有種

由古典概型，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為：

產(chǎn)二四二8

C；35

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

7、D

【解析】

分析：因?yàn)轭}設(shè)中給出了/(1)的值，要求/(一1)的值，故應(yīng)考慮了(x),/(一x)兩者之間滿足的關(guān)系.

詳解：由題設(shè)有f(-x)=—-----2OI8tanx+x2=—!----2OI8tanx+x2,

mx+1mx+1

故有+x)=l+2f,所以〃1)+/(T)=3,

從而/(-1)=0,故選D.

點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)的表示方法，解題時(shí)注意根據(jù)問(wèn)題的條件和求解的結(jié)論之間的關(guān)系去尋找函數(shù)的解析式要滿足的

關(guān)系.

8、B

【解析】

根據(jù)條件可知方程=0有且只有一個(gè)實(shí)根等價(jià)于函數(shù))，=/'(X)的圖象與直線y=—X+4只有一個(gè)交點(diǎn)，

作出圖象，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】

解：因?yàn)闂l件等價(jià)于函數(shù)y=/（x）的圖象與直線）'=一（十。只有一個(gè)交點(diǎn)，作出圖象如圖,

由圖可知，a>\t

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)圖象與方程零點(diǎn)之間的關(guān)系.數(shù)形結(jié)合是關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】

分析函數(shù)），=￡的定義域和單調(diào)性，然后對(duì)選項(xiàng)逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性，由此確定正確選項(xiàng).

【詳解】

函數(shù)的定義域?yàn)椋?,+少），在（0,+”）上為減函數(shù).

A選項(xiàng)，丁=2叫"的定義域?yàn)椋?,+。），在（0,+8）上為增函數(shù)，不符合.

B選項(xiàng)，y=logj-|的定義域?yàn)镽,不符合.

C選項(xiàng)，）=log2'的定義域?yàn)椋?,+8），在（0,+8）上為減函數(shù)，符合.

D選項(xiàng)，y=f的定義域?yàn)椋?,+CO）,不符合.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題.

10、C

【解析】

由已知求出等比數(shù)列｛4｝的公比，進(jìn)而求出"7+〃=4,嘗試用基本不等式，但，幾〃wN'取不到等號(hào)，所以考慮直

接取〃?，，?的值代入比較即可.

【詳解】

???&=2%+3。4,:.q2-2q-3=0,：.q=3^q=-1（舍）.

,r,+n-2

???=3q,am-an=a：-3=9〃：,/.切+〃=4.

147

當(dāng)"7=1,〃=3時(shí)一+—=—；

tnn3

i45

當(dāng)〃z=2,〃=2時(shí)一+—=二；

mn2

當(dāng)〃z=3,〃=1時(shí)，-+-=^,所以最小值為Z.

mn33

故選:c.

【點(diǎn)睛】

本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量的計(jì)算及最小值，屬于基礎(chǔ)題.

11>C

【解析】

根據(jù)，“1〃列方程，由此求得4的值，進(jìn)而求得

【詳解】

由于〃2I〃，所以〃2?〃=0，即

■2?3乃

2。.（4〃-勸）二8。-24?！?8—24cos2-=8+叵九=0,

4

8

解得2=-4x/2.

所以〃=4。+4貶〃

所以

〃卜#〃+4反『=J16J+32缶2+3212=J48+320COS,二J48-32=4.

故選：C

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，考查向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.

12、C

【解析】

根據(jù)①③可判斷丙的院校；由②和⑤可判斷丙的學(xué)位.

【詳解】

由題意①甲不是軍事科學(xué)院的，③乙不是軍事科學(xué)院的；

則丙來(lái)自軍事科學(xué)院；

由②來(lái)自軍事科學(xué)院的不是博士，則丙不是博士；

由⑤國(guó)防科技大學(xué)的是研究生，可知丙不是研究生，

故閃為學(xué)士.

綜上可知，丙來(lái)自軍事科學(xué)院，學(xué)位是學(xué)士.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了合情推理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，由條件的相互牽制判斷符合要求的情況，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

設(shè)M（西,y）,N（/,%），寫出直線方程代入拋物線方程后應(yīng)用韋達(dá)定理求得由拋物線定義得焦點(diǎn)弦長(zhǎng)，求

得力，再寫出MV的垂直平分線方程，得。，從而可得結(jié)論.

【詳解】

拋物線C:）產(chǎn)=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,直線/的方程為y=%—I,

據(jù)｛2_A得％2一6工+1=0.設(shè)M。，）；）,％（占,%），

y—

I

則玉+x=6,y+y2=4,/.b=---------=—（x（+l+x2+1）=4.

線段MN垂直平分線方程為y—2=—lx（x—3）,令y=0,則x=5,所以。=5,

所以a—b=l.

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線的焦點(diǎn)弦問(wèn)題，根據(jù)拋物線的定義表示出焦點(diǎn)弦長(zhǎng)是解題關(guān)鍵.

（1）

14、0,-

<2,

【解析】

由圖可知，當(dāng)直線y=kx在直線OA與x軸(不含它們)之間時(shí)，y=kx與y=f(x)的圖像有兩個(gè)不同交點(diǎn)，即方程有兩

個(gè)不相同的實(shí)根.

15>x->=0.

【解析】

先將x=l代入函數(shù)式求出切點(diǎn)縱坐標(biāo)，然后對(duì)函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，進(jìn)一步求出切線斜率，最后利用點(diǎn)斜式寫出切線方程.

【詳解】

由題意得fXx)=2x-lnx-l，r(l)=1,/(1)=1.

故切線方程為yT=x-1,即x-y=O.

故答案為：x-j=0.

【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)求切線方程的基本方法，利用切點(diǎn)滿足的條件列方程(組)是關(guān)鍵.同時(shí)也考查了學(xué)生的運(yùn)算能力,

屬于基礎(chǔ)題.

16、V2

【解析】

方法一：依題意，知直線/的方程為y=x-tanl35o+2=-x+2,代入圓的方程化簡(jiǎn)得Y-3x+2=0,解得x=l或2,

從而得4(1,1),6(2,0)或A(2,0),僅1,1),則|AB\=7(1-2)2+(1-0)2=>/2.

方法二：依題意，知直線/的方程為)，=。皿135。+2=—+2,代入圓的方程化簡(jiǎn)得犬―3X+2=0,設(shè)

4(4乂),3(犬2，%)，則N+々=3，內(nèi)々=2,故|AB|=1+(TA][(內(nèi)+%I-4儀]=日

方法三：將圓的方程配方得*-1)2+)2=1,其半徑〃=],圓心(1,0)到直線/：x+y-2=0的距離d=皆斗

則|A3|=2yjr2-d2=V2.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

(1)cosA=^,cosC=^

17、；(2)b=5

105

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)余弦定理求出B,帶入條件求出siM,利用同角三角函數(shù)關(guān)系求其余弦，再利用兩角差的余弦定理

即可求出；（2）根據(jù)（1）及面積公式可得ac,利用正弦定理即可求出.

試題解析：⑴由/+(?+&訛=〃2，a2+c2-b2=-41ac>

..Cl~+/—b~—yj2,ClC\j2

??COSO=----------=------=-----

laclac2

4

由底in_A+cosB=0,^sinA=cosB=一x

5210

cosA=Jl-sin2A=.11-

二立x巫+變x巫二亞.

/.cosC=cos--Acos?l+—siiiA

1472102105

(2)由(1),得sinC=Jl-cos2c=J1

_5,

由S=：acsinB及題設(shè)條件，得;acsin,=1,???〃、=5及?

a_b__

ab

由二一=--,得而=77=E，

sinAsinBsinC

1025

.,25及5夜[T”

??b=-----ac=----x5V2=25>

22

:?b=5.

點(diǎn)睛：解決三角形中的角邊問(wèn)題時(shí)，要根據(jù)條件選擇正余弦定理，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化統(tǒng)一為邊的問(wèn)題或角的問(wèn)題，利用三角

中兩角和差等公式處理，特別注意內(nèi)角和定理的運(yùn)用，涉及三角形面積最值問(wèn)題時(shí)，注意均值不等式的利用，特別求

角的時(shí)候，要注意分析角的范圍，才能寫出角的大小.

18、（1）[1,4]（2）3

【解析】

x-5,x<-1,

（1）化簡(jiǎn)得到/。）=，31-3,-1漱2,,分類解不等式得到答案.

—X+5,人>2.

(2)/(%)的最大值〃z=/(2)=3,21+0=3(。＞0,力＞0),利用均值不等式計(jì)算得到答案.

【詳解】

X—5,x<—1,

(1)f(x)=|JT+11-|4-2x|=hx-3-2,

-x+5,x>2.

x<—1,-啜k2,x>2,

因?yàn)?6).g(x—l)，故，

1或，或，

3x-3..(x-1)—x+52—(x—1),

3

解得啜水2或2＜工,4,故不等式/(幻…;(不一1)的解集為U,4].

(2)畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像可知/(?的最大值〃z=/(2)=3.

因?yàn)?a+〃=3(a>0,Z?>0),所以2+，=，(2〃+〃)［2+，］=，［即+殳+51.!、(2乂2+5)=3

ab3\ab)baJ3

【點(diǎn)睛】

本題考查了解不等式，均值不等式求最值，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力.

2073

19、(1)67(2)(i)y=200+2。、4￡(0,4］；(ii)40—206?

—

【解析】

(1)在AOBC中，由正弦定理可得所求;

(2)(i)由余弦定理得4。2=]00+42-20加0044。。,3。2=[00+〃2-20瓜05/80。，兩式相加可得所求解析

式.(ii)在A4BC中，由余弦定理可得cosNACB：%+C"―廿2CV+爐一?/=〔一一二二，根據(jù)/4cB

2CACBCA2+CB210()+/

的最大值不小于可得關(guān)于。的不等式，解不等式可得所求.

6

【詳解】

0COB

(1)在A03C中，由正弦定理得

sinZOBC-sinZBCO'

所以。八。八山次。二二L辿

sin/OBC.2￡9

OcIII一

3

即,3

9

(2)(i)在AAOC中，由余弦定理得AC2=100+/-20CZCOSNAOC，

在\BOC中，由余弦定理得BC2=100+標(biāo)_20acosZBOC,

又乙\OC=7T-/BOC

所以0^+。32=20()+2。2,

即)，=200+2。2.

又042+082=200+2/4232,解得0<。44,

所以所求關(guān)系式為＞=200+2/,。?0,4].

(ii)當(dāng)觀賞角度NAC8的最大時(shí)，cosNACB取得最小值.

在AA8c中，由余弦定理可得

。氏+次-4/>CM+CBj/2d

cos/ACB==1

2CACBCA2+CB2100+/

因?yàn)閆ACB的最大值不小于7，

6

所以1一一土下工立，解得。之20-106,

100+t/22

經(jīng)驗(yàn)證知2()-10石w(0,4],

所以2。240-206.

即A8兩處噴泉間距離的最小值為40-206.

【點(diǎn)睛】

本題考查解三角形在實(shí)際中的應(yīng)用，解題時(shí)要注意把條件轉(zhuǎn)化為三角形的邊或角，然后借助正余弦定理進(jìn)行求解.解

題時(shí)要注意三角形邊角關(guān)系的運(yùn)用，同時(shí)還要注意所得結(jié)果要符合實(shí)際意義.

20、（I）瓦（II）

【解析】

試題分析：（1）先由公式/=5“-S'-求出數(shù)列a｝的通項(xiàng)公式;進(jìn)而列方程組求數(shù)列出｝的首項(xiàng)與公差，得數(shù)列也｝

的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得。“=3但+1）-2向，再利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列｛5｝的前〃項(xiàng)和善.

試題解析：（1）由題意知當(dāng)〃22時(shí)，ci?=Sn-Sn_l=6/?+5,

當(dāng)〃=1時(shí)，q=S］=ll,所以?！?6相+5.

設(shè)數(shù)列帆｝的公差為",

%=b]+b2\\=2b]+d

由｛,即｛,可解得4=4,d=3,

a2=b2+417=2/7,+3J

所以。=3〃+1.

(6/?+6)ntl,、.

(2)由(D知％——=3(n+l)-2n+,，又4=。+。2+。3+…+%，得

(3/?+3)

7；,=3X[2X22+3X23+4X24+---+(/?+1)X2,,+,],27；,=3x[2x23+3x24+4x25+---+(/?+l)x2n+2],兩式作

差,^-7；,=3x[2x22+23+24+---+2u+,-(/7+l)x2n+2]=3x4+^—-(/7+1)x2M+2=一3〃-2.所以

7；=3〃.2/2.

考點(diǎn)1、待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；2、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前〃項(xiàng)和.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題主要考查待定系數(shù)法求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前〃項(xiàng)和，屬于難題.“錯(cuò)

位相減法”求數(shù)列的前〃項(xiàng)和是重點(diǎn)也是難點(diǎn)，利用“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的和應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①掌握運(yùn)用“錯(cuò)位相減

法”求數(shù)列的和的條件（一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的積）；②相減時(shí)注意最后一項(xiàng)的符號(hào)；③求和時(shí)注意項(xiàng)數(shù)別出

錯(cuò)；④最后結(jié)果一定不能忘記等式兩邊同時(shí)除以1-外

21、（1）所抽取的20人中得分落在組［0,20］和（20,40］內(nèi)的人數(shù)分別為2人、3人；（2）分布列見解析，EX=1.2.

【解析】

（1）將20分別乘以區(qū)間［0,20］、（20,40］對(duì)應(yīng)的矩形面積可得出結(jié)果；

（2）由題可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2,利用超幾何分布概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量X在不同取值下的

概率，可得出隨機(jī)變量X的分布列，并由此計(jì)算出隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望值.

【詳解】

（1）由題意知，所抽取的20人中得分落在組［0,20］的人數(shù)有0.0050x20x20=2（人），得分落在組（20,40］的人數(shù)

<0.0075x20x20=3（人）.

因此，所抽取的20人中得分落在組［0,20］的人數(shù)有2人，得分落在組（20,40］的人數(shù)有